Начертательная геометрия

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

Рабочая тетрадь

 
 

 
для использования на лекционных занятиях 

Начертательная геометрия  

 Л.С. Сенченкова, Н.В. Палий

УДК 744.44 
ББК  22.151 
         С31 
 
Издание доступно в электронном виде по адресу 

 https://bmstu.press/catalog/item/6607/ 
 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Инженерная графика» 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве рабочей тетради 
 
Сенченкова, Л. С. 
Начертательная геометрия : рабочая тетрадь  для использования на лекционных занятиях / 
Л. С. Сенченкова, Н. В. Палий. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 
54, [2] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-5388-7  
 
Рабочая тетрадь предназначена для записи лекций по начертательной геометрии, читаемых на 
кафедре «Инженерная графика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Содержится текстовый и графический 
материал, требующийся при изложении курса лекций. 
Для студентов 1-го курса факультета «Информатика и системы управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 744.44 
       ББК 22.151 
 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-5388-7                                                                                 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 
 
 
Учебное издание 
 
Сенченкова Людмила Сергеевна  
Палий Наталья Викторовна  
 
Начертательная геометрия  
 
Редактор Е.Д. Нефедова 
Художник Я.И. Асинкритова 
Корректор Ю.Н. Морозова  
Компьютерная верстка Е.В. Жуковой  
 
 
Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 

В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева. 
 
Подписано в печать 28.02.2020. Формат 60×90/8. 
Усл. печ. л. 7,0. Тираж 783  экз. Изд. № 820-2020. Заказ 
 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. 
press@bmstu.ru     www.baumanpress.ru 
 
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. 
baumanprint@gmail.com 

С31 

ВВЕДЕНИЕ 

Предметом изучения в начертательной геометрии являются фигуры (формы) 

трехмерного пространства и отношения между ними. 

Задачей курса «Начертательная геометрия» является изучение правил построения 

изображений пространственных форм на плоскости и решение геометрических задач с этими 

изображениями. 

 
________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________ 

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________ 

1. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ 

 
                Принятые обозначения  
 
                      Основные операции 

В пространстве
На плоскости
Символ 
операции

Название операции

точки

 
 
 

≡
совпадение двух 
геометрических фигур 

A, B, C…
A′, B′, C′, A′′, B′′,

C′′… 

⊂  
 

принадлежность множества 
множеству 

линии
∊  
принадлежность точки 
множеству 

a , b , c , l…
a′, b′, … a′′, b′′…
⋂
пересечение
геометрических фигур

поверхности
⋃
объединение
геометрических фигур;

α, β, γ…
α′, β′, γ′…
∸
прямые скрещиваются;

⩃
касание

 
 
Условия получения изображений: 
1)______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________; 

2)______________________________________________________________________________ 

_______________________________________________________________________________. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Проекции с использованием прямых линий 
 
Центральные проекции показаны на рис. 1, а, параллельные проекции — на рис. 1, б. 
 

 

а                                                                                         б 

Рис. 1 

 

Проекция точки (A') — точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через 

заданную точку пространства (А), с плоскостью проекций (π). 

 
 

Способ двух изображений 

Только одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве (рис. 2). 

 

 
 

Рис. 2 

 

Положение точки в пространстве можно определить, имея две ее проекции на 

плоскости.  

Прямоугольные проекции 

Прямоугольные проекции лежат в основе выполнения чертежей (рис. 3). 
 

 
 
Рис. 3 
 
  
Свойства прямоугольного проецирования 

1. Проекция точки есть точка. 
2. В общем случае проекция прямой есть прямая линия; проекция кривой линии есть 
кривая. 
3. Свойство принадлежности. При проецировании сохраняется принадлежность точки А 
линии l: если Аl, то А′l′. 
4. Параллельные прямые проецируются в параллельные прямые. 

5. Сохраняется простое отношение трех точек, т. е. 
C
B
B
A
BC
AB






.  

Для выполнения чертежей важно отметить следующие свойства: 
1. Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то она проецируется на эту 
плоскость без искажений. 
2. При параллельном переносе плоскости проекций в направлении проецирования 
проекции фигуры остаются неизменными. 

Способ Монжа 

Г. Монж — французский инженер и геометр. В 1799 г. вышел его труд по 
начертательной геометрии. В России способ Монжа (рис. 4) начали преподавать с 1810 г. 
 

                                    
 
             Рис. 4 

π1 — ___________________________________________; 

π2 — ___________________________________________; 

x — ___________________________________________; 

A' — ___________________________________________; 

A'' — __________________________________________. 

С использованием декартовой системы координат получим координаты x, y, z любой 
точки: AA' = ____; A''Ax = ____; Ax0 = ____; AA'' = ____; A'Ax = ____. 
Вращая плоскости проекций до совмещения вокруг оси x, получим эпюр (чертеж) 
Монжа (рис. 5) с проекциями точки.  
 

 
 
Рис. 5 
 
Проецируя точку А на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, получим 
горизонтальную A′, фронтальную A″ и профильную A′″ проекции точки А (рис. 6). 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6 

π3 — ________________________________________________________________; 

A''' — _______________________________________________________________; 

AA'''= ______; A''Az = ______; A'Ay = ______; 

A'' A' — ______________________________________________________________; 

A'' A''' —_____________________________________________________________. 

Любая третья проекция точки может быть построена по двум заданным ее проекциям. 

2. ЗАДАНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ЧЕРТЕЖЕ 

Прямые общего положения  
Прямые общего положения показаны на рис. 7. 
 

 

Прямые частного положения  

1. Прямые, параллельные одной плоскости проекций (прямые уровня) (рис. 8). 
l || π1;  z = const;  A′′B′′ || x;  |A′B′| = |AB|   

 
  
 
 
____________________________ 

      l || π2;  y = const; A′B′ || x; |A′′B′′| = |AB|           l || π3; x = const; A′B′ || y; A′′B′′ || z; |A′′′B′′′| = |AB| 

 
___________________________ 
 
 
____________________________ 

Рис. 8 

Рис. 7 

l ┴ π1 
 
 
      |A′′B′′| = |AB|; y = const;  х = const 

 
______________________________________ 

     l ┴ π2; |A′B′| = |AB|; z = const; х = const       l ┴ π3; |A′B′| = |A′′B′′| = |AB|;   z = const; y = const 

 
___________________________ 
 
 
____________________________ 

Рис. 9 

Взаимное положение двух прямых 

Прямые могут быть параллельны (l || m, рис. 10, а), пересекаться (l ∩ m;  K ∊ l;   K ∊ m, 
рис. 10, б) или скрещиваться (l ∸ m, рис. 10, в).  
Построить проекции конкурирующих точек на рис. 10, в. 

 
                                  а                                                        б                                                        в 

Рис. 10 

2. Прямые, перпендикулярные плоскости проекций (проецирующие прямые) 
(рис. 9), параллельны при этом другой плоскости проекций. 

Теорема о проекциях прямого угла (рис. 11):________________________________________ 

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________. 

Дано: m ∩  l; m ┴ l; l || π1;  при проецировании l′ ┴ m′. 

 

Рис. 11 
 
Отметим, что угол между скрещивающимися прямыми равен углу между 
параллельными им пересекающимися прямыми. 

3. ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ 

Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость в пространстве.  

Плоскость общего положения  

Варианты задания плоскости общего положения показаны на рис. 12. 

 

Рис. 12