Аксонометрические проекции

Г.С. Иванов, М.А. Морозова

Аксонометрические проекции

Учебное пособие

УДК 744(075.8) 
ББК 30.119 
И20 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/92/book1714.html 

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Инженерная графика» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

 
 
 
Иванов, Г. С. 
 
 
Аксонометрические проекции : учебное пособие / Г. С. Иванов, 
М. А. Морозова. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 32, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4759-6 
 
Приведена краткая теория аксонометрических изображений, изложены основные сведения о стандартных аксонометрических проекциях 
по ГОСТ 2.317 2011. Даны методические указания к построению аксонометрических проекций фигур. 
Для студентов 1-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 744(075.8) 
ББК 30.119 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
  
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4759-6                                             МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 

И20 

–

Предисловие 

Учебное пособие предназначено для самостоятельной подготовки студентов к выполнению домашнего задания по теме  
«Аксонометрия».  
Учебное пособие включает в себя пять разделов и приложения. 
Первый раздел посвящен теоретическим основам аксонометрии как вида наглядного изображения. Во втором рассмотрены 
основные виды стандартных аксонометрий. В третьем и четвертом 
разделах изложены принципы построения точек, линий и геометрических тел в аксонометрических проекциях. В пятом разделе 
рассмотрены изображения разрезов в аксонометрии. В приложениях 1–3 показаны примеры построения различных фигур и тел. 
Изучение материалов учебного пособия будет способствовать 
развитию у студентов пространственного мышления и  формированию профессиональных инженерных навыков. 
 
 

Введение 

Ортогональные проекции трехмерного предмета на две или 
три взаимно перпендикулярные плоскости (чертежи Монжа),  
являясь обратимыми изображениями, вполне определяют его 
геометрические формы и размеры, а также дают представление 
об относительном расположении в пространстве отдельных его 
элементов.  
Тем не менее чертежи Монжа имеют один существенный  
недостаток — плохую наглядность. 
На рис. В1 показан трехкартинный чертеж Монжа некоторого 
геометрического тела (три ортогональные проекции). Несмотря 
на обратимость чертежа, представить себе в пространстве форму 
этого предмета не так легко. 
Значительно легче понять пространственную форму данного 
предмета по его рисунку (рис. В2). Но по рисунку, в свою очередь, нельзя определить размеры этого геометрического тела.  
Таким образом, как ортогональные проекции предмета, так и его 
рисунок не отвечают одновременно двум требованиям, предъявляемым к чертежам, — измеримости и наглядности. 
 

 
 
Рис. В1 
Рис. В2 

1. АКСОНОМЕТРИЯ — ВИД НАГЛЯДНОГО  
ОБРАТИМОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ 

В инженерной практике широко применяется вид обратимого изображения (чертежа), называемый аксонометрическим. 
Название «аксонометрия» происходит от двух греческих слов — 
«аксон» и «метрео», означающих соответственно «ось» и «измеряю». 
Аксонометрический чертеж в отличие от чертежа Монжа отвечает одновременно двум требованиям: передает форму объекта, 
присущую рисунку, и сохраняет информацию о его истинных 
размерах, что характерно для чертежа.  
Аксонометрическое изображение получается в результате 
проецирования геометрического тела, отнесенного к пространственной (натуральной) системе координат, на плоскость проекций, называемую также картинной плоскостью или просто картиной.  
Наглядность изображения в этом случае достигается тем, что 
ни одна из осей координат не проецируется на картинную плоскость в точку (рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.1 

1.1. Основные понятия и определения 

Аксонометрическое изображение, приведенное на рис. 1.2, получается в результате проецирования фигуры (в данном случае — 
точки А), отнесенной к натуральной системе координат Oxyz,  
на аксонометрическую плоскость проекций πk. Точка А связывается с системой координат Oxyz посредством натуральной координатной ломаной AA1AxO, где [OAx] = xA, [AxA1] = yA, [A1A] = zA 
суть координаты точки А, измеренные натуральным единичным 
(масштабным) отрезком е. 

 
Рис. 1.2 

Проекция Аk точки А на πk называется аксонометрической проекцией, проекция А1k точки А1 — вторичной проекцией, проекция 
Ok xk yk zk — аксонометрической системой координат, Ak A1k Axk Ok — 
аксонометрической координатной ломаной, проекции exk, eyk, ezk — 
аксонометрическими единичными (масштабными) отрезками. Из 
свойств параллельного проецирования следует 

[
]

[ ]

[
]

[
]

;
x
k
xk
А
xk

OA
O A
х
e
e
=
=
 

[
]
[ ]

[
]
1
1
;
x
xk
k
А
yk

A A
A A
y
e
e
=
=
é
ù
ê
ú
ë
û
 

[
]

[ ]

[
]

[
]

1
1
,
k
k
А
zk

A A
A A
z
e
e
=
=
 

что определяет обратимость аксонометрического чертежа. 
Следует обратить внимание на то, что на аксонометрическом 
чертеже, как и на чертеже Монжа, точка А задается двумя проекциями (см. рис. 1.2): Аk — аксонометрической проекцией, А1k — 
вторичной проекцией. 
В зависимости от вида проецирования аксонометрии бывают 
центральные, параллельные (косоугольные) и прямоугольные 
(ортогональные). 
Искажения по аксонометрическим осям определяются показателями искажения, равными отношениям аксонометрических 
единичных отрезков к натуральному: 

[
]
[
]
[
]
;
;
.
[ ]
[ ]
[ ]

yk
xk
zk
e
e
e
u
v
w
e
e
e
=
=
=
 

В зависимости от соотношения между показателями искажения аксонометрия бывает: 
1) изометрической (все показатели искажения равны); 
2) диметрической (два показателя искажения равны, но не 
равны третьему); 
3) триметрической (все показатели искажения различны). 

1.2. Теорема Польке — Шварца  
для косоугольной аксонометрии 

На вопрос о том, насколько произвольно могут быть выбраны 
аксонометрические оси и аксонометрические единичные отрезки 
при построении аксонометрических изображений, отвечает основная теорема аксонометрии, называемая теоремой Польке — 
Шварца. Она утверждает, что в косоугольной аксонометрии выбор 
аксонометрических осей и единичных отрезков exk, eyk, ezk совершенно произволен. 

Таким образом, на основании этой теоремы можно утверждать, что фигура, полученная заданием на плоскости πk трех 
произвольных лучей Ok xk, Ok yk, Ok zk и отложенных на них трех 
отрезков exk, eyk, ezk произвольной длины (см. рис. 1.2), может рассматриваться как параллельная проекция трех взаимно перпендикулярных осей натуральной системы координат Oxyz с отложенными на них единичными отрезками е. 

1.3. Особенности и свойства прямоугольной аксонометрии 

Теорема Польке — Шварца недействительна для прямоугольной аксонометрии, так как задание направления проецирования 
s(OOk)πk (см. рис. 1.2) оставляет на выбор положения начала О 
натуральной системы координат Oxyz только одну степень свободы (O   s) вместо двух степеней свободы в случае косоугольной 
аксонометрии. Поэтому необходимо учитывать ограничения, 
накладываемые на выбор аксонометрической системы координат 
Ok xk yk zk и единичных отрезков exk, eyk, ezk, которые следуют непосредственно из свойств прямоугольной аксонометрии. 
Свойство 1. Треугольник 
следов xyz (рис. 1.3), по которому натуральная система координат пересекается с плоскостью изображения πk, является остроугольным. 
Это свойство очевидно: декартова система координат пересекается с любой плоскостью, 
отличной от координатной, по 
остроугольному треугольнику. 
Свойство 2. Аксонометрические оси Ok xk, Ok yk, Ok zk являются высотами треугольника следов xyz. 
Справедливость этого свойства следует из теоремы о проекции 
прямого угла. Например, прямые Oz, xy перпендикулярны, поэтому их проекции Ok zk, xk yk = xy также будут перпендикулярными. 
Свойство 3. Сумма квадратов показателей искажения равна 
двум: 
 
u2 + v2 + w2 = 2. 
(1.1) 

 
Рис. 1.3 

Эта формула называется основной формулой прямоугольной 
аксонометрии. 
Поскольку 0 ≤ u, v, w ≤ 1, то показатели искажения в прямоугольной аксонометрии нельзя выбирать произвольно. 
Таким образом, для задания в прямоугольной аксонометрии 
аксонометрической системы координат необходимо: 
 выбрать остроугольный треугольник следов (свойство 1);  
 построить его высоты, которые будут приняты в качестве 
аксонометрических осей координат (свойство 2);  
 выбрать показатели искажения, удовлетворяющие основной 
формуле (1.1) прямоугольной аксонометрии, 0 ≤ u, v, w ≤ 1 (свойство 3). 

2. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИИ  
ПО ГОСТ 2.317—2011 

Исходя из теоремы Польке — Шварца для косоугольной 
аксонометрии и свойств прямоугольной аксонометрии следует, 
что аксонометрических изображений, косоугольных и прямоугольных, теоретически может быть построено бесчисленное 
множество. 
Во избежание появления множества «частных» аксонометрий ГОСТ 2.317—2011 устанавливает пять стандартных аксонометрических изображений: три косоугольных и два прямоугольных. 
К аксонометрическим изображениям начертательная геометрия и инженерная графика предъявляют различные требования. 
Главным требованием к чертежу в начертательной геометрии 
является его обратимость. Поэтому здесь под аксонометрическим изображением понимают двухкартинный чертеж, когда 
любая фигура задается совокупностью аксонометрической и 
вторичной проекций. В инженерной графике аксонометрическое 
изображение ассоциируется лишь с аксонометрической проекцией фигуры, обеспечивающей ее наглядность. Поэтому при 
изображении реальных деталей их вторичные проекции не 
строят. 

2.1. Косоугольные аксонометрии 

Согласно теореме Польке — Шварца в косоугольной изометрии выбор координатных осей и единичных отрезков произвольный, поэтому ГОСТ 2.317—2011 предусматривает изображение 
одной координатной плоскости в натуральную величину. Это 
существенно упрощает построение плоских контуров, особенно 
криволинейных, в этих плоскостях. 

2.1.1. Горизонтальная изометрическая проекция 

Положение аксонометрических осей координат в случае горизонтальной изометрической проекции показано на рис. 2.1. 
При задании оси Оy допускается использовать углы наклона к 
горизонтальной линии, равные 30, 45 и 60. При этом угол 90 между осями Ох и Оу сохраняется. Показатели искажения u = v = w = 1. 
Плоские контуры детали, в частности окружности, параллельные координатной плоскости Оху, изображаются в натуральную величину, т. е. эллипс 2 на рис. 2.2 — окружность. Окружности, принадлежащие координатным плоскостям Охz и Oyz, проецируются в эллипсы (см. рис. 2.2).  
 

 
 
Рис. 2.1 
Рис. 2.2