Поверхности второго порядка

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

О.А. Бархатова, Г.С. Садыхов 

Поверхности второго порядка 

Методические указания  
к выполнению типового расчета 

2-е издание 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 513.56/58 
ББК 22.151.5 
 
Б26 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1667.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Высшая математика» 

 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 
 

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук, доцент А.В. Копаев  

Бархатова, О. А.  
Б26  
Поверхности второго порядка. Методические указания к выполнению типового расчета / О. А. Бархатова, Г. С. Садыхов. — 
2-е изд. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2017. — 36, [4] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4695-7 
Рассмотрены поверхности вращения, цилиндрические поверхности, 
типы поверхностей второго порядка и их канонические уравнения, построение тела, ограниченного пересекающимися поверхностями. Изложены 
краткие теоретические сведения, даны примеры решения задач, задачи для 
самостоятельного решения, а также варианты домашнего задания для выполнения типового расчета. 
Для студентов 1-го и 2-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

 
  УДК 513.56/58 
 
  ББК 22.151.5 
 
 
 
 

 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4695-7 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 

Предисловие 

В аналитической геометрии наряду с вопросом об аналитиче
ском представлении линии на плоскости важным является вопрос 
об аналитическом представлении поверхности и линии в пространстве с помощью уравнений, связывающих их координаты. 
Кроме того, для решения многих прикладных задач требуются построения поверхностей, тел, ограниченных поверхностями, линии 
пересечения тел и ее проекций на координатные плоскости. 

В издании приведено понятие об уравнении поверхности и 

уравнении линии в пространстве. Рассмотрены поверхности вращения и цилиндрические поверхности, понятие и основные типы 
уравнений второго порядка. Основное внимание уделено поверхностям второго порядка. Дана их классификация, изложено построение поверхностей методом сечений, а также построение тела, 
ограниченного пересекающимися поверхностями второго порядка, 
и нахождение уравнения проекции линии пересечения тел на координатные плоскости. 

Для самостоятельной работы приведены четыре задачи, в каж
дой по 30 вариантов для выполнения типового расчета. 

 

УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 

Будем рассматривать вещественные числа x, y, z как произвольные переменные величины в декартовой прямоугольной системе 
координат Oxyz. Пусть 
( , , )
F x y z  — некоторая заданная функция. 
Рассмотрим геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению вида 
( , , )
0.
F x y z 
 В общем случае это есть равенство, верное не для любых троек чисел x, y, z. Такое уравнение может определять поверхность, линию в пространстве, отдельные точки или не 
определять никакого геометрического образа, если не существует 
ни одной точки, координаты которой удовлетворяют уравнению. 
Уравнением поверхности называют уравнение вида  
 
 
( ,
, )
0,
F x y z 
  
(1) 

которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на 
этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Поверхность, определяемая уравнением (1), есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Уравнение поверхности (1) называют алгебраическим, если 
( , , )
F x y z  — целый многочлен от переменных x, y, z. 
Все неалгебраические уравнения поверхностей называют трансцендентными.  
Поверхность, которая определяется алгебраическим уравнением степени ,n  называют алгебраической поверхностью n-го порядка. 
Общий вид алгебраического уравнения первой степени, содержащего три переменные величины: 
0,
Ax
By
Cz
D




 где 
2
2
2
0.
A
B
C



 Это уравнение алгебраической поверхности первого порядка (плоскости). 
Общий вид алгебраического уравнения второй степени, содержащего три переменные величины: 
  
2
2
2
11
22
33
12
13
2
2
a x
a
y
a z
a xy
a xz




  
  
23
1
2
3
0
2
2
2
2
0,
a yz
a x
a y
a z
a






 
(2)