Поверхности второго порядка

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

О.А. Бархатова, Г.С. Садыхов 

Поверхности второго порядка 

Методические указания  
к выполнению типового расчета 

2-е издание 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 513.56/58 
ББК 22.151.5 
 
Б26 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1667.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Высшая математика» 

 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 
 

Научный редактор: канд. физ.-мат. наук, доцент А.В. Копаев  

Бархатова, О. А.  
Б26  
Поверхности второго порядка. Методические указания к выполнению типового расчета / О. А. Бархатова, Г. С. Садыхов. — 
2-е изд. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2017. — 36, [4] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4695-7 
Рассмотрены поверхности вращения, цилиндрические поверхности, 
типы поверхностей второго порядка и их канонические уравнения, построение тела, ограниченного пересекающимися поверхностями. Изложены 
краткие теоретические сведения, даны примеры решения задач, задачи для 
самостоятельного решения, а также варианты домашнего задания для выполнения типового расчета. 
Для студентов 1-го и 2-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

 
  УДК 513.56/58 
 
  ББК 22.151.5 
 
 
 
 

 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4695-7 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 

Предисловие 

В аналитической геометрии наряду с вопросом об аналитиче
ском представлении линии на плоскости важным является вопрос 
об аналитическом представлении поверхности и линии в пространстве с помощью уравнений, связывающих их координаты. 
Кроме того, для решения многих прикладных задач требуются построения поверхностей, тел, ограниченных поверхностями, линии 
пересечения тел и ее проекций на координатные плоскости. 

В издании приведено понятие об уравнении поверхности и 

уравнении линии в пространстве. Рассмотрены поверхности вращения и цилиндрические поверхности, понятие и основные типы 
уравнений второго порядка. Основное внимание уделено поверхностям второго порядка. Дана их классификация, изложено построение поверхностей методом сечений, а также построение тела, 
ограниченного пересекающимися поверхностями второго порядка, 
и нахождение уравнения проекции линии пересечения тел на координатные плоскости. 

Для самостоятельной работы приведены четыре задачи, в каж
дой по 30 вариантов для выполнения типового расчета. 

 

УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 

Будем рассматривать вещественные числа x, y, z как произвольные переменные величины в декартовой прямоугольной системе 
координат Oxyz. Пусть 
( , , )
F x y z  — некоторая заданная функция. 
Рассмотрим геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению вида 
( , , )
0.
F x y z 
 В общем случае это есть равенство, верное не для любых троек чисел x, y, z. Такое уравнение может определять поверхность, линию в пространстве, отдельные точки или не 
определять никакого геометрического образа, если не существует 
ни одной точки, координаты которой удовлетворяют уравнению. 
Уравнением поверхности называют уравнение вида  
 
 
( ,
, )
0,
F x y z 
  
(1) 

которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на 
этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Поверхность, определяемая уравнением (1), есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Уравнение поверхности (1) называют алгебраическим, если 
( , , )
F x y z  — целый многочлен от переменных x, y, z. 
Все неалгебраические уравнения поверхностей называют трансцендентными.  
Поверхность, которая определяется алгебраическим уравнением степени ,n  называют алгебраической поверхностью n-го порядка. 
Общий вид алгебраического уравнения первой степени, содержащего три переменные величины: 
0,
Ax
By
Cz
D




 где 
2
2
2
0.
A
B
C



 Это уравнение алгебраической поверхности первого порядка (плоскости). 
Общий вид алгебраического уравнения второй степени, содержащего три переменные величины: 
  
2
2
2
11
22
33
12
13
2
2
a x
a
y
a z
a xy
a xz




  
  
23
1
2
3
0
2
2
2
2
0,
a yz
a x
a y
a z
a






 
(2) 

где хотя бы один из коэффициентов 
,
ij
a
 
1,3,
1,3,
i
j


 отличается 
от нуля, т. е. уравнение содержит члены второй степени. Уравнение (2) представляет собой уравнение или произвольно расположенной алгебраической поверхности второго порядка, или ее вырожденной формы, или мнимого геометрического объекта. 
Если функция 
( , , )
F x y z  в уравнении (1) есть произведение 
m функций 

1
2
( , , ),
( , , ), ...,
( , , ):
m
F x y z
F x y z
F
x y z
 
1
( , , )
( , , ),
m

i
i

F x y z
F x y z

 
 

то уравнение (1) распадется на совокупность m уравнений: 

1
2
( , , )
0,
( , , )
0, ...,
( , , )
0.
m
F x y z
F x y z
F
x y z



 

Это уравнения объединения m поверхностей. 

Пример 1. Определить, какие точки пространства Oxyz геометрически заданы уравнением 
2
2
2
4
2
0.
x
y
yz
z




 
Решение. После преобразования к виду  

2
2
4
(
)
0,
(2
)(2
)
0
x
y
z
x
y
z
x
y
z








 

заданное алгебраическое уравнение второй степени распадается на 
два уравнения первой степени: 2
0
x
y
z



 и 2
0.
x
y
z



 Это 
уравнения двух плоскостей, проходящих через начало координат. 
Линия в пространстве может быть задана как пересечение двух 
поверхностей с уравнениями 
1( , , )
0
F x y z 
 и 
2( , , )
0.
F x y z 
 Тогда 
система уравнений  

  
1

2

( , , )
0,

( , , )
0

F x y z

F x y z






  
(3) 

определяет данную линию. 
Поскольку линия в пространстве может быть получена как пересечение различных пар поверхностей, то существует бесконечно 
много способов задания каждой линии. 
При исследовании поверхностей решают две основные задачи 
аналитической геометрии: 
1) по известному свойству множества точек поверхности выводят уравнение поверхности; 
2) по известному уравнению поверхности исследуют свойства 
множества точек этой поверхности. 

Пример 2. Сферой называют геометрическое место точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центра сферы). 
Вывести уравнение сферы по известному радиусу и координатам 
центра. 
Решение. Выведем уравнение сферы, центр которой находится 
в начале координат, а радиус равен a. По определению расстояние 
любой точки 
( , , )
M x y z  сферической поверхности от начала координат 
равно 
a, 
что 
можно 
записать 
в 
виде 
равенства 

2
2
2
,
x
y
z
a



 которое после возведения в квадрат принимает 

вид 
2
2
2
2.
x
y
z
a



 Это искомое уравнение сферы. 
Для исследования свойств множества точек поверхности по ее 
уравнению (1) удобно использовать метод сечений. 

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 

Поверхностью вращения называют поверхность, любое сечение которой плоскостью, проходящей через точку поверхности и 
перпендикулярной к некоторой прямой (оси вращения), содержит 
окружность, проходящую через взятую точку и имеющую центр 
на этой прямой. 
Поверхность вращения (рис. 1) образована вращением плоской 
кривой c вокруг прямой d (оси вращения), расположенной в ее 
плоскости. При этом каждая точка M кривой c описывает окружность. 
Чтобы найти уравнение поверхности, образованной вращением линии, принадлежащей координатной плоскости, вокруг координатной оси этой плоскости, нужно в уравнении линии оставить без изменения переменную, соответствующую оси вращения, а другую переменную заменить квадратным корнем из 
суммы квадратов этой переменной и переменной, не входящей в 
уравнение линии.  

Пусть плоская кривая 

( , )
0,
0
F x y
z


 

задана в полуплоскости 
0.
y 
 Поверхность образована вращением этой кривой вокруг оси Ox. Чтобы составить 
уравнение этой поверхности, нужно в 

 

Рис. 1 

уравнении кривой x оставить без изменения, а вместо y подставить 

2
2 .
y
x

 Получаем уравнение поверхности вращения вокруг 
оси Ox в виде  

2
2
( ,
)
0.
F x
y
z


 

З а м е ч а н и е. Если кривая задана для полуплоскости 
0,
y 
 то 

уравнение поверхности вращения имеет вид 
2
2
( ,
)
0.
F x
y
z



 

Пример 3. 
В 
плоскости 
Oxyz 
задана 
окружность 
2
2
2
(
)
,
x
b
y
a



 
0.
b
a


 Составить уравнение поверхности, 
образованной вращением этой окружности вокруг оси Oy.  
Решение. В уравнении окружности y оставим без изменения, а 

x заменим на 
2
2 .
x
y

 Тогда уравнение поверхности вращения 

можно записать в виде 
2
2
2
2
2
(
)
.
x
z
b
y
a




 После преобра
зования получим 
2
2
2
2
2
2
2
2
,
x
y
z
b
a
b x
z






 что эквива
лентно уравнению 
2
2
2
2
2 2
2
2
2
(
)
4
(
).
x
y
z
b
a
b
x
z






 Эту поверхность называют тором.  

Пример 4. В плоскости 
0
z 
 задана кривая 
sin .
y
x

 Составить yравнение поверхности, образованной вращением этой кривой вокруг оси Ox. 
Решение. В уравнении кривой оставим x без изменения, а y за
меним на 
2
2 .
y
z


 Получим уравнение поверхности вращения 

2
2
sin
y
z
x



, или 
2
2
2
sin
.
y
z
x


 
При вращении кривых второго порядка вокруг их осей симметрии образуются поверхности вращения второго порядка. Если 
осью вращения какой-либо поверхности является координатная 
ось, то в уравнение такой поверхности две переменные величины 
входят только в виде суммы их квадратов, а третья переменная 
определяет ось вращения. 

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 

Цилиндрической называют поверхность, образованную прямой (образующей), которая при перемещении в пространстве не 
меняет направления и пересекает определенную линию (направляющую) (рис. 2). 
В общем случае уравнение цилиндрической поверхности может 
быть составлено по заданным в виде (3) уравнениям направляющей 
линии и направлению образующей. Если 
образующие цилиндрической поверхности 
параллельны одной из координатных осей, 
то уравнение такой поверхности не содержит переменную, соответствующую этой 
оси. Уравнения направляющей могут быть 
заданы как уравнения линии пересечения 
двух поверхностей вида (3), расположенной в плоскости координат. 
Уравнение вида 
( , )
0
F x y 
 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и с на
правляющей 

( , )
0,
0.
F x y
z


 Уравнение вида 
( , )
0
F x z 
 определяет 

цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными 

оси Oy, и с направляющей 

( , )
0,
0.
F x z
y


 Уравнение вида 
( , )
0
F y z 
 

определяет цилиндрическую поверхность с образующими, парал
лельными оси Ox, и с направляющей 

( , )
0,
0.
F y z
x


 

Цилиндры второго порядка — это цилиндрические поверхности, направляющими которых являются кривые второго порядка, а образующими являются прямые, перпендикулярные плоскостям, в которых расположены соответствующие кривые. Если 
направляющая лежит в одной из координатных плоскостей, то образующая параллельна третьей координатной оси. Название цилиндра второго порядка определяется названием соответствующей 
направляющей. 
Основные типы цилиндров второго порядка и случаи их вырождения представлены в табл. 1.  

 

Рис. 2 
 

Таблица 1 

Каноническое 
уравнение поверхности 

Положение образующей 

Название и 
уравнения 
направляющей 

Название 
поверхности 

Рисунок 
 поверхности 

Замечания 

2
2

2
2
1
x
y
a
b

  
Параллельны 
оси Oz  

Эллипс 

2
2

2
2
1
x
y
a
b
z
h





 


 

Эллиптический 
цилиндр 

 

При 
a
b

 
круговой 
цилиндр 

2
2

2
2
1
x
y
a
b

  
Параллельны 
оси Oz  

Гипербола 

2
2

2
2
1
x
y
a
b
z
h





 


 

Гиперболический 
цилиндр 

 

 

2
2
x
py

 
Параллельны 
оси Oz  

Парабола 

2
2
x
py

z
h



 

 

Параболический 
цилиндр 

0

 

Случаи вырождения 

2
2

2
2
1
x
y
a
b


 


   
  

Мнимый 
эллиптический 
цилиндр 

 
 

2
2

2
2
0
x
y
a
b


 
  
  
Две мнимые пересекающиеся плоскости 
 

Прямая 
0

0

x

y






 

2
2

2
2
0
x
y
a
b


 
  
  

Две пересекающиеся плоскости 

 

b
y
x
a
 

 

2
2
0
x
a


 

  
   

Две параллельные плоскости 
 

x
a
 
 

 

Окончание табл. 1 

Каноническое 
уравнение поверхности 

Положение образующей 

Название и 
уравнения 
направляющей 

Название 
поверхности 

Рисунок 
 поверхности 

Замечания 

2
2
0
x
a


 

  
   

Две мнимые параллельные плоскости 

 
  

2
0
x 
 

  
  

Две совпадающие 
плоскости 

 

  

З а м е ч а н и я.  
1. В табл. 1 уравнения записаны в каноническом виде на примере цилиндров с образующими, параллельными оси Oz. Для поверхностей, 
смещенных относительно начала координат, уравнение следует привести 
к каноническому виду, как это делают для кривых второго порядка. Случай поворота осей координат в данном пособии не рассматривается (он 
будет рассмотрен при изучении темы «Квадратичные формы»).  
2. Различных типов цилиндров второго порядка три (эллиптический, 
гиперболический и параболический), т. е. столько, сколько кривых второго порядка. В каждом типе возможны различные сочетания знаков и 
переменных.  
3. Для цилиндров с образующими, параллельными осям Ox и Oy, соответственно изменится состав переменных в уравнении и положение 
поверхности относительно осей координат.  

Пример 5. Определить тип поверхности, заданной уравнением 

2
2
4,
z
x


 и построить ее. 
Решение. Заданное уравнение поверхности второго порядка 
не содержит одну компоненту, следовательно, это уравнение цилиндрической поверхности. Отсутствующая координата y означает, что образующая цилиндра параллельна оси Oy. Направляющая может быть определена как линия пересечения поверхно
сти заданного цилиндра и плоскости Oxz: 

2
2
4,
0.
z
x
y







 Кривая