Тензор кривизны
Покупка
Новинка
Год издания: 2015
Кол-во страниц: 32
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7038-4175-4
Артикул: 838983.01.99
Вводятся понятия тензора кручения и тензора кривизны в пространстве с линейной связностью. В основном рассматриваются пространства со связностью Леви — Чивита. Подробно рассматривается понятие кривизны в двумерном направлении. Заканчивается изложение доказательством теоремы Шура о пространствах постоянной кривизны. Пособие содержит домашнее задание. Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Математика и компьютерные науки».
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Е. А. Губарева, А. Н. Щетинин Тензор кривизны Учебное пособие
УДК 514.765(075.8) ББК 22.151.62 Г93 Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1132.html Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» Рекомендовано Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИНЭИ РАН А.М. Лукацкий, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана Н.Г. Хорькова Губарева, Е. А. Г93 Тензоркривизны:учебноепособие/Е.А.Губарева, А. Н. Щетинин. — Москва : Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. — 29, [3] с. : ил. ISBN 978-5-7038-4175-4 Вводятся понятия тензора кручения и тензора кривизны в пространстве с линейной связностью. В основном рассматриваются пространства со связностью Леви — Чивита. Подробно рассматривается понятие кривизны в двумерном направлении. Заканчивается изложение доказательством теоремы Шура о пространствах постоянной кривизны. Пособие содержит домашнее задание. Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Математика и компьютерные науки». УДК 514.765(075.8) ББК 22.151.62 ISBN 978-5-7038-4175-4 c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 c⃝ Оформление. Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015
ПРЕДИСЛОВИЕ В ранее изданном учебном пособии [1] были рассмотрены основные понятия тензорного анализа. Главное внимание было уделено задаче дифференцирования тензорных полей. Ввиду ограниченности объема пособия не было возможности рассмотреть тензоры кручения и кривизны и их связь с известными из классической дифференциальной геометрии понятиями кривизны. Настоящее пособие призвано устранить этот недостаток. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Изучается геометрия в области U ⊆ Rn и на поверхности в пространстве Rn. Все функции, поля и т. д. считаются гладкими (класса C∞). Напомним некоторые определения и факты [1,2,3]. Через F(U) обозначим множество функций в области U, через V(U) и V∗(U) — множества векторных и ковекторных полей в области U соответственно. Множество F(U) образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций. Множества V(U) и V∗(U) обладают естественными структурами модуля над кольцом F(U). Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi = ∂ ∂xi — базисные векторные поля, i = 1, . . . , k. Имеем (Xi)p ∈ Rn p, где Rn p — касательное пространство к пространству Rn в точке p ∈ Rn. Для векторного поля X = ξiXi и функции f производной по направлению поля X называется функция ∂Xf = ξi ∂f ∂xi . Она не зависит от выбора системы координат. Для векторных полей X, Y определен их коммутатор, или скобка Ли. Если X = ξiXi, Y = ηjXj, i, j = 1, . . . , k, то поле F = [X, Y ] имеет координаты ϕi = ξα ∂ηi ∂xα − ηα ∂ξi ∂xα , 3
где суммирование осуществляется по α = 1, . . . , k. Это понятие также не зависит от выбора системы координат. Как легко заметить, [X, Y ] = −[Y, X]. Коммутатор базисных полей равен нулю: [Xi, Xj] = 0. (1.1) Легко проверить справедливость равенств [fX,Y ]=f[X,Y ]−(∂Y f)X; [X,fY ]=f[X,Y ]+(∂Xf)Y. (1.2) Кроме того, имеет место свойство [∂X, ∂Y ] = ∂X∂Y − ∂Y ∂X = ∂[X,Y ]. (1.3) Пусть задана линейная связность ∇. Напомним, что при этом векторным полям X и Y ставится в соответствие новое поле ∇XY , причем справедливы следующие равенства: 1) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ; 2) ∇X(fY ) = (∂Xf)Y + f∇XY ; 3) ∇X+Y Z = ∇XZ + ∇Y Z; 4) ∇fX = f∇XY . Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi = ∂ ∂xi — базисные векторные поля. Имеем ∇kXi = Γj kiXj. Здесь ∇k = ∇Xk. Функции Γk ij называют коэффициентами линейной связности (или символами Кристоффеля). Пусть в каждом касательном пространстве Rn p, p ∈ U, задано скалярное произведение. Тогда можно получить так называемый метрический тензор. Его координаты в заданной системе координат имеют вид gij = (Xi, Xj). 2. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ Пусть в рассматриваемой области пространства задана метрика (метрический тензор) (gij). Рассмотрим матрицу (gij), обратную к (gij): giαgαj = δj i . Заданная метрика однозначно определяет 4
связность Леви — Чивита по формулам Γl ik = 1 2glj ∂gij ∂xk + ∂gjk ∂xi − ∂gik ∂xj (2.1) (формулы Кристоффеля). Для ковариантной производной метрического тензора справедливы формулы [1,2] (∇ig)jk = ∂gjk ∂xi − Γα ijgαk − Γα ikgjα. Это значит, что имеет место формула (∇Xg)(Y, Z) = ∇X(g(Y, Z)) − g(∇XY, Z) − g(Y, ∇XZ), (2.2) где X = Xi, Y = Xj, Z = Xk. Справедливо и обратное утверждение: если формула (2.2) справедлива для базисных полей, то по линейности она верна и для произвольных полей. Будем писать вместо g(X, Y ) просто (X, Y ). Так как ∇Xg = 0, мы получаем правило дифференцирования скалярного произведения: ∇X(Y, Z) = ∂X(Y, Z) = (∇XY, Z) + (Y, ∇XZ). (2.3) Напомним, что для функций ковариантная производная совпадает с производной по направлению: ∇Xf = ∂Xf. Приведем примеры вычисления символов Кристоффеля. Сначала рассмотрим поверхность в пространстве R3. Как хорошо известно из курса математического анализа, всегда можно выбрать систему координат таким образом, что в окрестности данной точки поверхность будет задана уравнением z = z(x, y). Тогда, как известно из курса дифференциальной геометрии (см., например, [4]), первая квадратичная форма поверхности есть ds2 = (1 + z2 x) dx2 + 2zxzy dx dy + (1 + z2 y) dy2, (2.4) 5
gij = 1 + z2 x zxzy zxzy 1 + z2 y , gij = 1 1 + z2y + z2y 1 + z2 y −zxzy −zxzy 1 + z2 x . Гауссову кривизну можно вычислить как K = zxxzyy − z2 xy (1 + z2x + z2y)2 . (2.5) По формулам Кристоффеля, учитывая, что ∂g11 ∂x1 = ∂g11 ∂x = 2zxzxx, ∂g11 ∂x2 = ∂g11 ∂y = 2zxzxy; ∂g12 ∂x1 = ∂g21 ∂x1 = ∂g12 ∂x = zyzxx + zxzxy; ∂g12 ∂x2 = ∂g21 ∂x2 = ∂g12 ∂y = zxzyy + zyzxy; ∂g22 ∂x1 = ∂g22 ∂x = 2zyzxy, ∂g22 ∂x2 = ∂g22 ∂y = 2zyzyy, находим Γ1 11 = 1 2g11 ∂g11 ∂x1 + ∂g11 ∂x1 − ∂g11 ∂x1 + 1 2g12 ∂g12 ∂x1 + ∂g21 ∂x1 − ∂g11 ∂x2 = = (1+z2 y)2zxzxx−zxzy(2zyzxx+2zxzxy −2zxzxy) 2(1+z2x+z2y) = zxzxx 1+z2x+z2y ; Γ1 12 = 1 2g11 ∂g11 ∂x2 + ∂g12 ∂x1 − ∂g12 ∂x1 + 1 2g12 ∂g12 ∂x2 + ∂g22 ∂x1 − ∂g12 ∂x2 = = (1+z2 y)2zxzxy −zxzy ·2zyzxy 2(1+z2x+z2y) = zxzxy 1+z2x+z2y ; Γ1 22 = 1 2g11 ∂g21 ∂x2 + ∂g12 ∂x2 − ∂g22 ∂x1 + 1 2g12 ∂g22 ∂x2 + ∂g22 ∂x2 − ∂g22 ∂x2 = = (1+z2 y)2zxzyy −zxzy ·2zyzyy 2(1+z2x+z2y) = zxzyy 1+z2x+z2y . 6
Ввиду симметрии по x и y окончательно получаем Γ1 11 = zxzxx 1 + z2x + z2y , Γ1 22 = zxzyy 1 + z2x + z2y , Γ1 12 = Γ1 21 = zxzxy 1 + z2x + z2y , Γ2 11 = zyzxx 1 + z2x + z2y , Γ2 22 = zyzyy 1 + z2x + z2y , Γ2 12 = Γ2 21 = zyzxy 1 + z2x + z2y . (2.6) Рассмотрим конкретные примеры. Пример 2.1. Пусть поверхность представляет собой эллиптический параболоид 2z = x2 a2 + y2 b2 . Вычисляем производные: zx = x a2 ; zy = y b2 ; zxx = 1 a2 ; zxy = 0; zyy = 1 b2 . Значит, ds2 = 1 + x2 a4 dx2 + 2xy a2b2 dx dy + 1 + y2 b4 dy2, т. е. gij = 1+ x2 a4 xy a2b2 xy a2b2 1+ y2 b4 ; gij = 1 1+ x2 a4 + y2 b4 1+ y2 b4 − xy a2b2 − xy a2b2 1+ x2 a4 . Далее имеем Γ1 11 = x a4 1 + x2 a4 + y2 b4 , Γ2 11 = y a2b2 1 + x2 a4 + y2 b4 , Γ1 22 = x a2b2 1 + x2 a4 + y2 b4 , Γ2 22 = y b4 1 + x2 a4 + y2 b4 , Γ1 12 = Γ1 21 = Γ2 12 = Γ2 21 = 0. 7
Пример 2.2. Рассмотрим обычную сферу радиуса a с центром в начале координат: x2 + y2 + z2 = a2. Ее можно задать параметрически: x = a cos u cos v, y = a cos u sin v, z = a sin u −π 2 ≤ u ≤ π 2 , 0 ≤ v < 2π . Первая квадратичная форма имеет вид ds2 = a2du2 + a2 cos2 u dv2. Таким образом, (gij) = a2 0 0, a2 cos2 u ; (gij) = a−2 0 0, a−2 cos−2 u . Применяя формулы Кристоффеля, находим, что Γ1 22 = sin u cos u; Γ2 12 = Γ2 21 = − tg u, остальные Γk ij = 0. Заметим, что символы Кристоффеля не зависят от a. Пример 2.3. Рассмотрим метрику на плоскости ds2 = a2du2 + a2 ch2 u dv2. Вычислим коэффициенты линейной связности. Точно так же, как в предыдущем примере, находим Γ1 22 = sh u ch u, Γ2 12 = Γ2 21 = th u, остальные Γk ij = 0. Пример 2.4. Рассмотрим плоскость Лобачевского как верхнюю полуплоскость v > 0 с метрикой ds2 = du2 + dv2 v2 . 8
Имеем (gij) = v−2 0 0, v−2 , (gij) = v2 0 0, v2 . Как и выше, по формулам Кристоффеля легко находим Γ2 11 = 1 v; Γ1 12 = Γ1 21 = Γ2 22 = −1 v, остальные Γk ij = 0. Для определения связности наличие метрики не обязательно. Пример 2.5. Пусть поля Y1, . . . , Yn образуют параллелизацию в некоторой области пространства. Это значит, что в каждой точке p этой области векторы (Y1)p, . . . , (Yn)p линейно независимы. Положим ∇XY = (∂Xηj)Yj, (2.7) если Y = ηjYj. Докажем, что мы действительно получили линейную связность. Проверим выполнение аксиом (1)–(4) линейной связности: 1) ∇X(Y + Z) = (∂X(ηj + ζj))Yj = (∂Xηj)Yj + (∂Xζj)Yj = = ∇XY + ∇XZ, где Z = ζjYj; 2) ∇X(fY ) = (∂X(fηj))Yj = (∂Xf)ηjYj + f(∂Xηj)Yj = = (∂Xf)Y + f∇XY ; 3) ∇X+Y Z = (∂X+Y ζj)Yj = (∂Xζj)Yj + (∂Y ζj)Yj = ∇XZ + + ∇Y Z; 4) ∇fXY = (∂fXηj)Yj = f(∂Xηj)Yj = f∇XY . Пример 2.6. Рассматривая в качестве полей Y1, . . . , Yn базисные поля e1, . . . , en, можно получить связность в пространстве Rn, называемую канонической связностью. Для канонической связности, очевидно, все Γk ij = 0. Пример 2.7. Векторные поля Y1 = cos x e1 + sin x e2; Y2 = − sin x e1 + cos x e2 задают параллелизацию в R2 (проверьте). Имеем e1 = cos x 1Y1 − sin x Y2; e2 = sin x Y1 + cos x Y2. 9
По определению (2.7) находим ∇1e1 = ∇e1e1 = ∂x(cos x) Y1 − ∂x(sin x) Y2 = = − sin x Y1 − cos x Y2 = −e2. Значит, Γ1 11 = 0, Γ2 11 = −1. Аналогично ∇1e2 = ∇e1e2 = ∂x(sin x) Y1 + ∂x(cos x) Y2 = = cos x Y1 − sin x Y2 = e1, откуда Γ1 12 = 1, Γ2 12 = 0. Ясно также, что ∇2e1 = ∇2e2 = 0, откуда Γ1 21 = Γ2 21 = Γ1 22 = Γ2 22 = 0. Пример 2.8. Положим в пространстве R3 ˜∇XY = ∇XY + 1 2X × Y, где ∇ — каноническая связность; X×Y — векторное произведение. Докажем, что ˜∇ — линейная связность. Мы должны проверить справедливость аксиом (1)–(4) линейной связности. В силу свойств канонической связности и векторного произведения получаем: 1) ˜∇X(Y +Z) = ∇X(Y +Z)+ 1 2X ×(Y +Z) = ∇XY +∇XZ + + 1 2X × Y + 1 2X × Z = ˜∇XY + ˜∇XZ; 2) ˜∇X(fY ) = ∇X(fY ) + 1 2X × fY = (∂Xf)Y + f∇XY + + f 1 2X × Y = (∂Xf)Y + f ˜∇XY ; 3) ˜∇X+Y Z = ∇X+Y Z + 1 2(X + Y ) × Z = ∇XZ + ∇Y Z + + 1 2X × Z + 1 2Y × Z = ˜∇XZ + ˜∇Y Z; 4) ˜∇fXY = ∇fXY + 1 2fX ×Y = f∇XY +f 1 2X ×Y = f ˜∇XY . Легко вычислить, что Γ3 12 = Γ2 31 = Γ1 23 = 1 2, Γ3 21 = Γ2 13 = Γ1 32 = −1 2. Остальные коэффициенты связности равны нулю. 10