Тензор кривизны

Московский государственный технический университет

имени Н. Э. Баумана

Е. А. Губарева, А. Н. Щетинин

Тензор кривизны

Учебное пособие

УДК 514.765(075.8)
ББК 22.151.62
Г93

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1132.html

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, ведущий научный
сотрудник ИНЭИ РАН А.М. Лукацкий,
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная математика»
МГТУ им. Н.Э. Баумана Н.Г. Хорькова

Губарева, Е. А.
Г93
Тензоркривизны:учебноепособие/Е.А.Губарева, А. Н. Щетинин. — Москва : Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2015. — 29, [3] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4175-4

Вводятся понятия тензора кручения и тензора кривизны в пространстве с линейной связностью. В основном рассматриваются пространства со связностью Леви — Чивита. Подробно рассматривается
понятие кривизны в двумерном направлении.
Заканчивается изложение доказательством теоремы Шура о пространствах постоянной
кривизны. Пособие содержит домашнее задание.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Математика и компьютерные
науки».

УДК 514.765(075.8)
ББК 22.151.62

ISBN 978-5-7038-4175-4

c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015
c⃝ Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

В ранее изданном учебном пособии [1] были рассмотрены
основные понятия тензорного анализа.
Главное внимание было уделено задаче дифференцирования тензорных полей.
Ввиду
ограниченности объема пособия не было возможности рассмотреть тензоры кручения и кривизны и их связь с известными из
классической дифференциальной геометрии понятиями кривизны.
Настоящее пособие призвано устранить этот недостаток.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Изучается геометрия в области U ⊆ Rn и на поверхности в
пространстве Rn. Все функции, поля и т. д. считаются гладкими
(класса C∞). Напомним некоторые определения и факты [1,2,3].
Через F(U) обозначим множество функций в области U, через
V(U) и V∗(U) — множества векторных и ковекторных полей
в области U соответственно.
Множество F(U) образует кольцо
относительно обычных операций сложения и умножения функций.
Множества V(U) и V∗(U) обладают естественными структурами
модуля над кольцом F(U).
Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi =
∂
∂xi — базисные
векторные поля, i = 1, . . . , k.
Имеем (Xi)p ∈ Rn
p, где Rn
p —
касательное пространство к пространству Rn в точке p ∈ Rn.
Для векторного поля X = ξiXi и функции f производной по
направлению поля X называется функция

∂Xf = ξi ∂f

∂xi .

Она не зависит от выбора системы координат.
Для векторных полей X, Y определен их коммутатор, или
скобка Ли. Если X = ξiXi, Y = ηjXj, i, j = 1, . . . , k, то поле
F = [X, Y ] имеет координаты

ϕi = ξα ∂ηi

∂xα − ηα ∂ξi

∂xα ,

3

где суммирование осуществляется по α = 1, . . . , k. Это понятие
также не зависит от выбора системы координат. Как легко заметить,

[X, Y ] = −[Y, X].

Коммутатор базисных полей равен нулю:

[Xi, Xj] = 0.
(1.1)

Легко проверить справедливость равенств

[fX,Y ]=f[X,Y ]−(∂Y f)X;
[X,fY ]=f[X,Y ]+(∂Xf)Y.
(1.2)

Кроме того, имеет место свойство

[∂X, ∂Y ] = ∂X∂Y − ∂Y ∂X = ∂[X,Y ].
(1.3)

Пусть задана линейная связность ∇. Напомним, что при этом
векторным полям X и Y ставится в соответствие новое поле ∇XY ,
причем справедливы следующие равенства:
1) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ;
2) ∇X(fY ) = (∂Xf)Y + f∇XY ;
3) ∇X+Y Z = ∇XZ + ∇Y Z;
4) ∇fX = f∇XY .

Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi =
∂
∂xi — базисные
векторные поля. Имеем

∇kXi = Γj
kiXj.

Здесь ∇k = ∇Xk. Функции Γk
ij называют коэффициентами линейной связности (или символами Кристоффеля).
Пусть в каждом касательном пространстве Rn
p, p ∈ U, задано
скалярное произведение. Тогда можно получить так называемый
метрический тензор. Его координаты в заданной системе координат
имеют вид gij = (Xi, Xj).

2. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ

Пусть в рассматриваемой области пространства задана метрика
(метрический тензор) (gij). Рассмотрим матрицу (gij), обратную
к (gij): giαgαj = δj
i .
Заданная метрика однозначно определяет

4