Тензор кривизны
Тензор кривизны: Краткий обзор учебного пособия
Данное учебное пособие, разработанное Е.А. Губаревой и А.Н. Щетининым для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, представляет собой углубленное изучение тензорного анализа, фокусируясь на ключевых понятиях тензора кручения и тензора кривизны. Пособие является логическим продолжением предыдущей работы авторов, посвященной основам тензорного анализа, и призвано восполнить пробелы в понимании дифференциальной геометрии, возникшие из-за ограниченного объема предыдущего издания.
Предварительные сведения и символы Кристоффеля
В первой главе авторы напоминают основные определения и факты, необходимые для понимания материала. Рассматриваются гладкие функции, векторные и ковекторные поля, а также их свойства в области U ⊆ Rn и на поверхности в пространстве Rn. Особое внимание уделяется понятиям производной по направлению, коммутатора векторных полей и линейной связности. Далее вводится понятие метрического тензора и выводятся формулы для вычисления символов Кристоффеля, которые играют ключевую роль в определении связности Леви-Чивита. Приводятся примеры вычисления символов Кристоффеля для различных поверхностей, включая эллиптический параболоид, сферу и плоскость Лобачевского.
Тензор кручения и тензор кривизны
В последующих главах вводятся основные понятия, рассматриваемые в пособии. Тензор кручения характеризует несимметричность связности, а тензор кривизны описывает, как связность влияет на параллельное перенесение векторов. Авторы подробно рассматривают свойства этих тензоров, включая их симметрии и ковариантную производную. Приводятся примеры вычисления тензора кручения для различных связностей, а также вычисляются координаты тензора кривизны.
Кривизна поверхности и пространства постоянной кривизны
Отдельное внимание уделяется кривизне поверхности в пространстве R3, где авторы выводят формулы для вычисления гауссовой кривизны и показывают связь между тензором кривизны и гауссовой кривизной. Рассматриваются примеры вычисления тензора кривизны, тензора Риччи и скалярной кривизны для различных поверхностей, таких как эллиптический параболоид и сфера. В заключительной части пособия рассматриваются пространства постоянной кривизны, вводится тензор R1 и доказывается теорема Шура, которая утверждает, что если кривизна в двумерном направлении не зависит от направления в каждой точке, то она не зависит и от точки.
Заключение
Учебное пособие завершается разделом с домашним заданием, включающим задачи на вычисление различных геометрических характеристик для заданных поверхностей и проверку свойств тензоров. Данное пособие представляет собой ценный вклад в изучение дифференциальной геометрии, предоставляя студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана необходимые знания и навыки для работы с тензорами кривизны и кручения.
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Е. А. Губарева, А. Н. Щетинин Тензор кривизны Учебное пособие
УДК 514.765(075.8) ББК 22.151.62 Г93 Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1132.html Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» Рекомендовано Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник ИНЭИ РАН А.М. Лукацкий, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана Н.Г. Хорькова Губарева, Е. А. Г93 Тензоркривизны:учебноепособие/Е.А.Губарева, А. Н. Щетинин. — Москва : Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. — 29, [3] с. : ил. ISBN 978-5-7038-4175-4 Вводятся понятия тензора кручения и тензора кривизны в пространстве с линейной связностью. В основном рассматриваются пространства со связностью Леви — Чивита. Подробно рассматривается понятие кривизны в двумерном направлении. Заканчивается изложение доказательством теоремы Шура о пространствах постоянной кривизны. Пособие содержит домашнее задание. Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Математика и компьютерные науки». УДК 514.765(075.8) ББК 22.151.62 ISBN 978-5-7038-4175-4 c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 c⃝ Оформление. Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015
ПРЕДИСЛОВИЕ В ранее изданном учебном пособии [1] были рассмотрены основные понятия тензорного анализа. Главное внимание было уделено задаче дифференцирования тензорных полей. Ввиду ограниченности объема пособия не было возможности рассмотреть тензоры кручения и кривизны и их связь с известными из классической дифференциальной геометрии понятиями кривизны. Настоящее пособие призвано устранить этот недостаток. 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Изучается геометрия в области U ⊆ Rn и на поверхности в пространстве Rn. Все функции, поля и т. д. считаются гладкими (класса C∞). Напомним некоторые определения и факты [1,2,3]. Через F(U) обозначим множество функций в области U, через V(U) и V∗(U) — множества векторных и ковекторных полей в области U соответственно. Множество F(U) образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций. Множества V(U) и V∗(U) обладают естественными структурами модуля над кольцом F(U). Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi = ∂ ∂xi — базисные векторные поля, i = 1, . . . , k. Имеем (Xi)p ∈ Rn p, где Rn p — касательное пространство к пространству Rn в точке p ∈ Rn. Для векторного поля X = ξiXi и функции f производной по направлению поля X называется функция ∂Xf = ξi ∂f ∂xi . Она не зависит от выбора системы координат. Для векторных полей X, Y определен их коммутатор, или скобка Ли. Если X = ξiXi, Y = ηjXj, i, j = 1, . . . , k, то поле F = [X, Y ] имеет координаты ϕi = ξα ∂ηi ∂xα − ηα ∂ξi ∂xα , 3
где суммирование осуществляется по α = 1, . . . , k. Это понятие также не зависит от выбора системы координат. Как легко заметить, [X, Y ] = −[Y, X]. Коммутатор базисных полей равен нулю: [Xi, Xj] = 0. (1.1) Легко проверить справедливость равенств [fX,Y ]=f[X,Y ]−(∂Y f)X; [X,fY ]=f[X,Y ]+(∂Xf)Y. (1.2) Кроме того, имеет место свойство [∂X, ∂Y ] = ∂X∂Y − ∂Y ∂X = ∂[X,Y ]. (1.3) Пусть задана линейная связность ∇. Напомним, что при этом векторным полям X и Y ставится в соответствие новое поле ∇XY , причем справедливы следующие равенства: 1) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ; 2) ∇X(fY ) = (∂Xf)Y + f∇XY ; 3) ∇X+Y Z = ∇XZ + ∇Y Z; 4) ∇fX = f∇XY . Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi = ∂ ∂xi — базисные векторные поля. Имеем ∇kXi = Γj kiXj. Здесь ∇k = ∇Xk. Функции Γk ij называют коэффициентами линейной связности (или символами Кристоффеля). Пусть в каждом касательном пространстве Rn p, p ∈ U, задано скалярное произведение. Тогда можно получить так называемый метрический тензор. Его координаты в заданной системе координат имеют вид gij = (Xi, Xj). 2. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ Пусть в рассматриваемой области пространства задана метрика (метрический тензор) (gij). Рассмотрим матрицу (gij), обратную к (gij): giαgαj = δj i . Заданная метрика однозначно определяет 4
Похожие