Тензор кривизны

Московский государственный технический университет

имени Н. Э. Баумана

Е. А. Губарева, А. Н. Щетинин

Тензор кривизны

Учебное пособие

УДК 514.765(075.8)
ББК 22.151.62
Г93

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1132.html

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, ведущий научный
сотрудник ИНЭИ РАН А.М. Лукацкий,
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная математика»
МГТУ им. Н.Э. Баумана Н.Г. Хорькова

Губарева, Е. А.
Г93
Тензоркривизны:учебноепособие/Е.А.Губарева, А. Н. Щетинин. — Москва : Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2015. — 29, [3] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4175-4

Вводятся понятия тензора кручения и тензора кривизны в пространстве с линейной связностью. В основном рассматриваются пространства со связностью Леви — Чивита. Подробно рассматривается
понятие кривизны в двумерном направлении.
Заканчивается изложение доказательством теоремы Шура о пространствах постоянной
кривизны. Пособие содержит домашнее задание.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Математика и компьютерные
науки».

УДК 514.765(075.8)
ББК 22.151.62

ISBN 978-5-7038-4175-4

c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015
c⃝ Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015

ПРЕДИСЛОВИЕ

В ранее изданном учебном пособии [1] были рассмотрены
основные понятия тензорного анализа.
Главное внимание было уделено задаче дифференцирования тензорных полей.
Ввиду
ограниченности объема пособия не было возможности рассмотреть тензоры кручения и кривизны и их связь с известными из
классической дифференциальной геометрии понятиями кривизны.
Настоящее пособие призвано устранить этот недостаток.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Изучается геометрия в области U ⊆ Rn и на поверхности в
пространстве Rn. Все функции, поля и т. д. считаются гладкими
(класса C∞). Напомним некоторые определения и факты [1,2,3].
Через F(U) обозначим множество функций в области U, через
V(U) и V∗(U) — множества векторных и ковекторных полей
в области U соответственно.
Множество F(U) образует кольцо
относительно обычных операций сложения и умножения функций.
Множества V(U) и V∗(U) обладают естественными структурами
модуля над кольцом F(U).
Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi =
∂
∂xi — базисные
векторные поля, i = 1, . . . , k.
Имеем (Xi)p ∈ Rn
p, где Rn
p —
касательное пространство к пространству Rn в точке p ∈ Rn.
Для векторного поля X = ξiXi и функции f производной по
направлению поля X называется функция

∂Xf = ξi ∂f

∂xi .

Она не зависит от выбора системы координат.
Для векторных полей X, Y определен их коммутатор, или
скобка Ли. Если X = ξiXi, Y = ηjXj, i, j = 1, . . . , k, то поле
F = [X, Y ] имеет координаты

ϕi = ξα ∂ηi

∂xα − ηα ∂ξi

∂xα ,

3

где суммирование осуществляется по α = 1, . . . , k. Это понятие
также не зависит от выбора системы координат. Как легко заметить,

[X, Y ] = −[Y, X].

Коммутатор базисных полей равен нулю:

[Xi, Xj] = 0.
(1.1)

Легко проверить справедливость равенств

[fX,Y ]=f[X,Y ]−(∂Y f)X;
[X,fY ]=f[X,Y ]+(∂Xf)Y.
(1.2)

Кроме того, имеет место свойство

[∂X, ∂Y ] = ∂X∂Y − ∂Y ∂X = ∂[X,Y ].
(1.3)

Пусть задана линейная связность ∇. Напомним, что при этом
векторным полям X и Y ставится в соответствие новое поле ∇XY ,
причем справедливы следующие равенства:
1) ∇X(Y + Z) = ∇XY + ∇XZ;
2) ∇X(fY ) = (∂Xf)Y + f∇XY ;
3) ∇X+Y Z = ∇XZ + ∇Y Z;
4) ∇fX = f∇XY .

Пусть x1, . . . , xk — система координат, Xi =
∂
∂xi — базисные
векторные поля. Имеем

∇kXi = Γj
kiXj.

Здесь ∇k = ∇Xk. Функции Γk
ij называют коэффициентами линейной связности (или символами Кристоффеля).
Пусть в каждом касательном пространстве Rn
p, p ∈ U, задано
скалярное произведение. Тогда можно получить так называемый
метрический тензор. Его координаты в заданной системе координат
имеют вид gij = (Xi, Xj).

2. СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ

Пусть в рассматриваемой области пространства задана метрика
(метрический тензор) (gij). Рассмотрим матрицу (gij), обратную
к (gij): giαgαj = δj
i .
Заданная метрика однозначно определяет

4

связность Леви — Чивита по формулам

Γl
ik = 1

2glj
∂gij

∂xk + ∂gjk

∂xi − ∂gik

∂xj


(2.1)

(формулы Кристоффеля).
Для ковариантной производной метрического тензора справедливы формулы [1,2]

(∇ig)jk = ∂gjk

∂xi − Γα
ijgαk − Γα
ikgjα.

Это значит, что имеет место формула

(∇Xg)(Y, Z) = ∇X(g(Y, Z)) − g(∇XY, Z) − g(Y, ∇XZ),
(2.2)

где X = Xi, Y
= Xj, Z = Xk.
Справедливо и обратное
утверждение: если формула (2.2) справедлива для базисных полей,
то по линейности она верна и для произвольных полей.
Будем писать вместо g(X, Y ) просто (X, Y ). Так как ∇Xg = 0,
мы получаем правило дифференцирования скалярного произведения:

∇X(Y, Z) = ∂X(Y, Z) = (∇XY, Z) + (Y, ∇XZ).
(2.3)

Напомним, что для функций ковариантная производная совпадает
с производной по направлению:

∇Xf = ∂Xf.

Приведем примеры вычисления символов Кристоффеля. Сначала рассмотрим поверхность в пространстве R3.
Как хорошо
известно из курса математического анализа, всегда можно выбрать
систему координат таким образом, что в окрестности данной точки
поверхность будет задана уравнением

z = z(x, y).

Тогда, как известно из курса дифференциальной геометрии (см.,
например, [4]), первая квадратичная форма поверхности есть

ds2 = (1 + z2
x) dx2 + 2zxzy dx dy + (1 + z2
y) dy2,
(2.4)

5

gij =
 1 + z2
x
zxzy
zxzy
1 + z2
y


,
gij =
1

1 + z2y + z2y

 1 + z2
y
−zxzy
−zxzy
1 + z2
x


.

Гауссову кривизну можно вычислить как

K = zxxzyy − z2
xy

(1 + z2x + z2y)2 .
(2.5)

По формулам Кристоффеля, учитывая, что

∂g11
∂x1 = ∂g11

∂x = 2zxzxx,
∂g11
∂x2 = ∂g11

∂y
= 2zxzxy;

∂g12
∂x1 = ∂g21

∂x1 = ∂g12

∂x = zyzxx + zxzxy;

∂g12
∂x2 = ∂g21

∂x2 = ∂g12

∂y
= zxzyy + zyzxy;

∂g22
∂x1 = ∂g22

∂x = 2zyzxy,
∂g22
∂x2 = ∂g22

∂y
= 2zyzyy,

находим

Γ1
11 = 1

2g11
∂g11

∂x1 + ∂g11

∂x1 − ∂g11

∂x1


+ 1

2g12
∂g12

∂x1 + ∂g21

∂x1 − ∂g11

∂x2


=

= (1+z2
y)2zxzxx−zxzy(2zyzxx+2zxzxy −2zxzxy)

2(1+z2x+z2y)
=
zxzxx

1+z2x+z2y
;

Γ1
12 = 1

2g11
∂g11

∂x2 + ∂g12

∂x1 − ∂g12

∂x1


+ 1

2g12
∂g12

∂x2 + ∂g22

∂x1 − ∂g12

∂x2


=

= (1+z2
y)2zxzxy −zxzy ·2zyzxy

2(1+z2x+z2y)
=
zxzxy

1+z2x+z2y
;

Γ1
22 = 1

2g11
∂g21

∂x2 + ∂g12

∂x2 − ∂g22

∂x1


+ 1

2g12
∂g22

∂x2 + ∂g22

∂x2 − ∂g22

∂x2


=

= (1+z2
y)2zxzyy −zxzy ·2zyzyy

2(1+z2x+z2y)
=
zxzyy

1+z2x+z2y
.

6

Ввиду симметрии по x и y окончательно получаем



























Γ1
11 =
zxzxx

1 + z2x + z2y
,
Γ1
22 =
zxzyy

1 + z2x + z2y
,

Γ1
12 = Γ1
21 =
zxzxy

1 + z2x + z2y
,

Γ2
11 =
zyzxx

1 + z2x + z2y
,
Γ2
22 =
zyzyy

1 + z2x + z2y
,

Γ2
12 = Γ2
21 =
zyzxy

1 + z2x + z2y
.

(2.6)

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2.1. Пусть поверхность представляет собой эллиптический параболоид

2z = x2

a2 + y2

b2 .

Вычисляем производные:

zx = x

a2 ;
zy = y

b2 ;
zxx = 1

a2 ;
zxy = 0;
zyy = 1

b2 .

Значит,

ds2 =

1 + x2

a4


dx2 + 2xy

a2b2 dx dy +

1 + y2

b4


dy2,

т. е.

gij =



1+ x2

a4
xy
a2b2
xy
a2b2
1+ y2

b4



;
gij =
1

1+ x2

a4 + y2

b4



1+ y2

b4
− xy

a2b2

− xy

a2b2
1+ x2

a4



.

Далее имеем

Γ1
11 =

x
a4

1 + x2

a4 + y2

b4
,
Γ2
11 =

y

a2b2

1 + x2

a4 + y2

b4
,

Γ1
22 =

x

a2b2

1 + x2

a4 + y2

b4
,
Γ2
22 =

y
b4

1 + x2

a4 + y2

b4
,

Γ1
12 = Γ1
21 = Γ2
12 = Γ2
21 = 0.

7

Пример 2.2. Рассмотрим обычную сферу радиуса a с центром
в начале координат:

x2 + y2 + z2 = a2.

Ее можно задать параметрически:





x = a cos u cos v,
y = a cos u sin v,
z = a sin u


−π

2 ≤ u ≤ π

2 , 0 ≤ v < 2π

.

Первая квадратичная форма имеет вид

ds2 = a2du2 + a2 cos2 u dv2.

Таким образом,

(gij) =
 a2
0
0,
a2 cos2 u


;
(gij) =
 a−2
0
0,
a−2 cos−2 u


.

Применяя формулы Кристоффеля, находим, что

Γ1
22 = sin u cos u;
Γ2
12 = Γ2
21 = − tg u,

остальные Γk
ij = 0. Заметим, что символы Кристоффеля не зависят
от a.

Пример 2.3. Рассмотрим метрику на плоскости

ds2 = a2du2 + a2 ch2 u dv2.

Вычислим коэффициенты линейной связности. Точно так же, как в
предыдущем примере, находим

Γ1
22 = sh u ch u,
Γ2
12 = Γ2
21 = th u,

остальные Γk
ij = 0.

Пример 2.4. Рассмотрим плоскость Лобачевского как верхнюю
полуплоскость v > 0 с метрикой

ds2 = du2 + dv2

v2
.

8

Имеем

(gij) =
 v−2
0
0,
v−2


,
(gij) =
 v2
0
0,
v2


.

Как и выше, по формулам Кристоффеля легко находим

Γ2
11 = 1

v;
Γ1
12 = Γ1
21 = Γ2
22 = −1

v,

остальные Γk
ij = 0.

Для определения связности наличие метрики не обязательно.

Пример 2.5. Пусть поля Y1, . . . , Yn образуют параллелизацию
в некоторой области пространства. Это значит, что в каждой точке
p этой области векторы (Y1)p, . . . , (Yn)p линейно независимы.
Положим
∇XY = (∂Xηj)Yj,
(2.7)

если Y = ηjYj.
Докажем, что мы действительно получили линейную связность. Проверим выполнение аксиом (1)–(4) линейной
связности:
1) ∇X(Y + Z) = (∂X(ηj + ζj))Yj = (∂Xηj)Yj + (∂Xζj)Yj =
= ∇XY + ∇XZ, где Z = ζjYj;
2) ∇X(fY ) = (∂X(fηj))Yj
= (∂Xf)ηjYj + f(∂Xηj)Yj
=
= (∂Xf)Y + f∇XY ;
3) ∇X+Y Z = (∂X+Y ζj)Yj = (∂Xζj)Yj + (∂Y ζj)Yj = ∇XZ +
+ ∇Y Z;
4) ∇fXY = (∂fXηj)Yj = f(∂Xηj)Yj = f∇XY .

Пример 2.6.
Рассматривая в качестве полей Y1, . . . , Yn
базисные поля e1, . . . , en, можно получить связность в пространстве
Rn, называемую канонической связностью.
Для канонической
связности, очевидно, все Γk
ij = 0.

Пример 2.7. Векторные поля

Y1 = cos x e1 + sin x e2;
Y2 = − sin x e1 + cos x e2

задают параллелизацию в R2 (проверьте). Имеем

e1 = cos x 1Y1 − sin x Y2;
e2 = sin x Y1 + cos x Y2.

9

По определению (2.7) находим

∇1e1 = ∇e1e1 = ∂x(cos x) Y1 − ∂x(sin x) Y2 =

= − sin x Y1 − cos x Y2 = −e2.

Значит, Γ1
11 = 0, Γ2
11 = −1. Аналогично

∇1e2 = ∇e1e2 = ∂x(sin x) Y1 + ∂x(cos x) Y2 =

= cos x Y1 − sin x Y2 = e1,

откуда Γ1
12 = 1, Γ2
12 = 0. Ясно также, что ∇2e1 = ∇2e2 = 0, откуда
Γ1
21 = Γ2
21 = Γ1
22 = Γ2
22 = 0.

Пример 2.8. Положим в пространстве R3

˜∇XY = ∇XY + 1

2X × Y,

где ∇ — каноническая связность; X×Y — векторное произведение.
Докажем, что ˜∇ — линейная связность. Мы должны проверить
справедливость аксиом (1)–(4) линейной связности. В силу свойств
канонической связности и векторного произведения получаем:

1) ˜∇X(Y +Z) = ∇X(Y +Z)+ 1

2X ×(Y +Z) = ∇XY +∇XZ +

+ 1

2X × Y + 1

2X × Z = ˜∇XY + ˜∇XZ;

2) ˜∇X(fY ) = ∇X(fY ) + 1

2X × fY = (∂Xf)Y + f∇XY +

+ f 1

2X × Y = (∂Xf)Y + f ˜∇XY ;

3) ˜∇X+Y Z = ∇X+Y Z + 1

2(X + Y ) × Z = ∇XZ + ∇Y Z +

+ 1

2X × Z + 1

2Y × Z = ˜∇XZ + ˜∇Y Z;

4) ˜∇fXY = ∇fXY + 1

2fX ×Y = f∇XY +f 1

2X ×Y = f ˜∇XY .

Легко вычислить, что

Γ3
12 = Γ2
31 = Γ1
23 = 1

2,
Γ3
21 = Γ2
13 = Γ1
32 = −1

2.

Остальные коэффициенты связности равны нулю.

10