Расчет переходных процессов в электрических цепях во временной области

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

С.И. Масленникова

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 621.316.5(075.8)

ББК 31.311
М31

Рецензенты: О.И. Мисеюк, Ф.Н. Шакирзянов

Ìàñëåííèêîâà Ñ.È.
М31
Расчет переходных процессов в электрических цепях во временной области: Учеб. пособие. – М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2006. – 36 с.: ил.

Рассмотрен один из наиболее важных разделов электротехники –
анализ переходных процессов в линейных электрических цепях с постоянными источниками и источниками, имеющими произвольный
закон изменения. Описаны особенности решения задач в цепях первого и второго порядка. Большое внимание уделено физическим процессам, сопровождающим коммутацию.

Ил. 22. Библиогр. 3 назв.

УДК 621.316.5(075.8)

ББК 31.311

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

ВВЕДЕНИЕ

Процесс перехода от одного энергетического состояния электрической цепи к другому называется переходным процессом. Переходный процесс вызывается коммутацией, т. е. мгновенным изменением параметров цепи, ее схемы или параметров источников
энергии в схеме.
Переход от одного (докоммутационного) состояния к другому
обычно происходит не мгновенно, а в течение некоторого времени – времени переходного процесса. Это объясняется тем, что каждому состоянию цепи соответствует определенный запас электромагнитной энергии. Изменение же энергии в реактивных элементах не может происходить мгновенно, так как в этом случае

мощность p
dw
dt
=
, развиваемая в цепи, достигала бы бесконечно

больших значений. Следовательно, не могут изменяться мгновенно и переменные, связанные с энергией. Следствием этих положений являются законы коммутации:

q t
q t
t
t
(
)
(
);
(
)
(
).
−
+
−
+
=
=
ψ
ψ

Для линейных цепей законы коммутации чаще записывают так:

u
t
u
t
i
t
i
t
C
C
L
L
(
)
(
),
(
)
(
).
−
+
−
+
=
=

Цель анализа переходных процессов в электрических цепях –
определение временнх законов изменения токов или напряжений
на заданных участках цепи в переходном режиме.
Для расчета переходных процессов во временнй области используются два метода: классический метод и метод интегралов наложения. Классический метод рекомендуется применять для анализа цепей, процессы в которых описываются дифференциальными
уравнениями не выше третьего порядка, при действии в схеме постоянных или гармонических источников энергии, метод интегралов
наложения – при действии источников произвольной формы.

3

1. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Расчет переходных процессов классическим методом сводится
к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, составленных на основании законов
Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Эта система приводится к неоднородному дифференциальному уравнению nго порядка, общее решение которого имеет вид

y(t) = yчастн(t) + yoбщ (t),

где yчастн (t) – частное решение неоднородного дифференциального уравнения; yoбщ (t) – общее решение однородного уравнения.
Здесь под y(t) понимается любой искомый ток или напряжение.
Частное решение неоднородного уравнения определяется видом
функции, стоящей в правой части уравнения, и поэтому называется
вынужденной составляющей yвын(t) . Для цепей с постоянными или
периодическими напряжениями (токами) источников энергии вынужденное решение совпадает с установившимися значениями искомых функций. Общее решение однородного уравнения описывает
электромагнитный процесс, происходящий в схеме без воздействия
внешних источников, и называется свободной составляющей yсв(t).
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение однородного уравнения ищется в виде

yсв(t) =
=∑A l
s
s

n
p t
s

1
,

где As – постоянные интегрирования, определяемые из начальных
условий; ps – корни характеристического уравнения.

4

Основными этапами расчета y(t) являются: определение начальных условий; определение вынужденной составляющей; определение корней характеристического уравнения и постоянных
интегрирования. Более подробно остановимся на определении начальных условий и корней характеристического уравнения.

1.1. Определение начальных условий

Независимые начальные условия определяются по законам
коммутации, которые для линейных цепей можно записать в виде

u
u
i
i
C
C
L
L
(
)
(
);
(
)
(
).
0
0
0
0
+
−
+
−
=
=

Здесь учитывается, что обычно момент коммутации совмещают с началом отсчета, т. е. полагают tk = 0.
Значения остальных токов и напряжений до и после коммутации в общем случае не одинаковы:

i
i
u
u
C
C
L
L
(
)
(
);
(
)
(
);
0
0
0
0
+
−
+
−
≠
≠

du
dt
du
dt
di
di
di
dt

C
C
L
L
(
)
;
(
)
(
)
0
0
0
+
+
−
≠
≠

и т. д.
Эти значения в момент времени t = 0+ определяются независимыми начальными условиями, характером (видом) коммутации и
другими факторами. Поэтому они получили название зависимых
начальных условий.
Порядок расчета.
1.Определяем независимые начальные условия.
Для схемы до коммутации, находящейся в установившемся режиме, определяем мгновенные значения токов в индуктивностях и
напряжений на емкостях, после чего подставляем в выражения для
uC (t) и iL(t) значение времени t = 0–. В соответствии с законами
коммутации получаем
u
u
i
i
C
C
L
L
(
)
(
),
(
)
(
).
0
0
0
0
−
+
−
+
=
=
2. Составляем для схемы, полученной после коммутации, систему уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений
токов и напряжений. Подставляя в эти уравнения время t = 0+ и
найденные значения u
i
C
L
(
)
(
)
0
0
+
+
и
, определяем зависимые начальные условия. При составлении уравнений контуры необходи5

мо выбирать таким образом, чтобы можно было использовать уже
найденные независимые начальные условия.
Пример 1.1. Для схемы рис. 1.1 определить значения всех токов и напряжений, а также их производных для моментов времени
t = 0–, t = 0+, ∞если E = 30 B, R = 10 Ом, L = 10 Гн, С = 100 мкФ.

Решение. Рассчитаем схему до коммутации, находящуюся в
установившемся режиме, и определим значения токов и напряжений. Так как в заданной схеме действует постоянный источник
ЭДС, то все токи и напряжения будут постоянными величинами.
На рис. 1.2 представлена расчетная схема для t < 0. Для нее имеем:

i
E
R
i
E
R
i
1
2
3
0
3
1
0
3
1
0
0
(
)
(
)
(
)
;
−
−
−
=
=
=
=
=
A;
A;

u
u
i
R
E
R R
L
C
(
)
(
)
(
)
;
0
0
0
0
3
10
2
−
−
−
=
=
=
=
;
B

di
dt
u
L
du
dt
i
C

L
C
1
3
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
;
(
)
(
)
.
−
−
−
−
=
=
=
=

6

Рис. 1.1

Рис. 1.2

В соответствии с законами коммутации

u
u
i
i
C
C
(
)
(
)
(
)
(
)
.
0
0
10
0
0
1
1
1
−
+
−
+
=
=
=
=
B;
A

Для схемы, полученной после коммутации (сопротивление R
закорочено), составим уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений:

E
Ri
u
u
u
Ri
i
i
i
C
L
C
=
+
+
=
−
=
+
1
2
1
2
3
0
;
;
,

откуда при t = 0+ получим

E
Ri
u
u
C
L
=
+
+
+
+
+
1 0
0
0
(
)
(
)
(
);

0
0
0
2
=
−
+
+
u
Ri
C (
)
(
);

i
i
i
1
2
3
0
0
0
(
)
(
)
(
).
+
+
+
=
+

Следовательно,

u
E
Ri
u
L
C
(
)
(
)
(
)
;
0
0
0
10
1
+
+
+
=
−
−
=
B

di

dt
u
L

L
1 0
0
1000
(
)
(
)
.
+
+
=
=
A
c

i
u
R
i
i
i
C
2
3
1
2
0
0
1
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
;
+
+
+
+
+
=
=
=
−
=
A;

du

dt
i
C

C (
)
(
)
.
0
0
0
3
+
+
=
=

Замечание. Если требуется определить, например, значение

di

dt

2 0
(
)
+ , то уравнения следует составлять таким образом, чтобы

можно было обойтись без определения вторых производных.
Например, если используется левый контур, то для определения значения

di

dt

2 0
(
)
+ потребуется найти значение

d i

dt

2
1
2
0
(
)
+ , про7

дифференцировав уравнение E
Ri
u
L
di

dt
C
=
+
+
1
1. Тогда 0
1
=
+
di

dt

+
+
L
d i

dt
R
di

dt

2
1
2
2 .

Уравнение 0 = uC – Ri2 позволяет легко определить зависимые
начальные условия:

di

dt
R

du

dt

i

RC

C
C
2 0
1
0
0
0
(
)
(
)
(
)
.
+
+
+
=
=
=

При расчете тока i3(t) его производная по времени в момент
времени t = 0+ равна

di

dt

di

dt

di

dt

C (
)
(
)
(
)
.
0
0
0
1000
1
2
+
+
+
=
−
=
A
c

Вынужденную составляющую токов определим при t = ∞ для
схемы (рис. 1.3):

i
E
R
1
2
1 5
вын
A;
=
= ,
i
E
R
2
2
1 5
вын
A;
=
= ,
iCвын
;
= 0

uCвын = i2 R = 15 B;
uLвын = 0.

Пример 1.2. Для схемы рис. 1.4 найти независимые и зависимые начальные условия, если дано:

J = 2 A; E = 50 B; R1 = R2 = R3 = 10 Ом; L = 0,01 Гн; C = 10 мкФ.

8

Рис. 1.3

Решение. Рассчитаем токи и напряжения в схеме до коммутации и определим независимые начальные условия, учитывая, что

i1(0–) = 0;
uL(0–) = 0;
i3(0–) = 0.

Следовательно,

i2(0–) = J = 2 A = i2(0+);
uC (0–) = i2(0–)R2 = 20 B = uC (0+).

Для схемы после коммутации составим систему уравнений по
законам Кирхгофа для момента времени t = 0+:

J + i3(0+) = i1(0+) + i2(0+);

E = i3(0+)R3 + uC (0+) + i1(0+)R1;

E = i3(0+)R3 + uL (0+) + i2(0+)R2.

Из первого уравнения получим i3(0+)
i1(0+).
Подставив это соотношение во второе уравнение, определим
значение тока i3(0+) : i3(0+)
1,5 A;
i1(0+)
i3(0+)
1,5 A.

Значение производной

du

dt

C (
)
0+
рассчитаем по соотношению

du

dt

i

C

i

C

C
C
(
)
(
)
(
)
.
0
0
0
15 000
1
+
+
+
=
=
=
B
c

9

Рис. 1.4

Значение uL(0+) найдем из третьего уравнения:

uL (0+) = E – i3(0+)R3 – i2(0+)R2 = 15 B.

1.2. Определение корней характеристического уравнения

Расчет переходных процессов классическим методом требует
определения корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение наиболее просто можно получить методом
входного сопротивления из равенства Zвх(p) = 0.
Порядок расчета:
1. Составляем схему для свободных токов. Для этого в схеме,
полученной после коммутации, все источники энергии заменим их
внутренними сопротивлениями (внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю, внутреннее сопротивление
идеального источника тока равно бесконечности), а элементы R, L,
C – сопротивлениями, равными соответственно R, pL, 1/ pC.
2. Если в составленной схеме нет короткозамкнутых ветвей, то
размыкаем любую ветвь, определяем входное сопротивление со
стороны разомкнутой ветви и приравниваем его нулю Zвх(p) = 0.
Для упрощения алгебраических преобразований следует размыкать ветвь с наибольшим числом элементов, отдавая при этом предпочтение ветви с сопротивлением 1/ pC. Если в схеме для свободных токов есть короткозамкнутая ветвь, то размыкаем ту ветвь, в
которой рассчитываем переходный ток. В цепях с магнитосвязанными индуктивностями для определения входного сопротивления
следует в схеме для свободных токов предварительно устранить
магнитную связь.
Число корней характеристического уравнения равно степени
характеристического уравнения и не может превышать числа накопителей электромагнитной энергии. Число корней (или порядок
уравнения) можно определить без составления этого уравнения по
упрощенной схеме, которая получается после замены идеальных
последовательно или параллельно соединенных индуктивностей
или емкостей соответственно. Тогда порядок характеристического
уравнения равен числу основных независимых начальных условий
iL(0), uC (0) в послекоммутационной схеме после максимального ее
упрощения (пример 1.4).

10