Расчет параметров брэгговских дифракционных решеток

Расчет параметров  

брэгговских дифракционных  

решеток

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5334-4 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 

УДК 535.421 + 778.38
ББК 22.343.4
 
Р24 

Издание доступно в электронном виде по адресу

https://bmstu.press/catalog/item/6539/

Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника»
Кафедра «Лазерные и оптико-электронные системы» 

Рекомендовано Научно-методическим советом  

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

Авторы:

С.Б. Одиноков, М.В. Шишова, А.Ю. Жердев,  

Д.С. Лушников, М.С. Ковалев 

Р24

 
 
Расчет параметров брэгговских дифракционных решеток : 

учебное пособие / [C. Б. Одиноков и др.]. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 54, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5334-4 
Рассмотрены вопросы создания голографических брэгговских ре
шеток и характеристики фототерморефрактивных стекол. Представлены методика и результаты расчета дифракции света на объемных 
брэгговских решетках с применением метода связанных волн Когельника. Основное внимание уделено спектрально-угловой селективности брэгговских дифракционных решеток. 

Описаны основные направления применения брэгговских элемен
тов в фототерморефрактивных стеклах и особенности их реализации 
в виде голографических элементов. Изложенный материал используется при создании голографических брэгговских решеток.

Для студентов старших курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучаю
щих дисциплины «Прикладная голография» и «Методы и технологии 
компьютерной оптики». 
УДК 535.421 + 778.38
ББК 22.343.4

Учебное издание

Одиноков Сергей Борисович, Шишова Мария Владимировна
Жердев Александр Юрьевич, Лушников Дмитрий Сергеевич

Ковалев Михаил Сергеевич 

Расчет параметров брэгговских дифракционных решеток

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.  

В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.

Подписано в печать 27.01.2020. Формат 60×90/16.

Усл. печ. л. 3,5. Тираж 143 экз. Изд. № 767-2019. Заказ 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. press@bmstu.ru

www.baumanpress.ru

Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. baumanprint@gmail.com

Предисловие

Учебное пособие «Расчет параметров брэгговских дифракци
онных решеток посвящено расчету дифракции света на объемных 
брэгговских решетках с использованием метода связанных волн 
Когельника. Представленная информация позволяет получить 
систематизированные знания о создании голографических брэгговских решеток и, в частности, фототерморефрактивных (ФТР) 
стеклах. Изложенная теория применима и для других фоточувствительных объемных сред.

Пособие состоит из введения, четырех глав и заключения. 
Во введении даны общие сведения о дифракции на дифракци
онных решетках. Глава 1 посвящена основным типам и применению брэгговских дифракционных элементов. 

В главе 2 приведены дисперсионная и экспозиционная ха
рактеристики этого материала, необходимые для теоретического 
анализа дифракционной эффективности и расчета параметров записи. Описаны особенности работы с ФТР-стеклами как с фоточувствительным материалом. 

В главе 3 представлена теоретическая база, необходимая и до
статочная для расчета дифракционной эффективности и определения спектрально-угловой селективности. Даны решения задачи 
дифракции в общем случае при работе на пропускание и отражение и, в частности, для дифракционных решеток без потерь на 
поглощение.

В главе 4 изложены основные принципы интерференционной 

записи и построения соответствующих схем. 

Цель учебного пособия заключается в формировании у сту
дентов знаний о принципах работы дифракционных решеток,  
умений: 

• применять теорию связанных волн для решения задач ком
пьютерной оптики;

• различать режимы дифракции Рамана — Ната и Брэгга;
• определять условия работы на пропускание или отражение 

данной дифракционной решетки в режиме Брэгга, а также навыков:

• анализировать дифракционную эффективность и спектраль
но-угловую селективность брэгговских решеток;

• рассчитывать схемы записи голографических дифракцион
ных решеток с учетом специфики применения получаемых элементов.

В результате освоения материала предлагаемого учебного по
собия студенты получают знания о работе дифракционных решеток, режимах дифракции Рамана — Ната и Брэгга, о применении 
брэгговских решеток в современных оптических системах, теории 
связанных волн Когельника, способах определения дифракционной эффективности и спектрально-угловой селективности пропускающих и отражательных брэгговских дифракционных решеток 
в общем и частных случаях, об особенностях ФТР-стекла как фоточувствительного материала для голографии, о принципах записи дифракционных решеток, расчете оптических схем получения 
брэгговских дифракционных решеток.

По мере изучения материала пособия рекомендуется выпол
нять самопроверку, отвечая на контрольные вопросы, приведенные в конце каждой главы. Вопросы сформулированы с акцентом 
на основных понятиях, которые необходимо запомнить. Самопроверка способствует развитию у студентов навыков анализа 
профессиональной литературы, выделения в ней главного, структурирования информации. 

Пособие предназначено для студентов специалитета и маги
стратуры МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих дисциплины «Прикладная голография» и «Методы и технологии компьютерной 
оптики». Оно будет полезно при прохождении текущего контроля и промежуточной аттестации по темам, касающимся расчета 
и записи голограммных и дифракционных оптических элементов, 
а также может быть использовано при выполнении курсовых проектов и подготовке выпускных квалификационных работ. 

Введение

Дифракционная оптика на протяжении многих десятков лет 

активно используется в оптическом приборостроении наряду 
с призменными и линзовыми системами. Применение дифракционных оптических элементов открыло широкие возможности 
в преобразовании электромагнитного излучения, исследовании 
свойств волновых полей и развитии лазерных систем. Дифракционная решетка является дифракционным оптическим элементом, 
который представляет собой периодическую пространственную 
структуру, осуществляющую преобразование проходящего или 
отраженного оптического излучения на основе явления дифракции. При этом длина волны излучения сравнима с периодом 
решетки. Дифракционные решетки представляют интерес для 
оптики с момента их появления и используются при решении 
множества оптических задач — от построения спектрометрических схем до создания субволновых интегрированных фотонных 
устройств. Подробно современные методы анализа дифракционных оптических элементов различных типов и области их применения в нанофотонике рассмотрены в учебниках под редакцией 
В.А. Сойфера [1, 2].

К классификации дифракционных решеток можно подходить 

с позиции свойств регистрирующей среды: амплитудные, фазовые ( рельефно-фазовые) и амплитудно-фазовые. Амплитудные 
дифракционные решетки сформированы преимущественно пространственным распределением (или модуляцией) коэффициента 
поглощения регистрирующей среды, фазовые — модуляцией показателя преломления регистрирующей среды. Для рельефно-фазовых дифракционных решеток модуляция показателя преломления реализована путем образования поверхностного рельефа. 
Амплитудно-фазовые дифракционные решетки представляют собой комбинацию первых двух типов. Тот факт, что дифракционная решетка получена посредством записи интерференционного 
поля, означает, что свойства регистрирующей среды описываются 
синусоидальной функцией. 

Дифракционные решетки классифицируют по типу спек
трально-угловой селективности на двумерные и трехмерные, что 
соответствует дифракции в режимах Рамана — Ната и Брэгга. 
Час то для проведения такой классификации используется параметр Клейна Q. 

Селективность дифракционной решетки [3]— это свойство, свя
занное с уменьшением интенсивности дифрагированной волны 
при отклонении условий освещения дифракционной решетки от 
оптимальных, определяемых условием Вульфа — Брэгга (далее — 
условие Брэгга). Различают также спектральную селективность, 
связанную с допустимым изменением длины волны излучения, 
и угловую селективность, обусловленную допустимым отклонением от направления, определенного условием Брэгга. Если говорят, что угловая или спектральная селективность низкая, то это 
означает, что допустимо большее отклонение от условия Брэгга. 
При высокой селективности допустимое отклонение от условия 
Брэгга крайне мало.  

Двумерные решетки (Q << 1) формируют не менее трех по
рядков1 в дифракционном распределении. В таком случае дифракционная решетка создается на поверхности слоя регистрирующей среды, а период обычно больше высоты сформированного 
рельефа. При записи таких решеток расстояние между соседними 
максимумами интерференционной картины, как правило, значительно превышает толщину слоя. Двумерные дифракционные решетки неселективны.

Трехмерные решетки (Q > 10) формируют преимущественно 

один дифракционный порядок. В решетках такого типа амплитудная или фазовая модуляция происходит в толще слоя регистрирующей среды, а период дифракционной решетки значительно 
меньше толщины слоя модуляции, т. е. при записи интерференционного поля расстояние между соседними максимумами интерференционной картины, как правило, значительно меньше 
толщины слоя. 

При дифракции в режиме Рамана — Ната направления рас
пространения дифрагированных волн связаны с периодом дифракционной решетки d и длиной волны λ уравнением 

1 Явление порядков дифракции впервые объяснил Й. Фраунгофер. 

Он вывел уравнение решетки и описал, как применить его к определению 
длины волны света, заложил основы изучения дифракционных решеток, 
которое продолжается уже почти 200 лет.

d
m
m
sin
sin
,
θ
ϕ
λ
−
(
) =
 
(В.1) 

где θ — угол падения излучения; ϕm — угол дифракции; m — порядок дифракции, m = 0, ±1, ±2, … . 

Такой тип дифракции проиллюстрирован на рис. В.1. Углы 

отсчитываются от нормали к поверхности решетки. Уравнение 
решетки (В.1) позволяет определить направления формирования 
порядков дифракции (или главных максимумов). 

Рис. В.1. Иллюстрация дифракции в режиме Рамана —  

Ната: 

а — для синусодального профиля; б — для бинарного профиля 
(индексами ref и tr обозначены углы дифракции при отражении 

и пропускании соответственно)

В некоторых задачах требуется определить направления рас
пространения излучения в среде. Тогда, дополняя условие (В.1) 
законом Снеллиуса, получают для случаев отражения и пропускания соответственно

 

n
n
md

n
n
md

m

m

tr
tr
inc

ref
ref
inc

sin
sin
;

sin
sin
,

ϕ
θ
λ

ϕ
θ
λ

=
−

=
−

 
(В.2) 

где ntr — показатель преломления в области дифракции при работе на пропускание; nref — показатель преломления в области дифракции при работе на отражение; ninc — показатель преломления 
области падения излучения (для воздуха ninc = 1).

При дифракции в режиме Брэгга кроме нулевого имеется лишь 

первый главный максимум. Эффективная дифракция света существует только для тех длин волн и тех направлений его распространения, которые связаны условием Брэгга: 

 
2d
m
sin
,
θ
λ
Br =
 
(В.3) 

где θBr — угол Брэгга (при этом угол падения равен углу дифракции); m — порядок дифракции, m = 0, 1. Такой тип дифракции 
проиллюстрирован на рис. В.2.

Рис. В.2. Иллюстрация дифракции в режиме Брэгга:

а — на пропускание; б — на отражение

Используя термин «угол Брэгга» или «брэгговский угол», име
ют в виду угол скольжения относительно страт (дополнительный 
угол к углу падения), что следует учитывать при расчете. Стратами называют поверхности одной фазы объемной голографической решетки, т. е. поверхности с одинаковым показателем 
преломления. Пришедшее в дифракционную оптику из рентгеновской кристаллографии, условие Брэгга впервые было выведено как условие взаимного усиления волн, отраженных от разных 
плоскостей кристаллической решетки, при описании упругого 
рассеяния рентгеновского излучения1. Фоточувствительным ма
1 Условие Вульфа — Брэгга выведено независимо У.Л. Брэггом и 

Г.В. Вульфом в 1913 г. Интересно, что У.Г. Брэгг в 25 лет стал самым молодым на момент присуждения ему Нобелевской премии по физике лауреатом, разделив ее со своим отцом. Премия присуждена в 1915 г. за заслуги в исследовании структуры кристаллов с помощью рентгеновского 
излучения. 

териалом, отлично удовлетворяющим требованиям по созданию 
брэгговских дифракционных решеток и получающим все большее 
распространение, является ФТР-стекло. 

В данном пособии речь пойдет о голографических брэггов
ских дифракционных решетках (фазовых и трехмерных). 

Контрольные вопросы 

1. Что такое брэгговские дифракционные решетки?
2. Что такое спектральная и угловая селективность дифрак
ционных решеток?

3. Как классифицируют дифракционные решетки по типу се
лективности?

4. Каким уравнением описывается дифракция в режиме Вуль
фа — Брэгга? В режиме Рамана — Ната? 

5. Как классифицируют дифракционные решетки в зависи
мости от свойств материала, из которого они изготовляются?

1. БРЭГГОВСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ НА ОСНОВЕ  

ФОТОТЕРМОРЕФРАКТИВНЫХ СТЕКОЛ

Применение брэгговских дифракционных решеток столь раз
нообразно, что этой теме можно посвятить отдельное пособие. 
Тем не менее брэгговские оптические элементы, записанные 
в ФТР-стеклах, можно подразделить на четыре типа в зависимости от принципа преобразования падающего излучения (рис. 1.1).

Отражательный элемент (рис. 1.1, а) представляет собой брэг
говскую дифракционную решетку, работающую на отражение, 
когда дифрагированный пучок находится в той же области пространства, что и падающий. Здесь важно выделить частный случай ретроотражения. 

Наиболее широкое распространение отражательные элементы 

на ФТР-стеклах получили в качестве брэгговских зеркал, применяемых для стабилизации различных лазерных источников и селекции продольных лазерных мод в резонаторах. Такие элементы 
еще называют узкополосными или селективными зеркалами. Они 
с очень высокой дифракционной эффективностью (90…99,9 %) 
выделяют из проходящего излучения узкую линию в лазерном 
спектре. Включение такого зеркала в систему резонатора позволяет осуществить селекцию продольных мод в частотном канале шириной до 10 ГГц при точности задания центральной длины 
волны до 0,1…0,5 нм.

Узкополосный фильтр (или нотч-фильтр) является по сути ана
логом узкополосного зеркала. Такой элемент дает возможность 
для конкретной спектральной линии выделить узкую полосу излучения с полушириной 5…8 см–1, в то время как другие спектральные линии остаются нетронутыми и проходят с эффективностью до 95 %. Узкополосные фильтры позволяют реализовать 
одновременные измерения стоксового и антистоксового смещений с высоким разрешением.

Пропускающая дифракционная решетка (рис. 1.1, б ) работает 

на пропускание, т. е. дифрагированный пучок пересекает заднюю 
поверхность элемента. В этой категории основными элемента