Расчет электрических цепей частотным методом

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
С.И. Масленникова, Ю.Г. Шерстняков 

 
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ  
ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ  

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана  
в качестве учебного пособия 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2007 

 

УДК 621.3(075.8) 
ББК 31.211 
М 315 
Рецензенты: О.И. Мисеюк, Ю.Н. Немов 

Масленникова С.И., Шерстняков Ю.Г.  
Расчет электрических цепей частотным методом: Учеб. 
пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.  
— 44 с.: ил. 

ISBN 978-5-7038-2992-9 
В учебном пособии кратко изложены методы анализа электрических 
цепей при синусоидальных и несинусоидальных периодических воздействиях. На конкретных примерах показаны особенности применения методов анализа и порядок расчета. Приведен анализ цепей, содержащих 
магнитосвязанные индуктивные элементы, а также рассмотрены резонансные явления в электрических цепях. 
Для студентов приборостроительных специальностей, выполняющих домашние задания по курсам «Теоретические основы электротехники» и «Теория электрических цепей». Также пособие может быть полезно при подготовке к рубежному контролю. 
Ил. 31. Библиогр. 3 назв. 

УДК 621.3(075.8) 
ББК 31.211 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

ISBN 978-5-7038-2992-9  
 
  
   © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 

 
М 315

ВВЕДЕНИЕ 

Электрической цепью называется совокупность соединенных 
определенным образом электромагнитных устройств, представляющих собой источники, потребители и преобразователи электрической энергии, электромагнитные процессы в которых могут 
быть выражены с помощью понятий тока и напряжения. В основе 
анализа цепей лежит принцип моделирования: реальное электромагнитное устройство заменяют идеализированной моделью, состоящей из взаимосвязанных идеализированных элементов, каковыми являются резистор, конденсатор, катушка индуктивности, 
катушки с магнитной связью, источники напряжения, ЭДС и тока. 
Схему этой электрической цепи, отображающей при определенных условиях свойства реальной цепи, называют схемой замещения. Часто термин «электрическая цепь» применяют к схеме замещения электрической цепи.  
Электрическая цепь и соответственно ее схема имеют в общем 
случае ветви, узлы и контуры. Ветвь — участок цепи, в котором в 
любой момент времени протекает один и тот же ток; ветвь может 
содержать любое число последовательно соединенных элементов. 
Узел — место соединения трех и более ветвей. Простой узел — 
место соединения двух элементов. Контур — замкнутый путь, 
проходящий по одной или нескольким ветвям электрической цепи. 
Контур, не содержащий внутри других контуров, называют элементарным (ячейкой). Электрическую цепь называют плоской 
(планарной), если она может быть изображена в виде схемы с непересекающимися ветвями. Разветвленную цепь с источниками в 
различных ветвях считают сложной цепью. 
Целью анализа электрической цепи с заданной структурой 
(схемой) и заданными характеристиками (параметрами) всех пассивных элементов является расчет токов при известных законах 

изменения всех источников ЭДС, напряжения и тока, действующих в этой цепи. В данном пособии будут рассмотрены методы 
расчета установившихся режимов в сложных линейных электрических цепях, в которых источники являются синусоидальными 
функциями времени одной частоты.  
Для расчета установившихся процессов в цепях синусоидального тока применяют комплексный метод. На основании этого метода получают комплексную схему замещения цепи из схемы для 
мгновенных значений заменой всех идеализированных пассивных 
элементов их комплексными сопротивлениями (проводимостями), 
всех независимых источников ЭДС, напряжения, тока — их комплексными изображениями. Для определения неизвестных комплексных изображений токов и напряжений можно использовать 
все методы расчета и преобразования электрических цепей с учетом 
алгебры комплексных чисел. При необходимости от комплексных 
изображений токов и напряжений переходят к их оригиналам. 
Особенности расчета цепей несинусоидального тока рассмотрены в разд. 7.  

1. ЗАКОНЫ КИРХГОФА, ФОРМИРОВАНИЕ  
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 

Провести расчет любой сложной цепи можно, составив по законам Кирхгофа систему независимых уравнений и решив ее. 
Число независимых уравнений должно быть равно числу неизвестных.  
Положим, что схема состоит из p ветвей, s источников тока и q 
узлов. Заданными являются источники и пассивные элементы, а 
неизвестными — токи в ветвях. Таким образом, число независимых уравнений должно равняться числу ветвей n, не содержащих 
источников тока: n = p – s. При этом число независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, будет равно n1 = 
= q – 1. Узлы, для которых уравнения записывают по первому закону Кирхгофа, можно назвать независимыми. В любой схеме 
число независимых узлов всегда равно q – 1. 
По второму закону Кирхгофа, выражающему равенство алгебраической суммы ЭДС в контуре алгебраической сумме напряжений в нем, число независимых уравнений n2 = n – n1 = p – s – (q – 1). 

Контуры, для которых уравнения составлены по второму закону 
Кирхгофа, называют независимыми. Независимый контур не содержит ветвей с источниками тока. В плоских схемах, не содержащих источников тока, число независимых контуров равно числу 
элементарных контуров. 
Итак, расчет электрических цепей с помощью законов Кирхгофа сводится к составлению и решению n = n1 + n2 = (q – 1) + ( p –  
– s – q + 1) = p – s независимых уравнений, что соответствует числу ветвей, не содержащих источников тока. 
Решение системы уравнений возможно и в том случае, когда 
неизвестными являются некоторые входящие в схему источники. 
При этом необходимо, чтобы в качестве известных было задано 
такое же число токов. Общее число неизвестных не должно превышать n. 
Пример 1.1. Для схемы (рис. 1, а) с известными значениями 
пассивных элементов и синусоидальных источников ЭДС и тока 
составить комплексную схему замещения, выразить характеристики всех пассивных элементов и источников в комплексной форме, 
составить систему независимых уравнений по законам Кирхгофа 
для мгновенных и комплексных токов. 
Положим, что e1 = Em1sin(ωt + ψ1), e5 = Em5sin(ωt + ψ5), e7 = 
= Em7sin(ωt + ψ7), iJ6 = Jm6sin(ωt + ψ6), а параметры пассивных элементов Rk, Lk, Ck указаны на схеме, где k — индекс (номер) элемента, соответствующий индексу ветви. Как правило, всем элементам, 
включенным в одну ветвь, присваивается один и тот же индекс. 
Для расчета цепи с помощью комплексного метода необходимо 
записать исходные данные в комплексной форме: E1 = (
2
/
1
m
E
)×  

× ejψ1 = E1cosψ1 + jE1sinψ1, E5 = (
2
/
5
m
E
)ejψ5 = E5cosψ5 + jE5sinψ5,  

E7 = (
2
/
7
m
E
)ejψ7 = E7cosψ7 + jE7sinψ7, J6 = (
2
/
6
m
J
)ejψ6 = J6cosψ6 + 
+ jJ6sinψ6, Z1 = R1 + jωL1, Z2 = R2 – j/(ωC2), Z3 = R3 + jωL3 – j/(ωC3), 
Z4 = –j/(ωC4), Z5 = R5 – j/(ωC5), Z6 = R6, Z7 = 0, Z8 = R8 + jωL8 – 
– j/(ωC8). 
На рис. 1, б изображена схема с комплексными параметрами — 
комплексное изображение схемы рис. 1, а. Структура схем на рис. 1, 
а и б эквивалентна. Они состоят из восьми ветвей, одна из которых 
содержит идеальный источник тока, и пяти узлов. Для их расчета