Расчет нелинейных магнитных цепей

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

Г.А. Гладилина

РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ

Под редакцией  С.С. Николаева

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 621.3(075.8)
ББК 31.211
         Г52

Рецензенты:  О.И. Мисеюк, Ф.Н. Шакирзянов

Гладилина Г.А.
Расчет нелинейных магнитных цепей: Учеб. пособие /
Под ред. С.С. Николаева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –  24 с.: ил.

ISBN 5-7038-2860-0

Изложены краткие теоретические положения. Рассмотрены методы
анализа магнитных цепей с постоянными магнитными потоками. Приведены примеры применения методов анализа и порядок расчета.
Для студентов приборостроительных специальностей, выполняющих
домашние задания по курсам «Теоретические основы электротехники» и
«Основы электротехники». Пособие может быть полезно при подготовке к
рубежному контролю.
Ил. 9. Табл. 5. Библиогр. 4 назв.

                                                                                                              УДК 621.3(075.8)
                                                                                                   ББК 31.211

Учебное издание

Галина Анатольевна Гладилина
Расчет нелинейных магнитных цепей

Редактор О.М. Королева
Корректор М.А. Василевская
Компьютерная верстка О.В. Беляевой

Подписано в печать  30.03.2006.  Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 1,5. Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 50 экз.
 Изд. №  12. Заказ №

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.

ISBN 5-7038-2860-0                                                 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Г52

ВВЕДЕНИЕ

Различают цепи с постоянными магнитами и цепи, в которых
поток создается постоянным током в обмотке, насаженной на ферромагнитный сердечник. При расчете таких цепей широко пользуются следующими допущениями.
1. Для магнитомягких (с узкой гистерезисной петлей) материалов явление гистерезиса не учитывается и в расчете используется
основная кривая намагничивания.
2. Предполагается, что при наличии сердечника из ферромагнитного материала весь поток замыкается по сердечнику, т. е. не
учитываются потоки рассеяния.
 3. Магнитная цепь разбивается на участки, т. е. части цепи,
выполненные из однородного материала, имеющие одинаковое
сечение по всей длине, по которым проходит один и тот же поток.
Расчет магнитных цепей при постоянном магнитном потоке
имеет сходство с расчетом нелинейных электрических цепей постоянного тока.

1. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ
МАГНИТНЫМИ ПОТОКАМИ

Магнитной цепью называется совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, которые служат для сосредоточения
магнитного потока в определенной части пространства. Магнитные цепи включают в себя участки из ферромагнитных материалов
с высокой магнитной проницаемостью µ. В силу непостоянства µ
магнитные цепи нелинейны.
Магнитная цепь, во всех сечениях которой магнитный поток
одинаков, называется неразветвленной. В разветвленной магнитной цепи потоки на различных участках неодинаковы.
Расчет магнитных цепей основывается на законе полного тока

.
Hdl
i
= ∑
∫В случае когда контур интегрирования охватывает W витков катушки, через которую проходит ток i, закон полного тока принимает вид

,
Hdl
iW
F
=
=
∫ 
                              (1)

где F – намагничивающая сила, или магнитодвижущая сила, измеряемая в амперах или ампер-витках.
С вектором напряженности магнитного поля H  связан вектор
магнитной индукции 
,
B  модуль которого измеряется в теслах (Тл)

или веберах на метр квадратный  (Bδ/м2):

0
a
,
B
H
H
= µµ
= µ

где µ – относительная магнитная проницаемость (безразмерная
величина); µ0 – магнитная постоянная, равная  4π · 10–7 Гн/м; 
a
µ –
абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м.
Большинство практических расчетов проводят в предположении, что направления векторов B  и H совпадают.
Контур интегрирования обычно выбирают таким образом, чтобы он совпадал с линией вектора напряженности 
,
H  что позволяет
заменить подынтегральное выражение в  (1) произведением скалярных величин 
.
Hdl
Для практических расчетов интеграл заменяют суммой произведений 
,
k k
Н l
 где индекс  k  указывает участок цепи, вдоль которого напряженность магнитного поля H и магнитная проницаемость µ принимаются неизменными. В результате формула  (1)
записывается в виде закона магнитной цепи:

                        

1
a
1
,

k
k

n
n
k
k k
k
k

B
H l
l
F
=
=

=
=
µ
∑
∑
                            (2)

где n – число участков.
Произведение 
k k
H l  при отсутствии обмотки с током на k-м
участке цепи называется падением магнитного напряжения вдоль
участка цепи длиной lk:

м
.
k
k

k k
l
U
Hdl
H l
=
=
∫

Для воздушных зазоров магнитная проницаемость принимается равной магнитной постоянной µ0 и связь между магнитной индукцией B и напряженностью магнитного поля H приобретает вид

6
7
0
0,8 10 B,
4
10

B
B
H
−
=
=
≈
⋅
µ
π⋅
                      (3)

где Н – в А/м, B – в Тл.
Следствием закона полного тока является второй закон Кирхгофа для магнитных цепей (алгебраическая сумма магнитных напряжений в контуре магнитной цепи равна алгебраической сумме
магнитодвижущих сил в том же контуре):

м
1
1
,
k

m
m

k
k
k
U
F
=
=
=
∑
∑

где m – число участков в контуре; 
k
F  – магнитодвижущая сила,

равная произведению тока ik  в обмотке на число витков W.
Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей аналогичен второму закону Кирхгофа для электрических цепей.
Вследствие того, что линии магнитной индукции непрерывны
и замкнуты, поток вектора магнитной индукции сквозь замкнутую
поверхность равен нулю:

                         
0.
BdS
Φ =
=
∫                                   (4)

Из уравнения (4) вытекает следующее положение: в неразветвленной магнитной цепи поток на всех ее участках одинаков, а в разветвленной цепи поток на участке, подходящем к месту разветвления, равен сумме магнитных потоков на участках, отходящих от
места разветвления.
Принцип непрерывности магнитного потока (4) позволяет получить первый закон Кирхгофа для магнитной цепи (алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю):

1
Ф
0,
n

k
k=

=
∑

где n – число ветвей, образующих узел.

Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей аналогичен первому закону Кирхгофа для электрических цепей.
Если принять, что вектор индукции B  одинаков во всех точках
поперечного сечения S неразветвленной магнитной цепи и направлен перпендикулярно этому сечению, то его поток  

S

BdS
Φ = ∫

можно записать так:

,
k
k
B S
Φ =
                                             (5)

где k указывает участок цепи, вдоль которого магнитная индукция
В и площадь поперечного сечения S неизменны.
В результате подстановки 
/
k
k
B
S
= Φ
 в (2) получим зависимость между магнитным потоком Ф и магнитодвижущей силой F,
которую называют законом Ома для магнитной цепи:

м
м

a

Ф
,

k

k

k

k

F
F
F
l
R
R
S

=
=
=

µ
∑
∑

где Rм – магнитное сопротивление цепи, 1/Гн.
При неизменных поперечном сечении S и магнитной проницаемости 
а
µ

  
ср
м
а
,
l
R
S
= µ

где lср – длина средней линии магнитной индукции. В случаях, когда магнитная цепь состоит из участков с различной магнитной
проницаемостью, говорят о магнитных сопротивлениях участков:

м
м
a
.
k
k
k

k k
k

k
k
k
k

U
H l
l
R
B S
S
=
=
=
Φ
µ

Магнитное сопротивление участка из неферромагнитного материала постоянно:

м
м

0
.
Ф
U
l
R
S
=
=
µ

Сопротивление же участка из ферромагнитного материала нелинейно и в расчете учитывается вебер-амперной характеристикой

м
(
),
f U
Φ =
 которая получается изменением масштаба кривой намагничивания и является аналогом вольт-амперной характеристики нелинейного омического сопротивления.
Между величинами, характеризующими магнитные и электрические цепи, существует формальная аналогия:

Магнитные цепи
Поток Ф, Вб
МДС F, А
Магнитное сопротивление
Rм, 1/Гн
Магнитная проводимость
Gм, Гн
Магнитное напряжение
Uм, А

Электрические цепи
Ток I, А
ЭДС Е, В
Сопротивление
R, Ом
Проводимость
G, 1/Ом
Напряжение
U, В

Эта формальная аналогия распространяется и на методы расчета магнитных цепей.
Формальная аналогия позволяет и для магнитной цепи составить схему замещения, в которой каждый участок будет представлен магнитным сопротивлением, а каждая обмотка с током – магнитодвижущей силой, направление которой определяется по
правилу правоходового винта. В ветвях такой схемы протекают
магнитные потоки, а на элементах существуют магнитные напряжения. Расчет таких схем подобен расчету схем замещения нелинейных цепей постоянного тока и может быть проведен любым из
известных методов (например, методом двух узлов или методом
последовательных упрощений).

2. НЕРАЗВЕТВЛЕННАЯ МАГНИТНАЯ ЦЕПЬ

Простейшей неразветвленной магнитной цепью является замкнутый магнитопровод с одинаковым поперечным сечением и одинаковой магнитной проницаемостью по всей длине, например тороидальный магнитопровод.
При расчете магнитной цепи обычно известны геометрические
размеры и материалы участков. Рассматриваются две задачи расчета магнитной цепи: прямая и обратная.

Прямая задача состоит в определении намагничивающей силы
по заданному магнитному потоку. Магнитный поток во всех участках неразветвленной магнитной цепи одинаков, следовательно,
можно найти магнитную индукцию 
/
k
k
B
S
= Φ
в каждом из них,
затем по кривым намагничивания определить напряженность магнитного поля 
(
),
k
k
H
f B
=
 далее вычислить магнитные напряжения на участках 
мk
k k
U
H l
=
 и по второму закону Кирхгофа под
считать магнитодвижущую силу  
м
1
.
k

n

k
F
U
=
= ∑

Более сложной является обратная задача, когда по заданной
намагничивающей силе нужно определить магнитный поток. Она
решается с помощью вебер-амперной характеристики цепи

м
Ф
(
),
f U
=
 при построении которой приходится решать несколько прямых задач для ряда произвольно выбранных значений магнитного потока Ф.
Иногда требуется вычислить статическую индуктивность обмотки L (если она одна в магнитной цепи). По определению

2
2
2
м
м

Ф
,
W
L
W
W G
I
F
R
Ψ
=
=
=
=

где W – число витков обмотки; Gм – магнитная проводимость.
В этом случае энергия магнитного поля

2

м
Ф
.
2
2
2

LI
I
F
W
Ψ
=
=
=

Cледует особо отметить, что во всех случаях расчета магнитных цепей нами не учитываются потоки рассеяния и явление гистерезиса.

Пример 1. Неразветвленная  магнитная цепь, изображенная
на рис. 1, представляет собой сердечник из листовой электротехнической стали с обмоткой из W = 300 витков. Требуется
найти ток в обмотке, создающий в сердечнике магнитный поток
4
1,3 10−
Φ =
⋅
Вб.
Решение. Цепь разбиваем на участки 1 4
− с длинами отрезков
средней линии магнитной индукции

l1 = 0,025 м; l2 = 0,12 м; l3 = 0,025 м; δ = 0,5 · 10–3м
и поперечными сечениями

1
3
δ
S
S
S
=
=
= 2 · 10–4м2;  
4
2
1 10
S
−
= ⋅
м2.

Значения индукции в поперечных сечениях:

1
3
1
Ф /
B
B
B
S
δ
=
=
=
= 1,3 · 10–4/2 · 10–4 = 0,65 Тл;

4
4
2
2
Ф /
1,3 10
/1 10
1,3
B
S
−
−
=
=
⋅
⋅
=
 Тл.

Рис. 1

Напряженности магнитного поля в стали в соответствии с кривой намагничивания, изображенной на рис. 2 (где 1 – листовая
сталь Э-11; 2 – литая сталь), равны:

H1 = H3 = 100 А/м; H2 = 650 А/м.
Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре согласно выражению (3):

6
0,8 10
H
B
δ
δ
=
⋅
=0,8 · 106 · 0,65 = 520 · 103 А/м.

Намагничивающая сила обмотки:

IW =
1 1
k k
H l
H l
=
∑
 + H2l2 + H3l3 + H lδ
δ
 =

=100 · 0,025 + 650 · 0,12 + 100 ×

× 0,025 + 520 · 103 · 0,5 · 10–3 = 2,5 + 78 + 2,5 + 260 = 343 А.

Рис. 2

Ток в обмотке

IW
I
W
=
= 343
300 = 1,14 А.

Обратим внимание на то, что  
260
100
343
H l
IW
δ δ
=
· 100≈75,8 % на
магничивающей силы обмотки затрачивается на поддержание магнитного потока в воздушном зазоре, в то время как ширина зазора
(δ = 0,5 · 10–3м) составляет лишь незначительную часть (приблизительно 0,29 %) от общей длины магнитной цепи ( 1
2
3
l
l
l
+
+
+ δ =
= 0,1705 м). Это является характерным для всех магнитных цепей
и заставляет конструкторов электрических машин (во избежание
чрезмерного увеличения намагничивающих сил обмоток) делать в
магнитных цепях ширину воздушных зазоров возможно малой.
Пример 2. В магнитной цепи, рассмотренной в примере 1, требуется найти магнитный поток Ф в сердечнике, если ток в обмотке
I = 1,25А.
Решение. Цепь разбиваем на такие же участки 1–4, как и в
примере 1. Первое приближенное значение магнитного потока находим из выражения

0
6
м
0,8 10

IW
S
IWS
IW
R
δ
δ

δ

µ
Φ =
=
≈
′
δ
⋅
⋅δ
,                     (6)

где 
м
R δ  – магнитное сопротивление воздушного зазора; Sδ  – поперечное сечение магнитного потока, проходящего через воздушный зазор; δ – толщина воздушного зазора.