Расчет нелинейных электрических цепей

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

А.В. Смирнов, И.А. Тарасенко 

РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ  
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
 в качестве учебного пособия 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 621.3(075.8) 
ББК 32.88-01 

  С50 

Рецензенты: О.И. Мисеюк, Ф.Н. Шакирянов 

Смирнов А.В., Тарасенко И. А.  
С50 
Расчет нелинейных электрических цепей: Учеб. пособие. – 
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 31 с.: ил.  

ISBN 5-7038-2851-1 

В пособии подробно рассмотрены наиболее часто встречающиеся случаи расчета и анализа нелинейных электрических цепей и 
приведены примеры решения типовых задач. 
Для студентов приборостроительных специальностей, изучающих 
вторую часть курса «Теоретические основы электротехники». 
Ил. 22. Библиогр. 6 назв. 

УДК 621.3(075.8) 
ББК 32.88-01 

ISBN 5-7038-2851-1 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

ВВЕДЕНИЕ 

Нелинейные устройства широко применяют в электротехнике, 
радиоэлектронике, автоматике и других областях техники. Можно 
сказать, что большинство элементов цепи являются нелинейными, 
и лишь при определенных условиях их можно считать линейными. 
Нелинейным называют такой элемент, характеристический параметр которого (R, L или C) зависит от тока (напряжения, потокосцепления), или такой элемент, функциональная характеристика 
которого (или характеристика состояния) отлична от прямой линии, проходящей через начало координат. Цепи, содержащие хотя 
бы один нелинейный элемент, называют нелинейными. 
В нелинейных цепях неприменим принцип наложения, поэтому не существует общих приемов аналитического решения 
нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитные процессы в нелинейных цепях даже первого порядка. Можно говорить лишь о приближенных методах решения, 
пригодных для ограниченного класса уравнений, о численных 
методах решения с применением ПЭВМ, а также о качественном 
анализе явлений. 
К причинам, затрудняющим анализ нелинейных цепей, относятся сложность и разнообразие явлений и процессов в них. Далеко не всегда возможно предсказать ожидаемые изменения напряжений и токов даже в относительно простой цепи, поскольку 
перед расчетом и анализом неизвестны номинальные значения 
параметров нелинейных элементов, составляющих цепь. В то же 
время именно многообразием процессов объясняется широкое 
применение нелинейных элементов и устройств в электротехнике, радиотехнике, электронике. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА 

НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ 

1.1. Нелинейные элементы и их классификация.  

Методы описания характеристик состояния 

Предметом изучения в нелинейной электротехнике являются 
электромагнитные явления в элементах, характеризующихся нелинейной связью между электрическими и магнитными величинами (током, напряжением, зарядами, потокосцеплением).  
В общем случае нелинейная цепь может 
содержать нелинейный резистор (рассеивающий нелинейный элемент), нелинейные индуктивность и емкость (энергоемкие нелинейные 
элементы, т. е. элементы, запасающие энергию). На рис. 1 показаны графические изображения этих элементов. В отличие от линейной 
электротехники, где существуют пропорциональные соотношения между электрическими и 
магнитными величинами (
,
u
Ri
=
 
,
Q
Cu
=
 

Li
Ψ =
), в нелинейной электротехнике эти зависимости достаточно сложны и в общем случае могут быть представлены в виде функциональных связей (характеристик состояния): 
вольт-амперная характеристика нелинейного резистора (ВАХ) 

1( );
u
f i
=
 

кулонвольтная характеристика нелинейной емкости 

2( );
Q
f
u
=
 

вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивности 

3( ).
f
i
Ψ =
 

Рис. 1 

Нелинейные элементы (НЭ) 
можно классифицировать по различным признакам в зависимости 
от условий исследования: 
1) с точки зрения преобразования энергии: элементы, рассеивающие энергию и накапливающие энергию; 
2) по виду, поведению, форме 
характеристик состояния. Если 
обозначить характеристику состояния y(x), то элементы можно 
классифицировать так:  
– симметричные относительно начала координат (рис. 2); 
– несимметричные (рис. 3); 
– однозначные (рис. 2 и 3); 
– многозначные: S-образные (рис. 4); N-образные (рис. 5);  
с гистерезисом (рис. 6); 
3) инерционные и безынерционные; 
4) управляемые (имеется один или несколько управляющих 
электродов, например, у транзистора) и неуправляемые (двухполюсные), причем управляемые характеризуются семейством характеристик состояния у(x, z), где z = const. 

Рис. 2 

Рис. 3 
Рис. 4 

Рис. 5  
Рис. 6 

Если элемент является линейным, но его параметр (R, L, C) за
висит от времени t, то его называют параметрическим элементом, 
а если этот параметр, кроме того, зависит от какой-либо электрической или магнитной величины, то его называют нелинейным 
параметрическим элементом.  

1.2. Аппроксимация характеристик состояния 

 нелинейных элементов 

В общем случае характеристики состояния НЭ могут быть заданы в виде таблиц экспериментальных или расчетных данных, 
графически кривыми y(x), а также приближенными аналитическими выражениями. Обычно характеристика состояния представляет 
собой таблицу экспериментальных данных. При аналитической 
аппроксимации характеристика НЭ в определенной области или на 
всем ее протяжении (что бывает очень редко) совпадает с графиком математической функции, записанной в виде конечного математического выражения. При этом аппроксимирующую математическую функцию лучше выбирать несложной, чтобы упростить 
дальнейшие расчеты.  
Аппроксимация характеристики состояния заключается в выборе типа аппроксимирующей функции и определении ее коэф

фициентов. Если заранее известен участок характеристики  
состояния – рабочий участок, который соответствует режиму работы НЭ в данной нелинейной цепи, то желательно, чтобы аппроксимирующая аналитическая функция наиболее точно описывала экспериментально полученную характеристику состояния 
именно на этом рабочем участке. Точку на характеристике состояния, соответствующую режиму работы НЭ в данной цепи, 
называют рабочей точкой (РТ). 

1.3. Физические факторы, определяющие  
нелинейность характеристик состояния 

Нелинейные резистивные элементы. К нелинейным резистивным элементам относят все полупроводниковые и электровакуумные 
приборы (диоды, триоды, тиристоры, стабилитроны, лампы накаливания, термосопротивления). Все нелинейные резистивные элементы 
имеют паспортные характеристики, называемые функциональными 
характеристиками состояния (их определяют экспериментально или 
берут из справочников-каталогов). Для резисторов такой характеристикой является ВАХ (зависимость напряжения от тока). 
Физические факторы, определяющие нелинейность того или 
иного резистивного элемента, могут быть самыми разнообразными. 
Нелинейные индуктивные элементы. В этом классе нет такого разнообразия устройств, элементов и их характеристик, которыми обладает класс нелинейных резистивных элементов. 
Обозначение элемента на схемах показано на рис. 1. Под нелинейным индуктивным элементом (или, кратко, нелинейной индуктивностью) понимают катушку с ферромагнитным магнитопроводом. Нелинейная характеристика состояния индуктивного 
элемента обусловлена нелинейной зависимостью индукции B 
магнитного поля материала сердечника от напряженности H поля; B (H) – основная кривая намагничивания материала магнитопровода. По известным соотношениям 

;
W
WBS
Ψ =
Φ =
 
,
i
Hl W
=
 

где Ψ – потокосцепление; W – число витков катушки (обмотки);  
Φ – магнитный поток; S и l  – площадь поперечного сечения и 
длина средней, осевой линии магнитопровода; i – ток катушки, в 
которых потокосцепление Ψ  пропорционально индукции B, ток i 

пропорционален напряженности H, а конструктивные параметры 
W, S и l  – постоянные величины, можно определить зависимость 
( )i
Ψ
 – вебер-амперную характеристику катушки со стальным 
магнитопроводом («катушки со сталью») с помощью простого 
масштабного преобразования нелинейной кривой намагничивания 
материала магнитопровода. Очевидно, что потокосцепление Ψ  не 
пропорционально току. Индуктивность такой катушки зависит от 
тока ( L
i
= Ψ
). 
В общем случае кривая намагничивания ферромагнитного материала имеет вид петли гистерезиса (см. рис. 6). Гистерезис в 
этом случае объясняется инерционностью процессов намагничивания ферромагнитного материала. 
Нелинейные емкостные элементы. Примерами нелинейной 
емкости являются вариконды и варикапы. Обозначение элемента 
показано на рис. 1.  
Вариконд – это керамический материал, относящийся к классу сегнетоэлектриков, диэлектрическая проницаемость которых не является 
постоянной величиной, а зависит от напряженности электрического 
поля. Впервые это свойство было обнаружено у кристаллов сегнетовой 
соли. В настоящее время в конденсаторах применяют сегнетокерамические материалы на основе титаната бария, титаната свинца и других 
компонентов. В последнее время в качестве материала для изготовления нелинейных конденсаторов стали использовать сегнетоэлектрики с 
почти прямоугольной формой петли гистерезиса. 
Характеристикой состояния нелинейной емкости является зависимость между зарядом Q и напряжением U на электродах (кулонвольтная характеристика), получаемая по зависимости D(E) с 
помощью простого масштабного изменения. При наличии в конденсаторе плоскопараллельных электродов 
;
Q
SD
=
 
,
u
Ed
=
 где  
S – активная площадь электродов; d – расстояние между пластинами электродов. 

1.4. Инерционные и безынерционные нелинейные элементы 

В зависимости от скорости протекания электромагнитных 
процессов в НЭ их подразделяют на инерционные и безынерционные. Инерционными называют такие НЭ, у которых определяющим нелинейность физическим фактором является зависимость проводимости материала от температуры нагрева (лампа 

накаливания, бареттеры, термосопротивления, термисторы). 
Значения их сопротивлений зависят как от температуры окружающей среды, так и от изменения температуры в результате 
нагрева при прохождении по ним тока. Поскольку тепловые 
процессы являются инерционными, то и сопротивление такого 
элемента не может измениться мгновенно. ВАХ для мгновенных 
значений инерционного НЭ – линейная характеристика (от 

1
m
U
−
 до 
1
m
U
+
 под углом 
1
α  к оси токов, от 
2
m
U
−
 до 
2
m
U
+
 – под 
углом 
2
α  к оси токов; рабочие точки РТ1 и РТ2 соответствуют 
границам участков – рис. 7). Для действующих значений ВАХ  
нелинейна.  
Безынерционные НЭ обладают способностью быстро изменять свое сопротивление и, 
таким 
образом, 
практически 
мгновенно отзываться на быстрое изменение тока. 
Заметим, что решающую роль 
при идентификации НЭ на инерционность играет частота воздействия на нелинейный элемент 
управляющей 
величины 
(тока, 
напряжения, 
потокосцепления, 
заряда). Речь идет о соотношении 
между постоянной времени 
НЭ
τ
 
нелинейного элемента (это время, 
за которое амплитуда собственных колебаний в данном нелинейном элементе уменьшается в е раз, 
а значит, в е раз изменяется и определяющий функциональный параметр НЭ) и периодом изменения управляющей величины T. 

1.5. Статические и дифференциальные параметры 

 нелинейных элементов 

Для анализа процессов в нелинейных цепях используют статический и дифференциальный параметры (статическое и дифференциальное сопротивления, статическая и дифференциальная индуктивности, статическая и дифференциальная емкости). 

Рис. 7

0 

 РТ1

 
 РТ2 

Под статическим параметром (в общем случае 
ст:
a
 
ст
ст
a
R
=
, 

ст
ст,
a
L
=
 
ст
ст
a
C
=
) понимают отношение постоянного воздействия или мгновенного значения воздействия к постоянной реакции 
или к мгновенному значению реакции (см. рис. 2): 

ст
tg
tg ,
y
a
x

m
y
a
m
x
m
=
=
α =
α  

где 
,
x
m
 
,
y
m
 
a
m  – масштабы воздействия, реакции и параметра 

соответственно. 
В дальнейшем будем считать, что для резистора 
,
y
u
=
 
,
x
i
=
 
a
R
=
; для индуктивности 
,
y = ψ  
,
x
i
=
 a
L
=
; для емкости 
,
y
Q
=
 
,
x
u
=
 a
C
=
. Следовательно, параметр 
ст
a  численно пропорционален (но не равен) тангенсу угла наклона луча-секущей, 
проведенной из начала координат в данную точку характеристики состояния (рабочую точку). Коэффициентом пропорциональности является масштаб параметра в заданной системе координат. Таким образом, чем больше угол наклона α  луча к оси x 
(оси абсцисс), тем больше значение параметра. В принятых обозначениях (см. рис. 2) с увеличением x параметр 
ст
a  уменьшается, оставаясь при этом положительным. Следует заметить, что 
статический параметр не может быть отрицательным. 
Под дифференциальным (динамическим) параметром (в общем 
случае 
д
д
д
д
д
д
д
:
,
,
a
a
R
a
L
a
С
=
=
=
) понимают отношение приращения воздействия к приращению реакции в области рабочей 
точки или производную воздействия по реакции в области рабочей 

точки (см. рис. 2):
д
РТ
РТ
tg
tg .
y
a
x

m
y
dy
a
m
x
dx
m
∆
=
=
=
β =
β
∆
 

Параметр 
д
a численно пропорционален (но не равен) тангенсу 
угла наклона к оси абсцисс касательной к характеристике состояния в данной рабочей точке. В рассматриваемом случае параметр 

д
a  уменьшается с ростом x (см. рис. 2). Необходимо заметить, что 
по определению и с учетом физического смысла параметр 
д
a  может быть и положительным, и отрицательным, и нулевым, от этого 
зависит физический смысл данного параметра. При определении