Расчет нелинейных систем стабилизации с гидроприводами

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
имени Н.Э. БАУМАНА 

Д.Н. Попов, М.В. Сиухин 

РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 
СТАБИЛИЗАЦИИ С ГИДРОПРИВОДАМИ 

Методические указания к выполнению  
домашнего задания по дисциплине 
«Управление техническими системами» 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 62-52 
ББК 32.96 
П58 

Рецензент В.А. Марков 

Попов Д.Н., Сиухин М.В. 
П58 
 
Расчет нелинейных систем стабилизации с гидроприводами: Методические указания к выполнению домашнего 
задания 
по 
дисциплине 
«Управление 
техническими 
системами». – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. –
24 с.: ил.  

ISBN 5-7038-2834-1 

Изложены методики расчета и исследования систем стабилизации с гидроприводами с учетом нелинейных характеристик. Приведены примеры расчета. 
Для студентов, обучающихся по специальности «Гидравлические машины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика». 
Табл. 9. Библиогр. 4 назв. 

                                УДК 62-52 
                                 ББК 32.96 

ISBN 5-7038-2834-1 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

ВВЕДЕНИЕ 

Данное домашнее задание является вторым из выполняемых 
студентами заданий по дисциплине «Управление техническими 
системами» при обучении по специальности «Гидравлические 
машины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика». Первое 
домашнее задание посвящено методам расчета линейных систем 
стабилизации с гидроприводами [1]. В нем рассмотрены системы 
автоматического регулирования (САР) угловой скорости вала 
двигателя и угла наклона платформы к горизонтальной плоскости. Математические модели этих систем представлены структурными схемами, в которые входят типовые линейные динамические звенья. 
Во втором домашнем задании рассмотрены методы расчета 
САР такого же назначения, но содержащих звенья с существенно 
нелинейными характеристиками. Домашнее задание состоит из 
трех частей: первая часть – «Расчет и исследование САР на фазовой плоскости», вторая часть – «Расчет и исследование САР методом гармонической линеаризации» и третья часть – «Расчет переходных процессов в нелинейной САР на ЭВМ». 
Как и в предыдущем домашнем задании, далее система стабилизации угловой скорости вала двигателя названа системой А, 
система стабилизации угла наклона платформы – системой Б. Используемые во втором домашнем задании обозначения параметров 
совпадают с принятыми в первом домашнем задании [1] и в учебнике [2]. Численные значения параметров линейных звеньев, входящих в исследуемую систему, студенты принимают согласно предыдущему заданию, что делает более наглядным различие в 
методах расчета линейных и нелинейных САР. 

1. РАСЧЕТ И ИССЛЕДОВАНИЕ САР НА ФАЗОВОЙ 

ПЛОСКОСТИ 

1.1. Задачи, решаемые при расчете и исследовании  

В случае осуществляемого в автоматическом регуляторе непрямого действия релейного управления гидроприводом требуется 
решить следующие задачи: 
• составить математическую модель для исследования динамики системы с помощью фазовой плоскости; 
• построить фазовую траекторию исследуемой системы, по фазовой траектории построить переходный процесс; 
• определить вид фазового портрета системы при коэффициенте обратной связи 
о.с
0
K
=
 и по диаграмме Кенигса – Лемерея 
проверить наличие автоколебаний в системе; 
• исследовать влияние зоны нечувствительности в характеристике релейного элемента на динамику системы. 

1.2. Составление математических моделей 

 исследуемых систем 

При выполнении первой части данного домашнего задания 
применявшиеся в предыдущем задании структурные схемы систем 
А и Б должны быть изменены, поскольку непрерывное управление 
гидроприводом регулятора заменено релейным, и для исследования получаемых в результате такой замены нелинейных систем 
предложено использовать фазовую плоскость. Последнее условие 
указывает на то, что порядок математической модели исследуемой 
системы необходимо понизить до второго. Для этого следует  принять: у системы А 
p
0,
T =
 у системы Б 
ц
0.
T =
 Кроме того, чтобы 

получить одинакового вида математические модели, апериодическое звено в системе Б представлено в виде интегрирующего звена 
с обратной связью. Согласно правилам эквивалентных преобразований структурных схем, постоянная времени вводимого в систе

му Б интегрирующего звена получается равной 
г.у
г.у/
vi
T
T
K
′ =
 и 

о.с
1/
.
vi
K
K
=
 
После понижения порядка математической модели структурная схема исследуемой нелинейной системы А приводится к схеме, показанной на рис. 1 а, аналогичный вид имеет структурная 
схема нелинейной системы Б (рис. 1, б). Параметр «с» релейной 
характеристики для системы А вычисляется по соотношению 

г
1/
,
с
T
=
 для системы Б 
г.у
/
.
vi
c
K
T
=
 

Рис. 1 

а 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
б 

Используя изображенные на рис. 1 структурные схемы, следует учитывать, что при наличии в системах существенных нелинейностей исходные уравнения не могут быть преобразованы по Лапласу, поэтому все переменные (величины, отмеченные сверху черточкой) являются оригиналами, а не изображениями, в связи с чем 
/
,
s
d dt
≡
 а 1/s  означает операцию интегрирования переменных, 
являющихся функциями времени .t  В этих условиях структурной 
схеме системы А (см. рис. 1, а) соответствуют уравнения 

 
(
)
н
a

1
;
d
y
M
dt
T
Ω =
−
 
(1) 

 
sign ;
d y
c
x
dt =
 
(2) 

 
p
o.c .
x
K
K
y
= −
Ω −
 
(3) 

При расчете процесса, вызванного отключением нагрузки на 
регулируемый двигатель (
н
0
M
=
), могут быть выбраны фазовые 
координаты 

 
1
;
x = Ω  
(4) 

 
1
2
.
dx
d
x
dt
dt
Ω
=
=
 
(5) 

Уравнения (1) – (5) позволяют найти описывающее фазовую 
траекторию дифференциальное уравнение 

 
2
2
1
a
sign .
dx
c
x
x
dx
T
=
 
(6) 

Знак x  в уравнении (6) определяют, подставив 
0
x =
 в уравнение (3). После этого, переходя к фазовым координатам (4) и (5), 
получают уравнение линии переключения 

 
p
2
1
o.c
a
,
K
x
x
K
T
= −
 
(7) 

которая на фазовой плоскости представляет собой наклонную 
прямую, проходящую через начало координат 
1
2
0.
x
x
=
=
 Для области выше этой прямой 
0,
x <
 для области ниже прямой 
0.
x >
 
Чтобы найти уравнение фазовой траектории, необходимо проинтегрировать уравнение (6) с учетом (7). Результат интегрирования можно записать в виде 

 
2
2
1
а

2 sign
,
1,2,
i
c
x
x
x
c
i
T
=
+
=
 
(8) 

где 
ic  – произвольные постоянные, вычисляемые по значениям ко
ординат 
1 ,
i
x
2i
x  точек пересечения фазовой траектории с линией пе
реключения. 

Структурной схеме системы Б (рис. 1, б) соответствуют уравнения 

 
(
)
p

г
;
K
d
v
v
dt
T

δε
δ =
−
 
(9) 

 
р
sign ;
d v
c
x
dt =
 
(10) 

 
o.c p.
i
x
K
K
v
δ
= −
δ −
 
(11) 

Уравнения (9) – (11) аналогичны уравнениям (1) – (3). Фазовыми координатами для системы Б могут служить величины 

 
1
;
x = δ  
(12) 

 
1
2
.
dx
d
x
dt
dt
δ
=
=
 
(13) 

Дифференциальное уравнение фазовой траектории в случае 
системы Б похоже на уравнение (6): 

 
2
2
1
г
sign
.
K c
dx
x
x
dx
T

δε
=
 
(14) 

Уравнение линии переключения имеет вид 

 
2
1
о.с г
.
i
K K
x
x
K
T

δ
δε
= −
 
(15) 

Уравнение фазовой траектории находят таким же способом, 
как и уравнение (8), но с помощью уравнений (14) и (15). Полученное уравнение отличается от уравнения (8) только значениями 
коэффициентов: 

 
2
2
1
г

2
sign
,
1,2.
i
K c
x
x
x
c
i
T

δε
=
+
=
 
(16) 

Произвольные постоянные 
ic  в уравнении (16) выполняют, как 
и для уравнения (8), по координатам точек, в которых фазовая траектория (16) пересекает линию переключения (15). 

1.3. Вычисление координат фазовых траекторий 

 и расчет переходного процесса 

Перед вычислением координат фазовых траекторий следует выбрать начальную точку процесса. Координаты этой точки необходимы для определения произвольных постоянных 
.ic  Исходя из физической реальности рассматриваемых процессов начальная точка 
должна лежать на линии переключения, соответственно начальные 
значения фазовых координат 
1.0
x
 и 
2.0
x
 могут быть получены для 
системы А с помощью уравнений (1) и (3) при 
max
1,
y
y
=
=
 для системы Б – с помощью уравнений (9) и (11) при 
p.max
1.
v
v
=
=
 

Значения 
ic  после каждого изменения знака x  находят по координатам точек пересечения фазовой траектории с линией переключения, подставляя значения этих координат в уравнения (8) или (16). 
Расчет и построение фазовых траекторий имеет смысл вести до 
тех пор, пока изображающая точка не достигнет границ скользящего режима. В этом режиме система приближается к установившемуся состоянию таким образом, что изображающая точка 
скользит по линии переключения. Граничные значения фазовых 
координат 
2 гр
(
) ,
x
 при которых наступает скользящий режим, оп
ределяют следующие соотношения:  

для системы А 

 
2 гр
о.с
р
(
)
/
;
x
K
c K
= ±
 
(17) 

для системы Б 

 
2 гр
о.с
(
)
/
.
i
x
K
c K δ
= ±
 
(18) 

После вычисления координат начальной точки и значений 
2 гр
(
) ,
x
 
применяя уравнения (8) или (16), строят фазовые траектории. Примеры фазовых траекторий систем А и Б представлены на рис. 2. 

Рис. 2 

Чтобы по фазовым траекториям построить переходный процесс, на них выделяют ряд точек, абсциссы которых равны значениям Ω  для системы А, δ  для системы Б. Моменты времени 
,
kt
 
соответствующие каждому значению указанных переменных, находят по формуле 

1
,
k
k
k
t
t
t
−
=
+ ∆
 
(19) 

где 

(
)
(
)
1
1(
1)
2.ср
2.ср
2(
1)
2
/
,
/ 2,
k
k
k
k
k
t
x
x
x
x
x
x
−
−
∆
=
−
=
+
 

индексами k  и 
1
k −  отмечены фазовые координаты при рассматриваемом положении изображающей точки и ему предшествующем. 
Время kt  следует отсчитывать от начала (
0
t =
) процесса. Переходный процесс, построенный с помощью фазовой траектории 
системы А, приведен на рис. 3. 

Рис. 3 

1.4. Определение фазового портрета системы при 
о.с
0
K
=
 

При 
о.с
0
K
=
 в соответствии с уравнениями (7) и (15) линия 
переключения совпадает с осью ординат фазовой плоскости. При 
этом произвольные постоянные 
1c  и 
2,
c
 вычисленные для областей, в которых 
0
x <
 и 
0,
x >
 различаются только знаками. Фазовые траектории становятся замкнутыми кривыми, симметричными 
относительно осей фазовой плоскости и вложенными одна в другую согласно принятым при расчете начальным значениям 
2.0
x
 
(рис. 4). Такой вид фазового портрета означает, что в системе возникают незатухающие колебания. Чтобы выяснить, являются ли 
они автоколебаниями, можно воспользоваться диаграммой Кениг