Электродинамические свойства материальных сред

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 

В.Н. Митрохин 

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ  СВОЙСТВА  
МАТЕРИАЛЬНЫХ  СРЕД 

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
 в качестве учебного пособия 
 по курсам «Электродинамика и распространение радиоволн», 
«Методы и средства взаимодействия СВЧ-поля с биообъектами» 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 538.3(075.8) 
ББК 22.33 
М67 

Рецензенты: С.Б. Раевский, И.Н. Спиридонов 

Митрохин В.Н. 
М67    Электродинамические свойства материальных сред: Учеб.  
пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 120 с.: ил.  

ISBN 5-7038-2917-8 

В учебном пособии рассматриваются электродинамические 
свойства и характеристики самых различных материальных сред: 
проводников и диэлектриков, плазмы и сверхпроводников, жидких 
кристаллов и магнетиков, перколяционных, киральных и биологических систем. Основное внимание уделяется таким характеристикам сред, как удельная проводимость, диэлектрическая и магнитная 
проницаемости, их дисперсионным свойствам.  
Для студентов специальности «Радиоэлектронные системы», 
изучающих дисциплины «Электродинамика и распространение радиоволн», «Методы и средства взаимодействия СВЧ-поля с биологическими объектами». 
Ил. 48. Табл. 2. Библиогр. 31 назв. 

УДК 538.3(075.8) 
                                                                                     ББК 22.33 

ISBN 5-7038-2917-8 
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В настоящее время радиоэлектроника сверхвысоких частот 
(СВЧ) широко применяется в различных областях науки и техники: радиолокации и радиосвязи, радиоастрономии и радиотелеметрии, экспериментальной физике и радиоспектроскопии. 
СВЧ-колебания и СВЧ-волны используют в технологических 
установках (в металлургии), в промышленных и бытовых приборах, а также в устройствах для нагрева различных материалов 
с целью их сушки, полимеризации, приготовления пищи и т. п. 
Электромагнитные волны СВЧ-диапазона применяют в медицине и биологии как с целью изучения воздействия СВЧколебаний на биологические объекты, так и с целью анализа их 
собственного электромагнитного излучения. 
Предлагаемое учебное пособие представляет собой краткое изложение основ теории электромагнетизма в различных материальных средах. Особенностью учебного пособия является то, что в 
нем рассматриваются электродинамические свойства самых различных видов вещества (проводников и диэлектриков, плазмы и 
сверхпроводников, жидких кристаллов и магнетиков, перколяционных, киральных и биологических сред) с единой позиции, а 
именно с позиции электродинамики, ее материальных уравнений, 
в терминах нормальных электромагнитных волн с учетом пространственной и временной дисперсий, а также других характерных свойств волнового процесса в каждой из исследуемых материальных сред. 

1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И УРАВНЕНИЯ 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И СРЕДЫ 

1.1. Макроскопические уравнения Максвелла  

и материальные уравнения среды 

Электромагнитные явления в материальной среде описываются 
макроскопическими уравнениями Максвелла 

 
ст
ст
rot
; rot
;
div
ρ ; div
0,
t
t
∂
∂
= −
=
+
=
=
∂
∂
B
D
E
H
j
D
B
 
(1.1) 

где jст – плотность заданного («внешнего», или «стороннего») тока, не зависящего от полей; ρст – объемная плотность заданного 
(«внешнего», или «стороннего») заряда, не зависящего от полей. 
Поля Е и В вызывают электрическую и магнитную поляризацию материальной среды, которая описывается соответственно 
вектором электрической поляризации (поляризованностью) P и 
вектором магнитной поляризации (намагниченностью) М. Последние вместе с векторами Е и В определяют два других векторных поля, входящих в уравнение (1.1): 

 
D = ε0 E + Р;   Н = В/µ0 – М. 
(1.2) 

Система уравнений (1.1) не является замкнутой и должна быть 
дополнена так называемыми материальными уравнениями, которые выражают P и М через индуцирующие их поля Е и В:  

 
 Р = ε0χэЕ;   М = χмН,  
 (1.3) 

где χэ, χм – безразмерные коэффициенты, называемые электрической и магнитной восприимчивостью соответственно. 
Подставляя выражения (1.3) в (1.2), получаем  

 
 D = ε0(1 + χэ)Е = εаЕ;   В = µ0(1 + χм)Н = µаН, 
(1.4) 

где εа = ε0(1 + χэ) – абсолютное значение диэлектрической проницаемости материальной среды; µа = µ0(1 + χм) – абсолютное значение магнитной проницаемости материальной среды. Тогда 

 
ε = εа/ε0 = 1 + χэ;   µ = µа/µ0 = 1 + χм 
 (1.5) 

– относительные значения диэлектрической и магнитной проницаемости материальной среды соответственно. 
В ряде задач удобно выделить заряды и токи, индуцируемые 
полями В и Е, и объединить их со «сторонними» зарядами и токами. При этом система уравнений (1.1) принимает следующий вид:  

  

ст
0
0
0

ст

0

rot
; rot
(
);
t
t
1
div
(ρ ρ
);   div
0,

∂
∂
= −
= ε µ
+ µ
+
∂
∂

=
+
=
ε

B
E
E
B
j
j

E
B
 
(1.6) 

где j = ∂P/∂t + rot M; ρ = – div P – плотности тока и заряда, индуцируемые полями В и Е. Из представлений j и ρ непосредственно следует уравнение непрерывности ∂ρ/∂t + div j = 0. В выражении для 
плотности индуцированного тока соотношение ∂P/∂t – плотность 
тока поляризации, а rot M – плотность молекулярных токов. 
В зависимости от формы записи уравнений Максвелла не 
только изменяется смысл их отдельных членов, но также будет 
различным смысл материальных уравнений и даже количество 
материальных уравнений. Например, в системе уравнений (1.1) 
необходимо иметь два материальных уравнения типа (1.4). Если 
же выделить ток проводимости, то потребуется еще одно материальное уравнение: 

 
jпров = σЕ.  
(1.7) 

Величина σ характеризует проводящие свойства материальной 
среды, носит название удельной электрической проводимости. С 
формальной точки зрения величина σ есть характеристика материальной среды, подобная диэлектрической проницаемости εа или 
магнитной проницаемости µа.  
В простейшем случае линейной связи между векторами Р, Е, 
М и Н можно соотношение (1.3) представить в виде 

 
 
э
м
0
ε χ
,
χ
i
ij
j
i
ij
j
P
E
M
H
=
=
. 
 (1.8) 

По дважды встречающимся в (1.8) «немым» индексам проводится суммирование; каждый из индексов i, j пробегает значения x, 
y, z, например,  

э
э
э
0
0
0
;
x
xx
x
xy
y
xz
z
P
E
E
E
= ε χ
+ ε χ
+ ε χ
 

э
э
э
0
0
0
;
y
yx
x
yy
y
yz
z
P
E
E
E
= ε χ
+ ε χ
+ ε χ
 

э
э
э
0
0
0
.
z
zx
x
zy
y
zz
z
P
E
E
E
= ε χ
+ ε χ
+ ε χ
 

Таким образом, 
э
ij
χ  и 
м
ij
χ  в соотношениях (1.8) являются тензо
рами диэлектрической и магнитной восприимчивости соответственно. Тогда с помощью выражений (1.4), (1.5) и (1.8) можно записать 

 
 Di = ε0εijEj; Bi = µ0µijHj; jпровi = σij Еj, 
(1.9)  

где 
э
ij
ij
ij
ε
= δ + χ  – тензор диэлектрической проницаемости матери
альной среды, δij – единичный тензор (δii = 1, δij = 0 при i ≠ j); 
м
ij
ij
ij
µ
= δ + χ  – тензор магнитной проницаемости материальной 

среды; σij – тензор удельной проводимости среды. 
В общем случае векторы D, B и jпров являются более сложными 
(как линейными, так и нелинейными) функциями самих полей Е и 
Н, а также их временных и пространственных производных, что 
соответствует временной и пространственной дисперсиям. 
Материальная среда называется однородной, если параметры ε, 
µ, σ не зависят от координат; линейной – если параметры ε, µ, σ не 
зависят от величины векторов Е и Н; изотропной (в электромагнитном смысле) – если параметры ε, µ, σ являются скалярными 
величинами, т. е. не зависящими от направления векторов Е и Н. 
Материальная среда называется неоднородной, если параметры ε, 
µ, σ зависят от координат; нелинейной – если хотя бы один из параметров ε, µ, σ зависит от напряженности поля; анизотропной – 
если свойства среды зависят от направления векторов поля. В  
последнем случае, как было отмечено выше, параметры материальной среды являются тензорными величинами.  
Установление конкретного вида материальных уравнений – задача атомно-молекулярной теории вещества, использующей механику (классическую и квантовую), статистическую физику, представления классической электронной теории. 

1.2. Основные положения электронной теории Лоренца 

Задача электронной теории состоит в получении материальных 
уравнений, которые выражали бы плотность тока или электрическую поляризацию через индуцирующие их поля. Основы современных атомистических представлений об электрических и магнитных свойствах вещества, позволяющие получить материальные 
уравнения электродинамики, были заложены в конце XIX в. Лоренцем в его классической электронной теории. Основные ее положения можно сформулировать следующим образом. 
1. Электричество имеет атомистическую структуру – состоит 
из дискретных неделимых элементарных микрозарядов e, равных 
заряду электрона 1,6⋅10–19 Кл. Величина любого заряда (как положительного, так и отрицательного) является целой кратной этому 
минимальному заряду. Элементарные микрозаряды и связанные с 
их движением микротоки и составляют электромагнитную структуру вещества.  
2. Законами природы, определяющими микроскопические поля 
Емк и Вмк через вызывающие их микрозаряды ρмк и микротоки jмк, 
являются уравнения Максвелла в пустом пространстве, характеризующемся постоянными ε0 и µ0. Эти уравнения имеют вид уравнений (1.6), в которых полные плотности заряда (ρ + ρст) и тока (j и jст) 
заменены на их микроскопические аналоги ρмк и jмк. Следовательно, 
микрополя и их источники связаны уравнениями Максвелла–
Лоренца. 
3. Уравнения Максвелла–Лоренца должны быть дополнены 
выражением для микроскопической силы, действующей на каждый заряд en со стороны микрополей, 
[
]
мк
мк
,
n
n
n
n
e
e
=
+
f
E
v
B
 и 
соответствующими уравнениями движения для микрочастиц: 

 
.
n
n
n
d
m
dt =
v
f
 
 (1.10) 

Однако знание движения каждой частицы в макросистеме (с 
числом частиц порядка 1023 в 1см3) – дело нереальное и ненужное. 
Обычно пользуются усредненными величинами, рассматривая 
движения систем с большим количеством частиц методами статистической физики. При этом и поля, создаваемые этими частицами, также рассматриваются в усредненном виде. В результате на 
смену уравнениям Максвелла–Лоренца приходят макроскопиче

ские (усредненные) уравнения Максвелла, а на смену уравнений 
движения (1.10) – дополняющие их материальные уравнения. 
4. Переход от уравнений Максвелла–Лоренца осуществляется 
путем усреднения первых по так называемым физически бесконечно малому объему ∆V и физически бесконечно малому интервалу времени ∆t.  
Важным требованием при выборе физически бесконечно малых 
объема ∆V и интервала времени ∆t являются условия, небольшие их 
изменения в которых (например, в пределах порядка величины) не 
приводят к изменению средних величин. Если выполнить усреднение, 
отождествляя средние микроскопические поля с макроскопическими, 
т. е. 
,
,
=
=
мк
мк
E
E
B
B  в результате приходим к уравнениям 

0
0
0
мк
мк
0

1
rot
; rot
;
ρ
,
0,
∂
∂
=−
= ε µ
+µ
=
=
∂
∂
ε
B
E
E
B
j
divЕ
divB
t
t
 (1.11) 

представляющим собой наиболее общую форму макроскопических 
уравнений Максвелла, получающихся путем усреднения микроскопических уравнений Максвелла–Лоренца. Используя эти уравнения, во многих случаях электродинамические задачи фактически 
можно свести к нахождению лишь средней плотности микроскопического тока 
мк
j
, поскольку средняя плотность заряда 
мк
ρ
 
связана с ней уравнением непрерывности 

  
мк
мк
ρ
div
0.
t

∂
+
=
∂
j
 
 (1.12) 

На основе тех или иных конкретных микроскопических моделей 
вещества можно вычислить явные зависимости средних значений 

мк
j
 и 
мк
ρ
 от макроскопических полей В и Е, и эти зависимости 
будут играть роль материальных уравнений, дополняющих уравнения (1.11) до полной самосогласованной системы. 

2. ПРОВОДНИКИ 

Проводниками электрического тока могут быть твердые тела, 
жидкости, а при соответствующих условиях и газы. Твердыми проводниками являются металлы. К жидким проводникам относятся 

расплавленные металлы и различные электролиты. Как правило, температура плавления металлов высока (за исключением ртути, у которой она составляет около –39 ºС). Другие металлы являются жидкими 
проводниками при более высоких температурах. 

2.1. Электродинамические характеристики  

проводящей среды в постоянном поле 

В соответствии с классической электронной теорией металлов 
твердый проводник является системой, состоящей из узлов кристаллической ионной решетки, внутри которой находится электронный газ из свободных электронов. 
При столкновениях электронов с узлами кристаллической решетки энергия, накопленная при ускорении электронов в электрическом поле, передается металлической основе проводника, вследствие чего он нагревается. 
Опытом установлено, что теплопроводность металлов пропорциональна их электропроводности. Электронная теория металлов 
объясняет это так, что при обмене электронов между нагретыми и 
холодными частями металла в отсутствие электрического поля 
осуществляется переход кинетической энергии от нагретых частей 
проводника к более холодным. Такое явление называется теплопроводностью. Так как механизмы электропроводности и теплопроводности обусловливаются плотностью и движением электронного газа, то материалы с высокой электропроводностью будут также 
хорошими проводниками теплоты. 
Вместе с тем электронная теория металлов обладает рядом недостатков. В частности, выявился ряд 
расхождений с опытными данными. Возникшие трудности удалось 
преодолеть с позиций квантовой 
механики, в соответствии с которой электронный газ в металлах 
при обычных температурах находится в состоянии «вырождения». 
В этом состоянии энергия газа почти не изменяется при изменении 
температуры, как это показано на 
рис. 2.1. Тепловое движение почти 
не изменяет энергию электронов. 
Поэтому теплота не затрачивается 

Рис. 2.1. Изменение энергии газа 
при низких температурах:  
I – область вырожденного газа 

Т, K 

на нагрев электронного газа, что, в частности, и обнаруживается при 
измерениях теплоемкости металлов. В состояние, аналогичное обычным газам, электронный газ приходит при температурах порядка тысяч градусов. 
Когда потенциал различных областей металла одинаков, свободные электроны находятся в беспорядочном тепловом движении, подобно молекулам идеального газа. Следовательно, к ним 
применим закон распределения скоростей Максвелла. Электроны 
будут характеризоваться средним свободным пробегом lср. В момент приложения электродвижущей силы (ЭДС) под влиянием 
возникшего электрического поля на хаотическое тепловое движение накладывается упорядоченное движение по направлению 
электрического поля. Это направленное движение электронов сопровождается множеством их столкновений с ионами металлической решетки. Предполагается, что электроны, ускоренные электрическим полем, движутся как бы между молекулами некоторого 
газа. Пренебрегая хаотичностью теплового движения, допустим, 
что все электроны имеют одну и ту же скорость и один и тот же 
свободный пробег lср (т. е. что пути, пройденные между двумя 
столкновениями, одинаковы). Время τ между двумя столкновениями задается соотношением τ = lср/vt, где vt – модуль скорости 
теплового движения электронов. Это соотношение справедливо до 
тех пор, пока скорость движения электронов под действием электрического поля Е очень мала по сравнению с vt. 
Под действием постоянного электрического поля Е в интервале времени τ электроны получают ускорение eE/m, где  
m ≈ 9,1⋅10–31кг – масса электрона; следовательно, к скорости vt 
добавляется скорость vс, задаваемая соотношением vс = eEt/m. 
Средняя величина vс равна:  

 
ср.
c
t

e
e
l
m
v m
=
τ =
E
E
v
 
 (2.1) 

Так как при обычной температуре эта скорость мала по сравнению с vt (
cv  « vt), допускают, что она не меняет закон распределения скоростей. В то же время именно скорость 
cv , обусловленная действием поля, определяет перенос электрических зарядов. 
Предположим, что число свободных электронов в единице 
объема металла равно N, и найдем следующее выражение для 
средней плотности электрического тока: