Трехфазные цепи

Московский государственный технический университет
имени  Н.Э. Баумана

И.А. Ломов, Т.В. Мелиоранская

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

Методические указания к выполнению домашнего задания
по курсу «Электротехника и электроника»

Под редакцией А.Б. Красовского

М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 621.315
ББК 31.279
         Л75

Рецензент А.В. Смирнов

Ломов И.А., Мелиоранская Т.В.
Трехфазные цепи: Методические указания к выполнению
домашнего задания по курсу «Электротехника и электроника» / Под ред. А.Б. Красовского. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2006. – 28 с.

ISBN 5-7038-2815-5

В методических указаниях приведены основные положения расчетов
тока и напряжений в трехфазных цепях. Рассмотрены примеры решения
задач и даны условия задач домашнего задания.
Для студентов 3-го курса факультета МТ.
Ил. 54. Библиогр. 2 назв.

                                                                                                                      УДК 621.315
                                                                                                           ББК 31.279

Игорь Александрович Ломов
Татьяна Викторовна Мелиоранская

Трехфазные цепи

Методические указания

Редактор С.А. Серебрякова
Корректор М.А. Василевская
Компьютерная верстка О.В. Беляевой

Подписано в печать  15.03.2006.  Формат 60×84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 1,75. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,55. Тираж 100 экз. Изд. № 141.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.

ISBN 5-7038-2815-5                                                  © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Л75

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Трехфазные электрические цепи являются цепями переменного
синусоидального тока. К ним применимы все положения анализа и
расчета переменных токов и напряжений. Кроме того, в трехфазных цепях вводятся дополнительные положения.
В электротехнике для обозначения напряжений, токов, сопротивлений и мощности применяют следующие символы: u(t), e(t),
i(t) – функциональные зависимости от времени; U, E, I, S, P, Q, Z –
действительные числа, для напряжений, ЭДС и токов обозначающие действующие значения этих величин; 
,
,
U E I – векторные
величины, а  U, E, I, S, Z – комплексные числа, выражающие эти
величины по правилам, принятым в теории переменного синусоидального тока. Например, представление тока комплексным сопряженным числом имеет вид 
*
I . В наименованиях напряжений,
токов и сопротивлений применяют как буквенные, так и цифровые
индексы.
Источником энергии для широкого круга потребителей является трехфазная сеть. Потребителю она представлена как четыре
провода. Можно считать, что по этим проводам передается энергия от трех ЭДС: ЕA, ЕB, ЕC, соединенных, как указано на рис. 1.
Эти ЭДС имеют одинаковое действующее значение, их фазовые
углы равны 120о. Чередование фаз: 
( ),
( ),
( ).
A
B
C
e
t
e
t
e
t

Рис. 1

Провода A, B, С называют линейными. Четвертый провод обозначают N – нейтральный.
Напряжение между линейными проводами называют линейным. Это напряжение UAB,  UBC, UCA. Токи в линейных проводах
также называют линейными. За их положительное направление
принято направление от источника  сети к потребителям. Положительное направление тока в нейтральном проводе – от потребителя
к источнику.
Выражения фазных напряжений сети имеют вид

o

o

o
o

( )
sin(
0 );

( )
sin(
120 );

( )
sin(
240 )
sin(
120 ),

A
m

B
m

C
m
m

u
t
U
t

u
t
U
t

u
t
U
t
U
t

=
ω +

=
ω −

=
ω −
=
ω +

          (1)

где угловая частота 
2
,
50
f
f
ω = π
=
Гц.
Следует отметить, что при описании трехфазных цепей термин
«фаза» применяется в различном смысловом значении. Это наименование каждой из обмоток генератора (трансформатора), ЭДС
которых являются источниками трехфазного напряжения. Это также наименование одного или группы однофазных потребителей,
подключенных к линиям передачи. В то же время, это фазовый
угол в синусоидальной функции.
Фазные напряжения можно записать в комплексной форме:

 

o
o
0
120
120
ф
ф
ф
;
;
,
j
j
j
A
B
C
U
U e
U
U e
U
U e
−
=
=
=
        (2)

где Uф = Um/
2  – действующее значение фазного напряжения
сети.
Линейные напряжения связаны с фазными напряжениями сети
по закону Кирхгофа:

;
;
.
AB
A
B
BC
B
C
CA
C
A
U
U
U
U
U
U
U
U
U
=
−
=
−
=
−
      (3)

При построении системы векторов фазных и линейных напряжений принято изображать вектор напряжения 
A
U  вертикально,
т. е. в векторных диаграммах трехфазных напряжений ось отсчета
фазовых углов расположена вертикально. Соответственно, и оси
комплексной плоскости повернуты на 90о против хода часовой
стрелки.

Векторы фазных и линейных напряжений показаны на рис. 2.
Линейные напряжения в комплексной форме имеют вид

o
o
o
30
90
150
л
л
л
;
;
.
j
j
j
AB
BC
CA
U
U e
U
U e
U
U e
−
=
=
=
       (4)

Следует отметить, что при
построении векторов напряжений на рис. 2  выявляется их взаимная связь и выражение как
комплексных чисел. Потенциальная связь (например, UAB от
точки А к точке В) указана быть
не может.
Как видно из векторной диаграммы рис. 2,  Uл = 2Uф cos 30о =

= 3 Uф. Таким образом, трехфазная система напряжений в четырех проводах обеспечивает потребителю три линейных и три фазных напряжения. Они отличаются в 
3  раз. Фазовые углы всех напряжений различны. Наиболее

часто встречается система напряжений сети, в которой  Uл =
= 380 В, Uф = 220 В. Эти напряжения указывают как 380/220 В.
Выражения для линейных и фазных напряжений сети в комплексной форме имеют вид (2) и (4). В расчетах применяется алгебраическая форма комплексных чисел. Для сети 380/220 В

o
o
30

o
o
120
90

o
o
120
150

220
220
0;
380
330
190;

220
110
190;
380
0
380;

220
110
190;
380
330
190.

j
j
A
AB

j
j
B
BC

j
j
C
CA

U
e
j
U
e
j

U
e
j
U
e
j

U
e
j
U
e
j

+

−
−

+
+

=
=
+
=
=
+

=
= −
−
=
=
−

=
= −
+
=
= −
+

(5)

В расчетных схемах места подключения потребителей к трехфазной системе напряжений обозначают точками А, В, С и N.
Стрелки положительных направлений напряжений часто не ставят.
При выполнении расчетов указывать положительные направления
токов обязательно.
Потребителями в трехфазных цепях могут быть однофазные и
трехфазные устройства. Каждая из фаз потребителя характеризуется сопротивлением  Zф (R, X L, XC). Однофазные устройства под
Рис. 2

ключаются к трехфазной сети, и на них подается линейное или
фазное напряжение. Для сети это несимметричная нагрузка. Трехфазные потребители имеют три конструктивно оформленные
идентичные фазы потребителя. Они подключаются к линейным
проводам. Фазы трехфазного потребителя могут быть соединены
треугольником или звездой. Нагрузка симметричная.
При соединении фаз потребителя треугольником на каждую из
них подается линейное напряжение (рис. 3), при соединении звездой – фазное напряжение сети (рис. 4).

            Рис. 3                                                                 Рис. 4

Расчеты токов в трехфазных цепях выполняют по общим правилам расчета переменных синусоидальных токов. Можно применять векторные построения с расчетами в действительных числах.
Более общим является метод расчета с использованием комплексных чисел. Комплексные числа используют в качестве операторов,
формализующих расчеты. Размерностями, присущими физическим
величинам, они не обладают.
При симметричной нагрузке (три одинаковые фазы потребителя) расчеты упрощаются. Для фаз потребителя, соединенных треугольником (см. рис. 3),

фпотр
л
фпотр
фпотр
ф
л
фпотр
;
/
;
3
.
U
U
I
U
Z
I
I
=
=
=

Для фаз потребителя, соединенных звездой (см. рис. 4),

фпотр
фсети
фпотр
фпотр
ф
л
фпотр
;
/
;
;
0.
N
U
U
I
U
Z
I
I
I
=
=
=
=

Необходимость в нейтральном проводе в этом случае отсутствует.
Для обоих соединений при симметричной нагрузке мощность для
всей схемы потребителей представлена формулами

л л
л л
ф
л л
ф
3
;
3
cos
;
3
sin
,
S
U I
P
U I
Q
U I
=
=
ϕ
=
ϕ

где ϕ  – угол между векторами фазных напряжения и тока.

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТОВ

Пример 1. В электрической цепи (рис. 5) напряжение сети
380 В, R1 = R2 = 10,0 Ом, XС1 = 2,0 Ом, XL3 = 20,0 Ом. Рассчитать
токи. Построить векторную диаграмму напряжений сети и токов.
Каковы функциональные зависимости этих токов от времени?
Решение. Схема соединения фаз потребителя – треугольник,
нагрузка несимметричная. Изображаем схему (рис. 6), указываем
положительные направления токов. Выбираем расчет в комплексных числах. Выражения для линейных напряжений составлены по
уравнениям (5):

1
2
3
41,2
1
1
1
90
2
2
2

60
3
3
3

23,5
4
1
3
4

5
2
1

10
2,
10
0,
0
20;

/
28,08
24,62
37,3
;
37,3 A;

/
0
38
38
;
38,0 A;

/
9,5
16,5
19,0
;
19,0 A;

18,6
8,1
20,3
;
20,3 A;

28,1
62

j
AB
j
BC

j
CA

j

Z
j
Z
j
Z
j

I
U
Z
j
e
I

I
U
Z
j
e
I

I
U
Z
j
e
I

I
I
I
j
e
I

I
I
I
j

−

+

+

=
−
=
+
=
+

=
=
+
=
=

=
=
−
=
=

=
=
+
=
=

=
−
=
+
=
=

=
−
= −
−
114
5

80,2
6
3
2
6

,6
68,6
;
68,6 A;

9,5
54,9
55,3
;
55,3 A.

j

j

e
I

I
I
I
j
e
I

−

+

=
=

=
−
=
+
=
=

                    Рис. 5                                                              Рис. 6

Указываем оси комплексной плоскости, в которых строим векторы напряжений сети и рассчитанных токов (рис. 7).
Функции токов:

o
o
1
4
o
o
2
5
o
o
3
6

( )
37,3 2 sin(314
41,2 )A;
( )
20,3 2 sin(314
23,5 )A;

( )
38,0 2 sin(314
90 )A;
( )
68,6 2 sin(314
114 )A;

( )
19,0 2 sin (314
60 )A;
( )
55,3 2 sin(314
80,2 )A.

i t
t
i
t
t

i
t
t
i t
t

i t
t
i
t
t

=
+
=
+

=
−
=
−

=
+
=
+

Пример 2. В электрической цепи (рис. 8) напряжение сети
380 В, R = 12,0 Ом, ХC = 5,0 Ом. Рассчитать токи. Построить векторную диаграмму напряжений сети и токов. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности. Составить баланс активной
мощности.
Решение. Схема соединения – треугольник, нагрузка симметричная. Изображаем схему. Указываем положительные направления токов (рис. 9). Решаем с помощью векторной диаграммы:

      

2
2
ф
ф.потр
л

ф
ф.потр
ф
л
ф

13,0 Oм;
380B;

/
29,23 А;
3
50,63А;

C
Z
R
X
U
U

I
U
Z
I
I

=
+
=
=
=

=
=
=
=

o
ф
arctg(
/
)
22,6
C
X
R
ϕ
=
−
= −
 – фазные токи определяют соот
ветствующие напряжения на 22,6o.

Рис. 7                                                                    Рис. 8

Изображаем векторную диаграмму.  Строим векторы линейных
напряжений, затем векторы фазных токов I1 = I2 = I3 = 29,23 A в
соответствии с уравнениями

4
1
3
5
2
1
6
3
2
;
;
.
I
I
I
I
I
I
I
I
I
=
−
=
−
=
−

Строим векторы линейных токов: 
4
5
6
50,63 A
I
I
I
=
=
=
(рис. 10).

                       Рис. 9                                                       Рис. 10

Рассчитаем мощности энергии, получаемой из сети:

S = 
3 UлIл = 33 324 В⋅ А, P = S cos
ф
ϕ  = 30 758 Вт, Q = S sin
ф
ϕ  =

= – 12 796 Вар.

Мощность потребителей:
Рпотр = 
2
ф
3
30758 Вт;
I R =
 Qпотр = 
2
ф
3
(
)
12816 Вар;
c
I
X
−
= −

Sпотр = 
2
2
потр
потр
P
Q
+
= 33 321 В⋅ А.

Баланс активной мощности Р = Рпотр – баланс сходится.

Пример 3. В электрической цепи (рис. 11) напряжение сети
380 В, R = 12,0 Ом, XC = 5,0 Ом. Рассчитать токи. Построить векторную диаграмму напряжений сети и токов. Рассчитать показания ваттметров PW1(мощность P1) и PW2 (мощность P2). Составить баланс активной мощности.
Решение. Условия задачи соответствуют заданию примера 2.
Токи определены. Для расчета показаний ваттметра изображаем
схему, указываем положительные направления токов (рис. 12).
Строим векторную диаграмму напряжений сети и токов (рис. 13).

Рис. 11                                                         Рис. 12

Рис. 13

Решаем с помощью векторной диаграммы: 
4
5
6
I
I
I
=
=
=

50,63 A.
=
 Из построений линейных токов находим ψ4 = 22,6o,

ψ5 = 263o, ψ6 = 143o – фазовые углы токов относительно оси отсчета углов. Показания ваттметров:

o
1
4
4
cos(
,
)
380 50,63cos7,4
АВ
AB
P
U
I
U
I
=
=
= 19 079 Вт.

o
2
6
6
cos(
,
)
380 56,63cos52,6
CB
CB
P
U
I
U
I
=
=
=  11 685 Вт.

Ваттметры включены так, что алгебраическая сумма их показаний равна активной мощности, получаемой из сети:

Р = Р1 + Р2 = 30 764 Вт.

Мощность потребителей 
2
потр
ф
3
P
I R
=
= 30 758 Вт.