Статистическая радиотехника. Примеры и задачи

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

А.И. Сенин

СТАТИСТИЧЕСКАЯ
РАДИОТЕХНИКА.
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010

УДК 621.396(075.8)
ББК 32.84
C31

C31

Рецензенты: С.И. Масленникова, В.А. Хачикян

Сенин А.И.
Статистическая радиотехника. Примеры и задачи : учеб.
пособие / А.И. Сенин. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,
2010. – 71, [1] с. : ил.

Учебное пособие содержит примеры и задачи по основным разделам курса «Статистическая радиотехника». В каждом разделе пособия приведены справочные теоретические сведения, подробно рассмотрены типовые примеры, даны задачи для самостоятельного решения.
Для студентов, обучающихся по специальности «Радиоэлектронные системы».
УДК 621.396(075.8)
ББК 32.84

Учебное издание

Сенин Александр Иванович

СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА.
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Редактор О.М. Королева
Корректор
М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 15.01.2010. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 4,19. Тираж 300 экз. Изд. № 34.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие представляет собой сборник примеров и задач по курсу «Статистическая радиотехника». Его цель — помочь
студентам усвоить теоретические основы статистической радиотехники, приобрести навыки по решению практических задач.
Пособие состоит из четырех разделов, охватывающих основные вопросы курса. В начале каждого раздела даны краткие теоретические сведения в объеме, необходимом для решения задач.
Методика их применения иллюстрируется на большом количестве
разобранных примеров. В конце каждого раздела приведены задачи с ответами для самостоятельного решения.
При подборе примеров и задач была использована в основном отечественная литература. Большинство задач содержат какойлибо существенный элемент, освещающий общие положения теории, и имеют практическую направленность.

1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

1.1. Краткие теоретические сведения

Случайный процесс описывается случайной функцией ξ(t),
значение которой в любой момент времени t представляет случайную величину с определенным законом распределения.
Наиболее полными характеристиками случайного процесса
ξ(t) являются:
• n-мерная функция распределения вероятностей

Fn(x1, x2, . . . , xn; t1, t2, . . . , tn) =

= P {ξ(t1) < x1, ξ(t2) < x2, . . . , ξ(tn) < xn}
(1..1)

(она определяет вероятность совместного выполнения n неравенств ξ(t1) < x1, ξ(t2) < x2, . . . , ξ(tn) < xn, где ξ(ti),
i = 1, 2, . . . , n — значение случайного процесса в момент времени ti);
• n-мерная плотность распределения вероятностей

wn(x1, x2, . . . , xn; t1, t2, . . . , tn) =

= ∂nFn(x1, x2, . . . , xn; t1, t2, . . . , tn)
∂x1∂x2 . . . ∂xn
;
(1..2)

• n-мерная характеристическая функция

θn(ju1, ju2, . . . , jun; t1, t2, . . . , tn) = M
n
i=1
exp(juiξi)
=

=

∞
−∞
. . .

∞
−∞
exp(ju1x1 + . . . + junxn)×

×wn(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn)dx1 . . . dxn,
(1..3)

4

где M{ξ} — математическое ожидание случайной величины ξ. Чем
больше значение n, тем более детально описывается случайный
процесс.
Указанные характеристики равноценны в смысле количества
информации о случайном процессе, содержащейся в каждой из
них.
Плотность распределения вероятностей удовлетворяет следующим условиям:
1) wn(x1, x2, . . . , xn; t1, t2, . . . , tn) ⩾ 0 (условие положительной
определенности);

2)

∞
−∞
. . .

∞
−∞
wn(x1, x2, . . . , xn; t1, t2, . . . , tn)dx1dx2 . . . dxn = 1

(условие нормировки);

3) wk(x1, x2, . . . , xk; t1, t2, . . . , tk) =

∞
−∞
. . .

∞
−∞
wn(x1, x2, . . . ,

xn; t1, t2, . . . , tn)dxk+1dxk+2 . . . dxn, k < n (условие согласованности);
4) плотность распределения вероятностей wn(x1, x2, . . . , xn;
t1, t2, . . . , tn) не изменяется при любой перестановке аргументов
x1, x2, . . . , xn (условие симметрии).
Многомерные характеристики случайных процессов являются
наиболее полными. Однако при решении ряда задач оказывается
достаточным знание более простых характеристик. К ним относятся так называемые моментные функции.
Различают начальные и центральные моментные функции.
В общем виде n-мерная начальная моментная функция порядка
ν = ν1 + ν2 + . . . + νn, где νi — целые числа, определяется
следующим образом:

Мν1ν2...νn(t1, t2, . . . , tn) = M{[ξ(t1)]ν1 [ξ(t2)]ν2 . . . [ξ(tn)]νn} =

=

∞
−∞
. . .

∞
−∞
xν1
1 xν2
2 . . . xνn
n wn(x1, x2, . . . , xn; t1, t2, . . . , tn)×

×dx1dx2 . . . dxn.
(1..4)

Центральные моментные функции определяются так же, как и
начальные, но вместо случайных величин ξ(ti), i = 1, 2, . . . , n,

5

в формуле (1.4) берут центрированные случайные величины
ξ(ti) − mξ(ti), где mξ(ti) — математическое ожидание случайной величины ξ(ti).
На практике наибольшее применение получили:
1) одномерная начальная моментная функция первого порядка

M1(t) = M {ξ(t)} =

∞
−∞
xw1(x; t)dx = mξ(t)
(1..5)

— математическое ожидание случайного процесса ξ(t);
2) двумерная начальная моментная функция второго порядка

M11(t1, t2) = M {ξ(t1)ξ(t2)} =

=

∞
−∞

∞
−∞
x1x2w2(x1, x2; t1, t2)dx1dx2 =

= Kξ(t1, t2)
(1..6)

— ковариационная функция случайного процесса;
3) двумерная центральная моментная функция второго порядка

μ11(t1, t2) = M{[ξ(t1) − mξ(t1)][ξ(t2) − mξ(t2)]} =

=

∞
−∞

∞
−∞
[x1 − mξ(t1)][x2 − mξ(t2)]w2(x1, x2; t1, t2)dx1dx2 =

= Rξ(t1, t2)
(1..7)

— корреляционная функция случайного процесса;
4) одномерная центральная моментная функция второго порядка

μ2(t) = M{[ξ(t) − mξ(t)]2} =

∞
−∞
[x − mξ(t)]2w1(x; t)dx =

= M2(t) − m2
ξ(t) = Rξ(t, t) = Dξ(t)
(1..8)

— дисперсия случайного процесса.
Моментные функции можно найти через характеристические
функции

Мν1ν2...νn(t1, t2, . . . , tn) = −j(ν1+ν2+...+νn)×

6

×
∂ ν1+ν2+...+νn

∂uν1
1 ∂uν2
2 . . . ∂uνn
n
×

×Qn(ju1, ju2, . . . , jun; t1, t2, . . . , tn)
u1=u2=...=un=0
.
(1..9)

Соответственно

Qn(ju1, ju2, . . . , jun; t1, t2, . . . , tn) = 1 + j

n
μ=1
M(tμ)uμ+

+ 1
2!j2
n
μ=1

n
ν=1
M11(tμ, tν)uμuν+

+ 1
3!j3
n
μ=1

n
ν=1

n
λ=1
M111(tμ, tν, tλ)uμuνuλ + . . .
(1..10)

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле,
если плотность распределения вероятностей произвольного порядка не меняется при одновременном сдвиге всех точек t1, t2, . . . , tn
вдоль оси времени на любой промежуток времени τ. В частности,
для таких процессов

w1(x, t) = w(x);

w2(x1, x2; t1, t2) = w2(x1, x2; t2 − t1) = w2(x1, x2; τ);

M{ξ(t)} = mξ = const;
Dξ(t) = Dξ = const;

Rξ(t1, t2) = Rξ(τ).

(1..11)

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если

M{ξ(t)} = mξ;
Dξ(t) = Dξ;
Rξ(t1, t2) = Rξ(τ).
(1..12)

Очевидно, что случайный процесс стационарный в узком смысле является стационарным и в широком смысле. Обратное утверждение несправедливо за исключением гауссовских случайных
процессов, для которых оба понятия стационарности совпадают.
Случайный процесс называется эргодическим, если все его
статистические характеристики, полученные путем усреднения по
множеству реализаций, с вероятностью, равной единице, совпадают с характеристиками, полученными из одной достаточно длин
7

ной k-й реализации x(k)(t) случайного процесса путем временного
усреднения. Для таких процессов в качестве оценок математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции принимают
величины:

ˆmξ = lim
T→∞

1
2T

T
−T

x(k)(t)dt;
(1..13)

ˆDξ = lim
T→∞

1
2T

T
−T

[x(k)(t) − mξ]2dt;
(1..14)

ˆRξ(τ) = lim
T→∞

1
2T

T
−T

[x(k)(t) − m][x(k)(t + τ) − m]dt.
(1..15)

Корреляционная функция стационарного случайного процесса
обладает следующими свойствами:
1) Rξ(τ) = Rξ(−τ);
2) Rξ(0) = Dξ;
3) Rξ(0) ⩾ Rξ(τ);
4) для многих процессов lim
τ→∞ Rξ(τ) = 0;

5)

∞
−∞
R(τ)e−jωτdτ ⩾ 0.

У различных случайных процессов корреляционные связи распространяются на различные промежутки времени. Для оценки
степени коррелированности случайных процессов пользуются понятием «интервал корреляции», который определяется формулой

τk =
1
2R(0)

∞
−∞
|ρ(τ)|dτ =
1
R(0)

∞
0
|ρ(τ)|dτ,
(1..16)

где |ρ(τ)| — модуль огибающей корреляционной функции.
Величина τk дает представление о том, на какой временной
промежуток в среднем распространяются корреляционные связи.
Важной характеристикой случайного процесса является спектральная плотность мощности Sξ(ω), определяемая как преобразование Фурье от ковариационной функции.

8

Для стационарных процессов

Sξ(ω) =

∞
−∞
Kξ(τ)e−jωτdτ.
(1..17)

Справедливо и обратное преобразование Фурье:

Kξ(τ) = 1
2π

∞
−∞
Sξ(ω)ejωτdω.
(1..18)

Для центрированного случайного процесса ξ0(t)

Sξ0(ω) =

∞
−∞
Rξ0(τ)e−jωτdτ = 2

∞
0
Rξ0(τ) cos ωτdτ;
(1..19)

Rξ0(τ) = 1
2π

∞
−∞
Sξ0(ω)ejωτdω = 1
π

∞
0
Sξ0(ω) cos ωτdω.
(1..20)

Так как ковариационная функция стационарного случайного
процесса
Kξ(τ) = Rξ(τ) + m2
ξ,
(1..21)
нетрудно видеть, что

Sξ(ω) = Sξ0(ω) + 2πm2
ξδ(ω).
(1..22)

Спектральная плотность мощности обладает следующими
свойствами:
1) S(ω) ⩾ 0 при любых ω;
2) S(ω) = S(−ω) для вещественных случайных процессов.
Спектральная плотность в формулах (1.17) — (1.20) определена
как для положительных, так и для отрицательных значений круговой частоты ω, т. е. является двусторонней. При решении задач
часто пользуются односторонней физической спектральной плотностью. Для центрированных процессов

Sξ0,одн(ω) =

2Sξ0(ω), ω ⩾ 0;

0, ω < 0,
(1..23)

9

при этом

Sξ0,одн(ω) = 4

∞
0
Rξ0(τ) cos ωτdτ;
(1..24)

Rξ0(τ) = 1
2π

∞
0
Sξ0,одн(ω) cos ωτdω.
(1..25)

Одной из характеристик случайного процесса является эффективная ширина спектра Δωэ, определяемая как

Δωэ =
1
Sm

∞
−∞
S(ω)dω,
(1..26)

где Sm — максимальное значение спектральной плотности мощности.
Для пары случайных процессов ξ(t) и η(t) можно найти две
взаимные ковариационные функции:
Kξη(t1, t2) = M{ξ(t1)η(t2)} =

=

∞
−∞

∞
−∞
xyw(x, y; t1, t2)dxdy;
(1..27)

Kηξ(t1, t2) = M{η(t1)ξ(t2)} =

=

∞
−∞

∞
−∞
yxw(y, x; t1, t2)dxdy
(1..28)

и две взаимные корреляционные функции:
Rξη(t1, t2) = M{[ξ(t1) − mξ(t1)][η(t2) − mη(t2)]} =

=

∞
−∞

∞
−∞
[x − mξ(t1)][y − mη(t2)]w(x, y; t1, t2)dxdy;
(1..29)

Rηξ(t1, t2) = M{[η(t1) − mη(t1)][ξ(t2) − mξ(t2)]} =

=

∞
−∞

∞
−∞
[y − mη(t1)][x − mξ(t2)]w(y, x; t1, t2)dxdy.
(1..30)

10