Экспериментальные исследования в мехатронных системах. Часть 2

 

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

С.В. Овсянников, А.А. Бошляков,  
А.О. Кузьмина 
 
 
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ  
ИССЛЕДОВАНИЯ В МЕХАТРОННЫХ 
СИСТЕМАХ 
 
В двух частях 

Часть 2 

 
 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия  
 
 
 
 
 
 

М о с к в а  

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 1 1  

 

УДК 681.5(075) 
ББК 32.965 
О-34 
Рецензенты: М.В. Баранов, А.В. Сгибнев 

 
Овсянников С.В. 
  
 
        Экспериментальные исследования в мехатронных системах : учеб. пособие : в 2 ч. — Ч. 2 / С.В. Овсянников, А.А. Бошляков, А.О. Кузьмина. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2011. — 54 [2] с. : ил.  
 
Данное учебное пособие является второй частью учебного пособия «Экспериментальные исследования в мехатронных системах». Во 
второй части рассмотрены статистическая обработка данных при экспериментальном исследовании, виды испытаний мехатронных систем, даны основы планирования эксперимента. 
Для студентов 5-го и 6-го курсов специальностей «Роботы и 
робототехнические системы» и «Мехатроника», изучающих проектирование. 
 
УДК 681.5(075) 
ББК 32.965 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

О-34 

ВВЕДЕНИЕ 

Настоящая работа является продолжением одноименного учебного пособия (см.: Овсянников С.В., Бошляков А.А., Кузьмина А.О. 
Экспериментальные исследования в мехатронных системах: Учеб. 
пособие. Ч. 1. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана, 2010). Во второй 
части рассматриваются вопросы, связанные с обработкой экспериментальных данных, научным планированием эксперимента и 
испытаниями.  
В результате проведения эксперимента накапливается большой 
объем разнообразных данных, которые на первый взгляд могут 
выглядеть весьма хаотичными. От их правильной обработки во 
многом зависит интерпретация результатов эксперимента. Поскольку эти результаты всегда содержат погрешности, обусловленные действием большого числа разнообразных и трудно учитываемых факторов, то возникает необходимость в получении 
наилучших в некотором смысле оценок параметров мехатронной 
системы. Помогает экспериментатору в этом математическая статистика — наука, занимающаяся применением вероятностных методов к решению задачи обработки результатов наблюдения.  
Проведение эксперимента предполагает наличие плана по его 
проведению. Так как ошибки в выборе плана могут привести или к 
искажению результатов эксперимента, или к перерасходу сил и 
средств на его проведение, возникает необходимость в построении 
оптимального плана эксперимента. В этом экспериментатору помогает теория планирования эксперимента — раздел математической статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам.  
Наконец, разновидностью эксперимента являются испытания, 
проводимые с целью контроля за нахождением параметров объекта в допустимых пределах. 

1. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 

Выбор типа математической модели исследуемого объекта существенно влияет на весь процесс обработки экспериментальных 
данных.  

1.1. Модели исследования 

Построение модели является, в конечном счете, целью экспериментального исследования. Под математической моделью принято понимать представление исследуемого объекта в виде математических зависимостей. Модель должна отражать наиболее 
существенные закономерности реальных связей. На рис. 1 представлена схема, иллюстрирующая возможную классификацию типов математических моделей, используемых при эксперименте.  
Детерминированные модели применяются тогда, когда в описании объекта случайные факторы пренебрежимо малы. В противном случае используются вероятностные (стохастические) модели. Математическим аппаратом, применяемым при исследовании 
вероятностных моделей, является математическая статистика. Вероятностные модели могут делиться на аналитические (формально-логические) и статистические модели. Для аналитических моделей характерно проникновение в физическую сущность объекта, 
что требует значительных материальных затрат. Для статистических моделей таких затрат не требуется, так как объект рассматривается в виде «черного ящика» (см. часть 1, разд. 1.4 настоящего 
пособия), в котором реальные связи аппроксимируются некоторыми относительно простыми зависимостями. Следует отметить, что 
в «чистом» виде та или иная модель встречается редко. Статистические модели могут делиться на модели законов распределения и 
модели взаимосвязей. 

Математические
 модели

Вероятностные
(стохастические)

Детерминированные

Статистические

Аналитические
(формальнологические)

Модели
взаимосвязей

Модели законов
распределения

 
Рис. 1. Классификация математических моделей 
 
При исследовании мехатронных систем довольно часто используют статистические модели, которые и рассматриваются далее. Обработкой экспериментальных данных для статистических 
моделей занимается раздел прикладной математики — статистический анализ (анализ данных). 

1.2. Статистический анализ 

1.2.1. Этапы статистического анализа 

На рис. 2 представлена возможная последовательность этапов 
статистического анализа. На первом этапе производится анализ 
объекта эксперимента. Суть анализа сводится к разработке для 
него модели «черный ящик», т. е. к определению набора входных 
и выходных параметров модели. Второй этап представляет собой 
составление плана получения данных и состоит в расчете массива 

  

Разрабатывается модель
"черный ящик"

Этап 1
Анализ
объекта 
эксперимента

Этап 2
Составление плана 
получения                
данных

Определяется, сколько и каких 
опытов надо провести

Этап 3
Получение 
данных

Этап  4
Первичная               
статистическая       
обработка

Формируются массивы входных 
и выходных данных

Формируется статистическое описание 
рассматриваемых параметров

Этап 5
Построение 
и анализ
статистических
зависимостей

Этап 6
Интерпретация 
результатов

Дисперсионный 
анализ

Корреляционный 
анализ

Регрессионный 
анализ

 
 
Рис. 2. Этапы обработки экспериментальных данных 
 

значений входных параметров 
1
2
(
,
,...,
),
n
X
X
X
X
=
 которые будут 
использованы при проведении эксперимента. На третьем этапе происходит получение экспериментальных данных, которые сохраняются, как правило, в персональном компьютере. На четвертом этапе 
производится первичная статистическая обработка экспериментальных данных с целью получения статистических оценок параметров модели и выдвижения гипотез о параметрах их распределения и о 
законах распределения. На пятом этапе осуществляется определение 
статистических зависимостей между входными X и выходными 

1
2
( ,
,...,
)
S
Y
Y Y
Y
=
 параметрами модели, что предполагает проведение 
дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа. 
Дисперсионный анализ занимается оценкой влияния на выходные 
параметры 
модели 
Y 
неколичественных 
параметров 

1
2
(
,
,...,
)
K
Z
Z Z
Z
=
 с целью выбора среди них наиболее важных. 
Корреляционный анализ занимается оценкой значимости влияния 
на 
выходные 
параметры 
Y 
контролируемых 
параметров 

1
2
(
,
,...,
).
n
X
X
X
X
=
 Регрессионный анализ определяет аналитическую зависимость между контролируемыми параметрами X и выходными параметрами Y (см. часть 1, разд. 2.1.1). 

1.2.2. Первичная статистическая обработка 

Обработка экспериментальных данных обязательно начинается 
с первичной статистической обработки (рис. 3). 
Совокупность всех возможных (мыслимых) результатов наблюдений в данных условиях называется генеральной совокупностью. 
Выборкой называется конечный набор значений случайной величины, полученный в результате конкретного наблюдения: 
1
2
,
,...,
,
N
x x
x
 
где N — объем выборки. Вариационным рядом называется пронумерованная (ранжированная) выборка 
(1)
(2)
(
)
...
.
N
x
x
x
≤
≤
≤
 

Смысл статистических методов заключается в получении оценок параметров случайного процесса по выборке объемом N, позволяющих судить обо всей генеральной совокупности. В качестве 
оценки используют так называемые статистики — некоторые 
функции от элементов выборки. Статистики бывают точечные, 
которые состоят из одного значения, и интервальные. Сами по се

бе статистики являются случайными величинами, т. е. их значения 
различны от выборки к выборке. 
Первичная статистическая обработка заключается в вычислении статистик, при этом предполагаются выдвижение и проверка 
гипотез о параметрах распределений и законах распределений параметров модели. 
Следует иметь в виду, что во многих практических случаях 
экспериментальные исследования мехатронных устройств ограничиваются именно первичной статической обработкой по определению статистик. 
 

Расчет точечных 
статистик

Расчет 
интервальных 
статистик                

Экспериментальные 
данные (выборка)

Статистическое   оценивание

О параметрах
распределения

О законе
распределения

      Выдвижение и     проверка  гипотез

На выполнение
дисперсионного               
анализа

На выполнение       
корреляционного     
анализа

 
Рис. 3. Схема первичной статистической обработки 

1.3. Точечные статистики 

Различают несмещенные и смещенные оценки случайной величины. Точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной 
совокупности. В противном случае оценка называется смещенной.  
Все точечные оценки можно разделить на три группы: 1) средние статистики; 2) статистики рассеяния; 3) статистики отклонения формы распределения. 

1.3.1. Средние статистики 

Средние статистики определяют центр распределения случайной величины, около которого группируется бóльшая ее часть, т. е. 
измеряют центральную тенденцию выборки. Средние величины 
отражают закономерный результат воздействия главных возмущающих факторов. 
Выборочное среднее (среднее арифметическое). Оценка вычисляется как  

 

1

1
N

i
i

x
x
N
=
=
∑
 
(1) 

и является наиболее часто употребляемой оценкой математического ожидания. 
Среднее квадратическое. Оценка вычисляется как  

 
кв
1

1
.

N

i
i

x
x
N
=
=
∑
 
(2) 

Среднее кубическое. Оценка вычисляется как  

 
3
куб
1

1
.

N

i
i

x
x
N
=
=
∑
 
(3) 

Среднее геометрическое. Оценка вычисляется как  

 
геом
1
2 ...
N
N
x
x
x
x
=
⋅
⋅
⋅
 
(4) 

и часто используется как мера центральной тенденции для распределений с положительной асимметрией (скошенных вправо). 
Медиана. Оценка вычисляется как среднее значение вариационного ряда 

 

( )

( )
(
1)

, 
2
1,

1 (
), 
2 .
2

k

k
k

Me
x
N
k

Me
x
x
N
k
+

=
=
−

=
+
=
 
(5) 

Медиана делит вариационный ряд на две части, две равные по 
объему выборки, в силу чего равновероятно, что случайная величина будет больше или меньше значения медианы. Медиана представляет интерес для исследователя в том случае, когда оправданно предположение о нормальном законе распределения. 
Мода. Оценка Mo вычисляется как значение выборки, наблюдаемое наибольшее число раз. На графике функции плотности 
распределения мода соответствует точке локального максимума. 

1.3.2. Статистики рассеяния 

Статистики рассеяния отражают результат воздействия второстепенных возмущающих факторов. 
Выборочная дисперсия. Оценка вычисляется как  

 
2
2
0
1

1
(
) .

N

i
i
S
x
x
N
=
=
−
∑
 
(6) 

Оценка (6) является смещенной. Для получения несмещенной 
оценки следует использовать выражение 

 
2
2

1

1
(
) .
1

N

i
i
S
x
x
N
=
=
−
− ∑
 
(7) 

Обычно при 
50
N ≥
 можно считать, что 
2
2
0
.
S
S
≈
 
Выборочное среднее квадратическое отклонение. Оценки 
вычисляются как