Элементы финансовой математики

Элементы финансовой математики

2-е издание, исправленное

Бухвалова В.В.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

Элементы финансовой математики/ В.В. Бухвалова - М.: Национальный Открытый Университет
“ИНТУИТ”, 2016

В курсе рассматриваются базовые понятия и методики расчётов, которые постоянно применяются
специалистами, принимающими финансовые решения.
Изложение основано на постепенном овладении навыками выполнения необходимых вычислений в
программе MS Excel. Этот курс о технике финансовых вычислений, которой должны владеть все
экономически грамотные люди в условиях рыночной экономики. Большую часть материала курса
занимает решение примеров, условия которых взяты из реальной жизни или максимально к ней
приближены. Курс ориентирует читателя на использование для решения этих примеров и тестовых
заданий программы MS Excel. Те, кто раньше не использовал MS Excel, смогут оценить удобство его
использования для финансовых вычислений. Те, кто умел работать в этом пакете, познакомятся с
широким кругом приложений в области финансовых вычислений и анализа различных финансовых
инструментов.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2017-2016
(c) Бухвалова В.В., 2017-2016

3

Процентные вычисления

В лекции рассказано о процентах и основных типах задач, связанных с понятием
процента. Приведены примеры на каждый тип задач и их решения. Показано, что
подобные задачи возникают при оценивании портфеля ценных бумаг и в
налогообложении. Отдельно рассмотрена задача ценообразования. Обсуждаются
основные методы ценообразования.

Цель лекции: научиться распознавать и решать четыре типа задач на процентные
вычисления; ознакомиться с основными методами ценообразования; решать
разобранные типы задач в Excel.

1.1 Понятие процента

Процентом некоторой величины называется сотая доля этой величины. Такой
величиной может быть месячный доход семьи, годовая прибыль фирмы, сумма
государственного бюджета. Чтобы указать, что величина выражена в процентах,
используется специальное обозначение:%. Термин “процент” произошёл от латинского
pro centum - на сотню, или за сто. Выражать доли величин в процентах принято в
финансовых и статистических расчётах, а также во многих других областях.

В дореволюционной России процент, получаемый за сумму, данную в долг или
инвестируемую в некоторое предприятие, в купеческой среде называли интересом.

Гораздо реже используется специальное обозначение для тысячной доли целого (или
десятой доли процента) - промилле. Термин “промилле” произошёл от латинского pro
mille - на тысячу, или за тысячу. Для промилле также имеется специальное
обозначение: %. В страховом деле плату за страхование (страховую премию) удобно,
порой, выражать не в процентах, а в промиллях. Например, если имущество
застраховано на 100 000 руб. c 3%, то страховая премия составляет

Необходимо различать два понимания термина процент. Во-первых, процент
выступает как процентное число, указывая на часть целой величины или долю. Именно
такое понятие процента чаще всего используется в социально-экономической
статистике и законодательной практике регулирования предпринимательской
деятельности. Например, в 2013 г. доходы от налога на прибыль предприятий
составили 3.46% в общей сумме доходов Федерального бюджета Российской
Федерации (12 865.9 млрд рублей). Примером законодательных формулировок, в
которых используются процентные числа, являются нормы, определяющие налог на
добавленную стоимость (НДС) в размере 18% или налог на прибыль корпораций в
размере 20%. Однако эти величины часто меняются законодателем, поэтому читатель
должен ориентироваться на современные правовые акты.

Во-вторых, и это основное понимание процента в этом курсе, процент связан с

4

начислением сумм (процентных платежей) за определённые промежутки времени. При
этом здесь следует различать ставку процента (interest rate) как некоторое число,
выраженное в процентах или долях (единицы) данной величины и проценты (interest)
как соответствующее абсолютное количество данной величины. Например, при
годовой ставке 10% по вкладу в банке, что есть указание на годовую процентную
ставку по вкладу, и начальной величине вклада 100 000 руб. наращенная за год сумма
10 000 руб. называется процентами по вкладу.

Важное замечание. Если в тексте написано r%, то эта величина равна вещественному
числу r/100: 10%=0.1. И наоборот, если в тексте написано вещественное значение 
(без знака %), то ему соответствует i*100%: 0.1=10%.

В настоящей лекции мы рассмотрим лишь простейшие задачи на процентные
вычисления, связанные с первым пониманием процента как процентного числа.
Внимание - и здесь можно ошибиться!

При процентных вычислениях очень важно отчётливо понимать, какая величина
принята за 100%. Эта величина называется базой. Например, в упомянутом выше
примере с Федеральным бюджетом Российской Федерации базой является сумма
бюджета в 12 865.9 млрд, рублей. Тогда 3.46% налоговых поступлений означают, что
величина налоговых поступлений составила

Рассмотрим четыре задачи на процентные числа, на которые мы затем в будем
ссылаться как на четыре основные задачи.

Основная задача 1. Определить число, которое составляет n% от числа A.

Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем
виде:

Эту запись иногда называют процентной пропорцией, которая может быть записана
так:

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:

Основная задача 2. Определить число, n% которого равны B.

Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем
виде:

5

Имеет место следующая пропорция:

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:

Основная задача 3. Определить, сколько процентов от числа A составляет число B.

Решение. Обозначим искомое число процентов через x и запишем условия задачи
следующем виде:

Имеет место следующая пропорция:

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:

Основная задача 4. Определить, сколько процентов от некоторого числа составляет
число B, если n% этого числа равны A.

Решение. Обозначим искомое число процентов через x и запишем условия задачи
следующем виде:

Имеет место следующая пропорция:

откуда получаем формулу для вычисления значения x:

Заметим, что формула 1.3 является частным случаем формулы 1.4, а основная задача 3
- частным случаем основной задачи 4 при 

Решение любых примеров на процентные числа базируется на решении этих четырёх
основных задач.

6

1.2 Примеры задач на процентные числа

Пример 1. В США применяется налог с продаж, величина которого меняется от штата
к штату. В Калифорнии этот налог, как правило, составляет 8.75%. Сумма налога не
указывается в продажной цене товара, а начисляется при оплате покупок. Покупатель
выбрал в Wal Mart товары на сумму $39.53 без учёта налога с продаж. Какую сумму он
заплатил в кассе?

Решение. Обозначим через x сумму налога и запишем условия задачи в виде
процентной пропорции:

Это основная задача 1. По формуле (1.1) вычисляем сумму налога:

Следовательно, покупатель при оплате покупок заплатил сумму, равную

Обращаем ваше внимание на то, что знаки большинства валют указываются перед
суммой. Знак рубля является исключением и ставится после суммы. Официальный знак
рубля - буква Р с дополнительным элементом в виде горизонтальной черты, был
утверждён 11 декабря 2013 г. Покажем как будут изображаться знаки популярных
валют (доллар, евро, иена, английский фунт, рубль) в программе Excel при задании
соответствующих финансовых форматов в ячейках:

Рис. 1.1.  Знаки валют

Пример 2. В России в продажную цену товара включается налог на добавленную
стоимость (НДС). Его величина для большинства товаров составляет 18%. Иногда он
указывается отдельной строкой в кассовом чеке (это актуально для предпринимателей).
При покупке товаров сумма НДС составила 48.66 руб. Какова стоимость товара без
НДС?

Решение. Обозначим через x стоимость товара без НДС и запишем условие задачи в
виде процентной пропорции:

Это основная задача 2. Находим значение x по формуле (1.2):

7

Пример 3. Покупатель приобрёл в магазине “Пятерочка” товары на сумму 110.90 руб.
По дисконтной карте ему была предоставлена скидка, равная 7.50 руб. Чему равна
величина скидки в процентах от суммы покупки?

Решение. Обозначим через x искомое число процентов и запишем условие задачи в
виде процентной пропорции:

Это основная задача 3. Значение x находим по формуле (1.3):

Пример 4. Господин Н сначала владел 1000 акций компании К, что составляло 2.5% от
общего числа акций этой компании. Чему стала равна его доля после покупки ещё 200
акций?

Решение. Обозначим через x число процентов, которое соответствует 1200 акций и
запишем условие задачи в виде процентной пропорции:

Это основная задача 4. Значение x находим по формуле (1.4):

Не имеет никакого смысла складывать, вычитать или сравнивать количества
процентов, относящиеся к разным базам. Например, если предприятие производит два
продукта - A и B, причём продукт A приносит 20% прибыли, а продукт B 15% прибыли,
то совершенно неверно заключить, что от производства этих двух продуктов
предприятие получает 35% прибыли или что при производстве продукта A оно получит
сумму денег на 5% большую, чем при производстве продукта B. Ответ зависит от
пропорций выпуска продуктов. Подобные задачи мы рассмотрим ниже.

Пример 5. Господин Н, получив в наследство $65 000 купил на них две квартиры:
однокомнатную за $25 000 и двухкомнатную за $40 000. Через год он продал эти
квартиры, получив от продажи однокомнатной квартиры 40% прибыли, а от продажи
двухкомнатной квартиры 30% прибыли. Сколько процентов прибыли господин Н
получил от продажи двух квартир?

Решение. Вычислим сумму денег, полученную в качестве прибыли. По Формуле (1)
суммы прибыли от продажи однокомнатной и двухкомнатной квартир равны,
соответственно,

Всего господин Н получил прибыль, равную

8

Требуется определить, сколько процентов составляет $22000 от $65 000. Обозначим
искомое число процентов через x и найдем его значение по формуле (1.3):

Пример 6. Вычислим, на сколько процентов прибыль, полученная от продажи
двухкомнатной квартиры господином Н из примера 5, больше, чем прибыль,
полученная им от продажи однокомнатной квартиры.

Решение. В предыдущем примере мы уже нашли, что прибыль от продажи
однокомнатной квартиры равна $10000, а от продажи двухкомнатной квартиры $12000. Надо найти, на сколько процентов число $12 000 больше числа $10000. Базой
(100%) в этом случае является число 10000. Вычислим, сколько процентов составляет
число 12000 от числа 10000. Обозначим искомое число процентов через x и найдем его
значение по формуле (1.3):

Следовательно, сумма прибыли, полученная от продажи двухкомнатной квартиры, на
20% больше, чем сумма прибыли, полученной от продажи однокомнатной квартиры.

В следующем примере рассматриваются так называемые безналоговые покупки.
Приведём сначала краткую информацию об этом.

Безналоговые покупки в Европе. Когда вы делаете покупки в странах Европейского
сообщества, то оплачиваете не только цену товара, но и налог на добавленную
стоимость, который включается в продажную цену. Вы можете вернуть выплаченную
сумму НДС, если получите при покупках чеки безналоговых покупок. Такие чеки
выдаются во многих магазинах Европы. Безналоговые покупки в Европейском
сообществе - это система возврата НДС для туристов, не являющихся гражданами
Европейского сообщества. Сумма НДС возвращается при пересечении границы
Европейского сообщества, если вы вывозите купленные товары с течение 90 дней со
дня покупки и имеете на эти товары чеки безналоговых покупок. Когда вы покидаете
Европейское сообщество, предъявите ваши покупки и чеки безналоговых покупок
таможенным властям. Они поставят штамп на ваши чеки. После этого вы можете
получить обратно выплаченную сумму НДС по чекам безналоговых покупок в
специальных пунктах возврата налогов.

Пример 7. В Великобритании НДС для большинства товаров составляет 17.5%. НДС
входит в продажную цену товара. Какой процент составляет налог на добавленную
стоимость в продажной цене?

Решение. Цену товара без НДС примем за 100%. Тогда продажная цена товара
составляет

9

Обозначим через x искомое число процентов и запишем условие задачи в виде
процентной пропорции:

Это основная задача 3. Значение x находим по формуле(3):

При процентных расчётах нередко допускаются ошибки, связанные с начислением
сложного процента. Это понятие будет подробно рассматриваться в третьей и
последующих лекциях. Здесь мы разберем только решение нескольких примеров,
связанных с ним.

Пример 8. Некоторый товар подорожал в январе на 10% и в феврале ещё на 10%. На
сколько процентов подорожал товар за два месяца?

Решение. Первоначальную цену товара примем за 100%. После первого повышения
она стала равна

При втором повышении эта новая цена увеличится на 10%, то есть на 
от первоначальной цены. Таким образом, цена через два месяца составит

от первоначальной цены. Следовательно, цена товара за два месяца повысилась на
21%.

Замечание. Распространённая ошибка - просто сложить проценты:

Ошибка заключается в том, что при этом складывают проценты, начисленные на
разные базы.

Пример 9. Цена товара уменьшилась в результате двух снижений цены на одно и то же
число процентов с 800 руб. до 512 руб. На сколько процентов снижалась цена каждый
раз?

Решение. Обозначим искомое число процентов через x. Первое снижение равно

после чего цена стала равна

Эта новая цена снизилась при втором снижении на

10