Элементы теории вероятностей в задачах

Элементы теории вероятностей в задачах

2-е издание, исправленное

Краюхина А.В.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

Элементы теории вероятностей в задачах/ А.В. Краюхина - М.: Национальный Открытый
Университет “ИНТУИТ”, 2016

В курсе дается элементарное введение в теорию вероятностей на примере решения задач.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2016-2016
(c) Краюхина А.В., 2016-2016

3

Элементы комбинаторики

Основные теоретические сведения

Упорядоченные множества (кортежи), состоящие из n различных элементов,
называются перестановками (без повторений).

(1.1)

где 
 – число перестановок,  – длина.

Упорядоченное подмножество m элементов (кортеж), составленное из всего
множества, содержащего n элементов, называется размещением (без повторения).

(1.2)

где 
 – число размещений,  – общее количество, 
 – число всех выборов из n

данных.

Сочетаниями (без повторений) из n элементов по m называется неупорядоченное
подмножество (выборка), состоящее из m элементов, 48 взятых из множества,
состоящего из n элементов.

(1.3)

где 
 – число сочетаний,  – общее количество, 
 – число всех выборов из n

данных.

Кортеж, имеющий повторяющиеся элементы, называется перестановкой с
повторениями.

(1.4)

где 
 – число перестановок с повторениями,  – общее количество, 
 –

число всех выборов из n данных.

Такое часто встречающееся число подсчетов вариантов называют размещением с
повторением.

(1.5)

где 
 – число размещений с повторением,  – общее количество, 
 – число всех

выборов из n данных.

4

Сочетаниями с повторениями называются соединения, содержащие n элементов,
причем среди них могут быть одинаковые, а отличаются они хотя бы одним
элементом, но не порядком.

(1.6)

где 
 – число сочетаний с повторением,  – общее количество, 
 – число всех

выборов из n данных.

Пример решения задачи

Задача: Сколькими способами из цифр 3, 5, 7, 9 можно составить различные
четырехзначные числа?

Дано:

n=4

Решение:

1. Найдем число перестановок:

Ответ: P4=24

P4

5

Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Основные теоретические сведения

Биноминальные коэффициенты очень красиво располагаются треугольником, в
котором каждое число (кроме первого) является суммой двух предшествующих. Этот
треугольник называется треугольник Паскаля.

Таблица 1. Треугольник Паскаля для нахождения

биноминального коэффициента

Показатель степени
Биноминальные коэффициенты

0
1
2
3
…
… … … … … … … …
…

n
… … … … …

Эта таблица больше известна в виде значений:

Показатель степени
Биноминальные коэффициенты

0
1

1
1
1

2
1
2
1

3

1
3
3
1

4
1
4
6
4
1

5
1
5
10
10
5
1

…
… … … … … … … … … … … …

n

(n-я строка состоит из чисел 
).

Биномом Ньютона называют разложение вида:

(1.7)

где 
 – биноминальные коэффициенты.

Пример решения задачи

Задача: Разложить по формуле бином 
 .

Решение: Используя треугольник Паскаля, находим биноминальные коэффициенты:

6

Показатель степени Биноминальные коэффициенты
0
1

1
1
1

2
1
2
1

3
1
3
3
1

4
1
4
6
4
1

5
1
5
10
10
5
1

6
1
6
15
20
15
6
1

Используя полученные биноминальные коэффициенты, получаем разложение данного
выражения:

7

Определение вероятности

Основные теоретические сведения

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности
этого события.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события А называется отношение числа исходов m,
благоприятствующих наступлению события А, к числу n всех несовместных
равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий:

(1.8)

где m – число исходов, n – число всех несовместных равновозможных элементарных
исходов.

Из определения следует, что вероятность удовлетворяет условиям

Классическое определение вероятности применяется только в следующих случаях:

1. Число элементарных исходов конечно;
2. Результаты всех испытаний и наблюденийравновозможны ;
3. Все равновозможные события образуют полную группу попарно несовместных

событий.

Пример решения задачи

Задача: Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120
выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Дано:

m=120

n=1500

Решение: А – купленный билет оказался выигрышным

или 8%. Ответ: P(A)=0.08
P(A)=?

8

Некоторые теоремы теории вероятностей

Основные теоретические сведения

Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих
событий (ключевое слово “или”):

(1.9)

Теорема 2. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице:

(1.10)

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(1.11)

(1.12)

Теорема 4. Если событие А влечет за собой событие B, т.е. 
 то

(1.13)

Теорема 5. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:

(1.14)

Теорема 6. Вероятность совместного появления событий А и В равна произведению
вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое
событие произошло (ключевое слово “и”), и находится по формуле:

(1.15)

Теорема 7. Вероятность произведения независимых событий А и В равна
произведению их вероятностей:

(1.16)

Пример решения задачи

Задача: Вероятность появления бракованной детали в партии равна 0,015. Найти
вероятность того, что из этой партии будет изъята небракованная деталь.

Дано:

P(A)=0,015

Решение:

1. А – деталь, изъятая из партии, бракованная

9

P(B)=?
В – из партии изъята небракованная деталь

По теореме о вероятности противоположного события:

Ответ: P(B)=0,985

10