Элементы теории вероятностей в задачах
Покупка
Новинка
Издательство:
ИНТУИТ
Автор:
Краюхина А. В.
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 21
Дополнительно
В курсе дается элементарное введение в теорию вероятностей на примере решения задач.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.01: Экономика
- 38.03.02: Менеджмент
- 38.03.03: Управление персоналом
- 38.03.04: Государственное и муниципальное управление
- 38.03.05: Бизнес-информатика
- 38.03.06: Торговое дело
- 38.03.07: Товароведение
- 38.03.10: Жилищное хозяйство и коммунальная инфраструктура
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Элементы теории вероятностей в задачах 2-е издание, исправленное Краюхина А.В. Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ” 2016 2
Элементы теории вероятностей в задачах/ А.В. Краюхина - М.: Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”, 2016 В курсе дается элементарное введение в теорию вероятностей на примере решения задач. (c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2016-2016 (c) Краюхина А.В., 2016-2016 3
Элементы комбинаторики Основные теоретические сведения Упорядоченные множества (кортежи), состоящие из n различных элементов, называются перестановками (без повторений). (1.1) где – число перестановок, – длина. Упорядоченное подмножество m элементов (кортеж), составленное из всего множества, содержащего n элементов, называется размещением (без повторения). (1.2) где – число размещений, – общее количество, – число всех выборов из n данных. Сочетаниями (без повторений) из n элементов по m называется неупорядоченное подмножество (выборка), состоящее из m элементов, 48 взятых из множества, состоящего из n элементов. (1.3) где – число сочетаний, – общее количество, – число всех выборов из n данных. Кортеж, имеющий повторяющиеся элементы, называется перестановкой с повторениями. (1.4) где – число перестановок с повторениями, – общее количество, – число всех выборов из n данных. Такое часто встречающееся число подсчетов вариантов называют размещением с повторением. (1.5) где – число размещений с повторением, – общее количество, – число всех выборов из n данных. 4
Сочетаниями с повторениями называются соединения, содержащие n элементов, причем среди них могут быть одинаковые, а отличаются они хотя бы одним элементом, но не порядком. (1.6) где – число сочетаний с повторением, – общее количество, – число всех выборов из n данных. Пример решения задачи Задача: Сколькими способами из цифр 3, 5, 7, 9 можно составить различные четырехзначные числа? Дано: n=4 Решение: 1. Найдем число перестановок: Ответ: P4=24 P4 5
Треугольник Паскаля. Бином Ньютона Основные теоретические сведения Биноминальные коэффициенты очень красиво располагаются треугольником, в котором каждое число (кроме первого) является суммой двух предшествующих. Этот треугольник называется треугольник Паскаля. Таблица 1. Треугольник Паскаля для нахождения биноминального коэффициента Показатель степени Биноминальные коэффициенты 0 1 2 3 … … … … … … … … … … n … … … … … Эта таблица больше известна в виде значений: Показатель степени Биноминальные коэффициенты 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 … … … … … … … … … … … … … n (n-я строка состоит из чисел ). Биномом Ньютона называют разложение вида: (1.7) где – биноминальные коэффициенты. Пример решения задачи Задача: Разложить по формуле бином . Решение: Используя треугольник Паскаля, находим биноминальные коэффициенты: 6
Показатель степени Биноминальные коэффициенты 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 Используя полученные биноминальные коэффициенты, получаем разложение данного выражения: 7
Определение вероятности Основные теоретические сведения Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события. Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению события А, к числу n всех несовместных равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий: (1.8) где m – число исходов, n – число всех несовместных равновозможных элементарных исходов. Из определения следует, что вероятность удовлетворяет условиям Классическое определение вероятности применяется только в следующих случаях: 1. Число элементарных исходов конечно; 2. Результаты всех испытаний и наблюденийравновозможны ; 3. Все равновозможные события образуют полную группу попарно несовместных событий. Пример решения задачи Задача: Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным? Дано: m=120 n=1500 Решение: А – купленный билет оказался выигрышным или 8%. Ответ: P(A)=0.08 P(A)=? 8
Некоторые теоремы теории вероятностей Основные теоретические сведения Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (ключевое слово “или”): (1.9) Теорема 2. Сумма вероятностей полной группы событий равна единице: (1.10) Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: (1.11) (1.12) Теорема 4. Если событие А влечет за собой событие B, т.е. то (1.13) Теорема 5. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле: (1.14) Теорема 6. Вероятность совместного появления событий А и В равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло (ключевое слово “и”), и находится по формуле: (1.15) Теорема 7. Вероятность произведения независимых событий А и В равна произведению их вероятностей: (1.16) Пример решения задачи Задача: Вероятность появления бракованной детали в партии равна 0,015. Найти вероятность того, что из этой партии будет изъята небракованная деталь. Дано: P(A)=0,015 Решение: 1. А – деталь, изъятая из партии, бракованная 9
P(B)=? В – из партии изъята небракованная деталь По теореме о вероятности противоположного события: Ответ: P(B)=0,985 10