Сопротивление материалов

А.Г. Схиртладзе
А.В. Чеканин
В.В. Волков
СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ
В двух частях
Часть 1
Учебник
Допущено
Учебно-методическим объединением вузов 
 
по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) 
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, 
 
обучающихся по направлениям подготовки 
 
«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 
«Автоматизация технологических процессов и производств»

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
УДК	 539.9/8 (075.8)
ББК	 30.121
	
С92
Р е ц е н з е н т ы:
Бакушев С.В., доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой сопротивления материалов и теории упругости Пензенского государственного университета архитектуры и строительства;
Романенко И.В. , кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой механизации и автоматизации производства Пензенского государственного университета архитектуры и строительства
Схиртладзе А.Г.,
Сопротивление материалов : в 2 ч. Ч. 1. : учебник: / А.Г
. СхиртС92
ладзе, А.В. Чеканин, В.В. Волков. — М.: КУРС  : ИНФРА-М, 
ISBN 978-5-906923-66-0 (КУРС, общ.)
ISBN 978-5-906923-65-3 (КУРС)
ISBN 978-5-16-013462-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102767-7 (ИНФРА-М, online)
В учебнике представлен теоретический материал по основным разделам курса «Сопротивление материалов», даны примеры решения типовых 
задач с подробными пояснениями, приведены контрольные вопросы для 
самопроверки студентами полученных знаний и тестовые тренировочные задания, которые могут быть использованы как для самостоятельной 
подготовки студентов к контрольным работам, зачетам и экзаменам, так 
и для проведения выходного контроля по завершении изучения данной 
дисциплины.
В учебнике представлены как традиционные, так и современные концепции и методики расчетов по проектированию деталей и конструкций.
Учебник может быть использован для студентов машиностроительных 
специальностей всех форм обучения.
Авторы выражают благодарность профессору Д.В. Чернилевскому за 
помощь, оказанную в процессе подбора материалов для написания данного учебника, и критические замечания.
УДК 539.9/8 (075.8)
ББК 30.121
©  СхиртладзеА.Г., Чеканин А.В.,    
      Волков В.В., 2017
© КУРС, 2017
ISBN 978-5-906923-66-0 (КУРС, общ.)
ISBN 978-5-906923-65-3 (КУРС)
ISBN 978-5-16-013462-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102767-7 (ИНФРА-М, online)

Предисловие
Все инженерные конструкции должны проектироваться и изготовляться так, чтобы в каждом их элементе под действием внешних 
сил обеспечивались полная надежность и долговечность без риска 
поломки или опасного изменения размеров и формы.
Объектом изучения курса сопротивления материалов является 
реальное твердое тело, находящееся под действием внешних сил. 
Основным свойством этого тела является его способность изменять 
свою форму и размеры под действием внешних сил и при некоторой 
величине этих сил разрушаться.
Изменение формы и размеров тел под действием приложенных 
к нему сил называется деформацией, а тела, способные деформироваться, — деформируемыми телами.
В отличие от теоретической механики, где тело рассматривается 
как абсолютно твердое, в сопротивлении материалов рассматриваются деформируемые тела.
Деформации, исчезающие после снятия нагрузок, называют упругими; деформации, остающиеся в теле, — остаточными или пластическими.
Все инженерные конструкции должны быть прочными. Под прочностью будем понимать способность детали или элемента конструкции не разрушаться под действием приложенных к  ним 
внешних сил и не получать пластических деформаций.
Кроме расчетов на прочность, во многих случаях приходится производить расчеты на жесткость и устойчивость.
Целью расчета на жесткость является определение таких размеров 
конструкции или отдельных ее элементов, при которых деформации 
не будут превышать заданных величин, действующих по условиям 
нормальной эксплуатации конструкции.
При проектировании часто размеры детали определяются из расчетов на прочность и жесткость. В этом случае, чтобы обеспечить 
выполнение обоих требований, из двух полученных по расчету размеров принимают больший.
Расчет на устойчивость должен обеспечить отсутствие качественного изменения характера деформации элемента конструкции, приводящей к разрушению этого элемента или весьма большим его деформациям. Это требование относится прежде всего к гибким сжатым элементам.
3

При выполнении указанных видов расчета необходимо стремиться к наибольшей экономии материала, к достаточным, но не 
завышенным размерам элементов конструкции.
Требования надежности и экономичности проектируемой конструкции едины, но и противоречивы по своей сути. Если принцип 
надежности (прежде всего прочности) ведет к большому расходу материала, то принцип экономичности требует по возможности меньшего расхода материала. Эти противоречивые требования обусловливают главным образом развитие сопротивления материалов как 
науки, обеспечивая единство теории и практики.
Таким образом, сопротивление материалов — наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость, устойчивость и экономичность элементов конструкций.
Наука о сопротивлении материалов имеет свою историю. Начало 
развития сопротивления материалов как науки обычно относят 
к первой половине XVII столетия и связывают с именем знаменитого 
физика, математика и астронома Галилео Галилея (1564–1642). Он 
впервые поставил вопрос о необходимости проведения аналитических расчетов для оценки сопротивляемости стержней действию 
внешних сил.
В 1676 г. Р
. Гук (1635–1703) установил пропорциональную зависимость между усилием и удлинением при растяжении. Эта зависимость известна под названием закона Гука, который имеет исключительную важность в сопротивлении материалов. Развитию этой науки в XVIII в. в большей степени способствовали успехи высшей 
математики и механики; особую важность имели работы Л. Эйлера 
(1707–1783) и Ж.Л. Лагранжа (1736–1813).

Глава 1
Основные определения  
и положения дисциплины 
«Сопротивление материалов»
1.1. Основные задачи сопротивления материалов
Отдельные части машин и механизмов под действием нагрузок 
изменяют свою форму и размеры. Для нормальной работы машин 
такие изменения размеров, называемые деформациями, не должны 
превышать определенного значения.
Чтобы рассмотреть взаимодействие реальных упругих элементов 
машин (вместо абсолютно твердых тел), следует изучить состояние 
деформированных тел и установить зависимости между нагрузками 
и деформациями.
Способность конструкции выдерживать заданные нагрузки без 
разрушения или появления в ней остаточных пластических деформаций называется прочностью.
Способность детали воспринимать заданные внешние нагрузки, 
не изменяя свои первоначальные формы и размеры сверх норм, установленных на основе условий ее нормальной работы, называется 
жесткостью детали.
Чтобы гарантировать нормальную работу ряда деталей, может 
оказаться недостаточным проведение расчетов лишь на прочность 
и жесткость, а потребуется дополнительная проверка устойчивости 
первоначальной формы равновесия. Так, тонкий длинный стержень, 
размеры которого были выбраны из условия прочности и жесткости, 
при действии на него осевой сжимающей нагрузки до некоторого 
значения F остается прямолинейным, но при увеличении нагрузки 
до некоторого для данного стержня значения, называемого критическим (Fкр), вдруг внезапно искривляется (рис. 1.1) — теряет устойчивость. Первоначальная прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой, возникает новая устойчивая форма равновесия — криволинейная. Если при этом стержень не разрушится, то 
в нем возникнут недопустимо большие перемещения, способные 
нарушить работоспособность всего узла, в состав которого входит 
этот стержень. Следовательно, перед инженером-конструктором воз5

никает еще одна задача — проверка устойчивости элементов сооружений (конструкций).
F
= F
F1
кp
Рис. 1.1. Устойчивость стержня:
а — расчетная схема; б — потеря 
устойчивости
а)
б)
Сопротивление материалов является одной из важнейших технических дисциплин. Основными задачами сопротивления материалов 
как технической дисциплины являются расчеты на прочность, жесткость и устойчивость элементов различных машин и сооружений. 
В задачи сопротивления материалов как науки входит обобщение 
инженерного опыта создания машин и сооружений, разработка научных основ проектирования надежных изделий, совершенствование 
методов оценки прочностной надежности и долговечности конструкций.
Сопротивление материалов тесно связано с теоретической механикой и базируется на основных законах и теоремах теоретической 
механики и, в первую очередь, широко использует уравнения статического равновесия различных систем сил, полученные для абсолютно твердого тела. Однако следует отметить и их принципиальное 
отличие: в теоретической механике для упрощения решения задач 
все тела принимаются абсолютно твердыми, а в сопротивлении материалов — деформируемыми, т.е. способными изменять первоначальную форму и размеры при действии на них внешних сил. В теоретической механике рассматривается замена одной системы сил на 
другую, эквивалентную первой, рассматриваются условия равновесия различных систем сил, изучаются законы движения тел, но никогда не ставится вопрос о целостности рассматриваемого тела под 
действием приложенных к нему сил, т.е. о его прочности. Вопрос 
оценки прочности тела может быть решен только методами сопротивления материалов.
С точки зрения теоретической механики нет никакого различия 
между случаями нагружения тела, показанными на рис. 1.2, а, б. Если 
же рассматривать эти примеры в сопротивлении материалов, то 
6

легко заметить, что тела будут по-разному реагировать на приложение сил: в первом случае стержень будет деформироваться по всей 
длине, а во втором — только на участке AB.
F
F
A
Рис. 1.2. Нагружение тела в зависимости 
от точки приложения силы:
а — нагружение тела по всей длине; 
б — нагружение тела на отдельном 
участке
B
а)
б)
Вследствие общности основных положений сопротивление материалов можно рассматривать как раздел механики, называемый механикой деформируемого твердого тела [25, 26].
Сопротивление материалов вместе с такими смежными дисциплинами, как «Теория упругости, пластичности, ползучести», «Строительная механика» и др. занимается вопросами, связанными с поведением 
деформируемых твердых тел. В теории упругости, по сути, анализируются те же вопросы, что и в сопротивлении материалов, но задачи 
ставятся без упрощающих гипотез. Поэтому для их решения приходится использовать сложный математический аппарат, что в какой-то 
степени ограничивает возможность их применения в практических 
инженерных расчетах. Однако результаты более точного и глубокого 
анализа явлений, рассматриваемых в перечисленных дисциплинах, 
достаточно широко используются в сопротивлении материалов при 
создании приближенных методов расчета.
В последние годы в сопротивлении материалов все большее 
место занимают методы, которые ранее применялись лишь в дисциплинах математического характера. Это стало возможным благодаря все возрастающему влиянию ЭВМ и созданию на основе их 
применения математических моделей прочностной надежности 
элементов конструкции.
1.2. Упругая и пластическая деформация.  
Основные гипотезы и допущения
Все реальные тела под воздействием внешних сил в большей или 
меньшей степени изменяют свои размеры — деформируются, т.е. из7

меняют первоначальную форму и размеры при действии на них 
внешних сил. Деформации, полностью исчезающие после снятия 
нагрузок, называются упругими, а остающиеся — пластическими или 
остаточными.
Материал считается абсолютно упругим, если после прекращения 
действия на него внешних сил полностью исчезают вызванные ими 
деформации.
Как правило, возникновение пластических деформаций является 
недопустимым, а потому рассматривается как выход из строя детали.
Для создания достаточно простых и удобных для инженерной 
практики расчетов используются допущения и гипотезы о свойствах 
материалов и характере деформации.
К основным допущениям о свойствах материалов относятся следующие.
1. Гипотеза сплошности и однородности материала. Предполагается, 
что материал полностью заполняет весь объем без каких-либо пустот 
и его свойства не зависят от выделенного из тела объема, т.е. материал 
во всех точках обладает одинаковыми свойствами. Г
ипотеза позволяет 
использовать в сопротивлении материалов методы анализа бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления).
2. Гипотеза изотропности. Сплошная среда является изотропной, 
т.е. физико-механические свойства материалов во всех направлениях 
одинаковы.
Материалы, не обладающие указанным свойством, называются 
анизотропными. Анизотропны дерево, бумага, фанера, в некоторой 
степени — стальной прокат.
При сжатии дерева вдоль волокон деформации в несколько раз 
меньше, чем при сжатии поперек волокон. В настоящее время широкое распространение получили анизотропные композиционные 
материалы, состоящие из двух компонентов — наполнителя и связующего. Наполнитель состоит из уложенных в определенном порядке 
высокопрочных нитей — матрицы, что и определяет значительную 
анизотропию композита. Композиционные материалы имеют высокую прочность при значительно меньшем, чем металлы, весе.
Сталь при обычной температуре состоит из частиц феррита и цементита, присутствующих в виде отдельных включений или в виде 
тонкой механической смеси, называемой перлитом. Феррит обладает 
сравнительно низкой прочностью, но высокой пластичностью. Цементит, наоборот, имеет большую прочность, но низкую пластичность. Для перлита характерно цельное сочетание высоких прочности и пластичности.
8

Материалы и сплавы, как правило, изотропны. Благодаря наличию в теле большого количества беспорядочно расположенных кристаллов свойства всей массы материала в различных направлениях 
выравниваются. Допущение об изотропности хорошо подтверждается практикой для большинства материалов.
3. Гипотеза идеальной упругости. До определенных пределов нагружения материал является идеально упругим, т.е. после снятия 
нагрузки деформации полностью исчезают. При больших нагрузках 
все материалы перестают обладать этим свойством, а потому данная 
гипотеза становится неприменимой.
Рассмотрим теперь гипотезы и допущения, связанные с характером деформаций.
1. Гипотеза малости деформаций. Перемещения, возникающие 
в упругих телах под воздействием внешних сил, малы по сравнению 
с размерами тела.
Эта гипотеза позволяет при составлении уравнений равновесия 
не учитывать изменения в расположении сил. Указанное допущение 
носит название принципа начальных размеров. Проиллюстрируем данное положение простым примером. Момент силы F относительно 
точки A заделки считают равным Fl, а не Fl1 (рис. 1.3), так как разница Dx = l - l1 в действительности незначительна.
A
F
F
Рис. 1.3. Деформации 
консольно нагруженной балки
∆x
l1
M = Fl
l
2. Гипотеза линейности деформаций. Перемещения точек упругого 
тела прямо пропорциональны действующим нагрузкам. Суть допущения покажем на примере (рис. 1.4). Если балка при действии силы 
F прогнется на расстояние f, то вдвое большая сила вызовет в два раза 
больший прогиб балки 2f. Тела, для которых справедлива эта гипотеза, называются линейно деформируемыми.
3. Принцип независимости действия сил. Результат действия на 
тело системы сил не зависит от порядка приложения внешних сил 
и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности.
Пусть на тело (рис. 1.5) действуют две силы F1 и F2, при этом 
точка A балки получит перемещение f (рис. 1.5, а). Если к балке приложить силу F1, точка получит перемещение f1 (рис. 1.5, б), при действии силы F2 — перемещение f2 (рис. 1.5, в). При одновременном 
9

F
а)
2F
Рис. 1.4. Деформации балки в 
зависимости от величины нагрузки
f
2f
б)
действии обеих сил перемещение точки А равно алгебраической 
сумме перемещений:
f
f
f
=
+
1
2.
A
f
F2
F1
а)
F1
f1
A
б)
Рис. 1.5. Деформации тела 
от системы сил:
а — деформация от совместного 
действия сил; б — деформация 
от консольной силы F1; 
в — деформация от силы F2
F2
A
f2
в)
Указанный принцип суперпозиций справедлив лишь для линейно 
деформируемых тел.
В сопротивлении материалов помимо указанных гипотез используются гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) и так называемый принцип Сен-Венана, о которых будет сказано далее.
1.3. Реальный объект — расчетная схема
Приступая к расчету, необходимо выделить самое существенное 
для рассматриваемого элемента, отбросив частности, несущественные для решения, но значительно его усложняющие, т.е. создать расчетную схему элемента.
Можно привести примеры различных тел, ничем не напоминающих друг друга по внешнему виду, но рассчитываемых по одной 
геометрической схеме. Например, стенки и днища баков, фюзеляж 
10