Математика. Краткий курс лекций. Часть I

 
 
 МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ 
ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И 
ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ 
 
ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ 
ГПС МЧС РОССИИ 
 
 
 
 
 
Двойцова И.Н. 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
Краткий курс лекций 
Часть I 
Учебное пособие  
 
 
Допущено ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия 
Государственной противопожарной службы МЧС России в качестве  
учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
Железногорск 
2024 
 

 
 
УДК 512.64, 514.11 
ББК 22.143, 22.151.0 
Д24 
 
 
 
Составитель: Двойцова Ирина Николаевна, канд. с-х. наук, доцент. 
 
 
 
Рецензенты: Трофимец Елена Николаевна, канд. пед. наук, доцент 
(ФГБОУ ВО Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России) 
 
Герасимова Марина Михайловна, канд. техн. наук, доцент 
(ФГБОУ ВО Сибирский государственный университет науки и технологий 
имени академика М.Ф. Решетнева, филиал в г. Лесосибирке) 
 
 
 
Двойцова, И.Н. Математика. Краткий курс лекций. Часть I [Текст]: 
учебное пособие / И.Н. Двойцова – Железногорск: ФГБОУ ВО Сибирская 
пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2024. – 80 с.: ил. 
 
 
Учебное пособие предназначено для обучающихся по специальности 
40.05.03 
Судебная 
экспертиза 
и 
может 
быть 
использовано 
для 
самостоятельного изучения дисциплины.   
Данное издание представляет собой краткий курс лекций по разделу 
«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» с примерами 
задач, а также контрольными вопросами для самостоятельной работы 
слушателей очной формы обучения при изучении учебной дисциплины 
«Математика». 
 
 
 
 
УДК 512.64, 514.11 
ББК 22.143, 22.151.0 
Д24 
 
 
 
 
© ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2024 
© Двойцова И.Н., 2024 
 

 
 
Оглавление:  
 
Введение……………………………………………………………………... 
Тема 1. Матрицы……………………………………………………………. 
1.1 Определение и виды матриц………………………………………… 
1.2 Действия с матрицами……………………………………………….. 
Тема 2. Определители………………………………………………………. 
2.1 Понятие определителя……………………………………………….. 
2.2 Вычисление определителей…………………………………………. 
2.3 Свойства определителей……………………………………………... 
Тема 3. Системы линейных уравнений……………………………………. 
……4 
……5 
..…..5 
...….7 
…..11 
..…11 
..…11 
…..13 
…..17 
…..17 
 
3.1 Основные понятия и определения…………………………………... 
3.2 Исследование систем линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли…………………………………………………………………… 
3.3 Метод Крамера для решения систем линейных уравнений……….. 
3.4 Обратная матрица……………………………………………………. 
3.5 Матричный способ решения систем линейных уравнений……….. 
3.6 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса…………… 
Тема 4. Элементы векторной алгебры…………………………………….. 
4.1 Векторы. Линейные операции над векторами……………………… 
4.2 Скалярное произведение векторов………………………………….. 
4.3 Векторное произведение векторов………………………………….. 
4.4 Смешанное произведение векторов………………………………… 
Тема 5. Прямая и плоскость………………………………………………... 
…..18 
..…21 
..…23 
......25 
…..29 
..…33 
…..33 
…..36 
…..39 
…..43 
…..47 
…..47 
..…55 
…..57 
 
5.1 Уравнение прямой на плоскости……………………………………. 
5.2 Уравнения плоскостей в пространстве…………….……………….. 
5.3 Уравнения прямых в пространстве…………………………………. 
5.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей  
в пространстве……………………………………………………………. 
Тема 6. Кривые второго порядка…………………………………………... 
6.1 Уравнение и параметры эллипса……………………………………. 
6.2 Уравнение и параметры гиперболы………………………………… 
6.3 Уравнение и параметры параболы………………………………….. 
6.4 Общая теория кривых второго порядка…………………………….. 
..…61 
…..65 
…..65 
…..66 
..…67 
..…68 
..…73 
…..79 
 
Тема 7. Поверхности второго порядка ……………………………………. 
Список литературы……………………………………………………….… 
 
 
 
 
 

Введение 
 
Настоящий краткий курс лекций предназначен в помощь студентам 
специальности 40.05.03 «Судебная экспертиза» очной формы обучения при 
изучении дисциплины «Математика», а также курсантам и студентам, 
обучающимся по специальности 20.05.01 «Пожарная безопасность» и 
направлению 20.03.01 «Техносферная безопасность» в ФГБОУ ВО «Сибирская 
пожарно-спасательная академия» ГПС МЧС России при изучении раздела 
«Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии». Основную часть 
сборника составляют лекционный материал, примеры решения типовых задач 
и контрольные вопросы по темам.  
Теория матриц и определителей составляет один из основных 
вычислительных аппаратов линейной алгебры. Это весьма эффективный 
математический инструмент. Он позволяет в компактной форме представить и 
обработать большие массивы информации при исследовании многих задач 
теоретической 
и 
прикладной 
математики. 
Матрицы 
являются 
очень 
востребованной структурой данных в программировании и информационных 
технологиях.  
Векторная алгебра – раздел математики, в котором изучаются простейшие 
операции над векторами. Широкое проникновение математики в научное 
естествознание и производство вызывает необходимость более обстоятельного 
ознакомления учащихся с еѐ основными прикладными направлениями, в 
частности, в приложении к физике. Понятие вектора возникло как 
математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и 
направлением, 
например, 
перемещение, 
скорость, 
напряженность 
электрического или магнитного полей.  
Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие 
геометрические образы (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго 
порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат. Кроме 
того, аналитическая геометрия эффективно использует элементы векторной 
алгебры и широко применяется при решении и визуализации различных задач. 
Учебным планом специальности 40.05.03 «Судебная экспертиза» 
предусмотрено выполнение контрольной работы с заданиями по этому 
разделу. Форма контроля по окончании изучения дисциплины - экзамен. 
Освоение материалов учебного пособия позволит качественно подготовиться к 
вопросам по разделу «Элементы линейной алгебры и аналитической 
геометрии».  
Список литературы подобран с учетом возможности получения 
дополнительных теоретических сведений, а также самостоятельного решения 
задач. 
 

1 Матрицы 
 
1.1 Определение и виды матриц  
 
Матрицы используются в математическом анализе при интегрировании 
систем 
дифференциальных 
уравнений, 
в 
механике 
и 
теоретической 
электротехнике при исследовании малых колебаний 
механических и 
электрических систем, в теории вероятностей, в квантовой механике и др. 
Термин «матрица» происходит от латинского слова matrix – источник, 
начало. Впервые матрица как математическое понятие появилась в работах У. 
Гамильтона, А. Кели и Дж. Сильвестра в середине 19 века. Основы теории 
матриц созданы К. Вейерштрассом и Г. Фробениусом во 2-ой половине 19 века 
и начале 20 века. 
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или других 
математических объектов (например, функций), состоящая из m строк и n 
столбцов. 
Для обозначения матрицы используются заглавные буквы латинского 
алфавита, например, 
a
a
a


n
11
12
1


n
21
22
2
a
a
a
A
.

m n
 






a
a
a
m
m
mn
1
2


 
Элементы 
матрицы 
обозначаются 
соответствующими 
строчными 
буквами: a11, a12, …, aij, …, amn. Нижние индексы определяют место элемента в 
матрице. Первый индекс i обозначает номер строки (i=1,…, m), второй  индекс j 
обозначает номер столбца (j=1,…, n), в которых находится элемент. 
Символом «
n
m», характеризующим размеры матрицы, обозначается ее 
порядок (размерность). Заметим, что матрицы Amxn и Bnxm есть матрицы 
разного порядка.  

0
1
2
B
 имеет размерность 
3
2(две строки и 



10
4
3
Например, матрица 






три столбца), элемент 
0
13 
b
. 
Рассмотрим некоторые виды (частные случаи) матриц. 
Матрица называется прямоугольной, если m не равно n.    
Матрица называется квадратной, если m = n.  
Квадратные матрицы порядка 
1
1 отождествляются с числами. 
Если m = 1, n > 1,  то полученную  однострочную  матрицу   называют 
матрицей-строкой, вектор-строкой или просто строкой: 
 


n
a
a
a
  
,
 
...
 
,
  
,
2
1
 
 

Если n=1, m>1, полученную одностолбцовую матрицу называют 
матрицей-столбцом, вектор-столбцом  или просто столбцом:  
a


1
a
2
 











m
a


Матрица, все элементы которой равны нулю (aij = 0), называется нулевой. 
Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые индексы –  
 
a11, a22, .., ann 
 
образуют главную диагональ матрицы. 
Квадратная матрица называется диагональной, если на главной диагонали 
стоят элементы, отличные от нуля, а все прочие элементы равны нулю. 
Диагональная матрица называется единичной, если все числа, стоящие на 
главной диагонали, равны единице. Единичную матрицу обозначают Е: 
 
0
...
0
1


0
...
1
0

E
 
...
...
...
...










1
...
0
0


 
Две матрицы А и В называются равными, если они имеют один и тот же 
порядок и равные элементы, стоящие на одинаковых местах. (Amxn=Bkxl, если 
m=k,  n=l , aij = bij). 
1
2





B
A
 
Пример 1.1. Даны две матрицы 
.
0
0
3
0
1
2
,
0
3















В данном случае А  В,  так как матрицы  А  и  В  разного порядка. 
 
Пример 1.2.  Если мы имеем матрицы  
 


4
1
3
4
1
3







9
0
5
,
9
5
.

b
B
A
 














8
3
7
8
3
7




 
то А=В  только, если  параметр  b=0. 
 
Матрица В называется транспонированной по отношению к матрице 
Amxn,  если  bij=aji,  т.е. столбцы матрицы  А  являются строками матрицы  В. 
Для обозначения такой матрицы будем использовать символ АТ. 
 
4
3
2
1



A
 
Пример 1.3.  Матрица  







4
2
8
7
6
5

при транспонировании переходит в матрицу   
 
5
1


6
2

T
A
 
7
3













2
4
8
4
 
Матрица Amxn называется симметричной, если АТ=А. 
Из определения вытекает, что симметричной может быть только такая 
квадратная матрица, у которой aij = aji. Кроме того, у симметричной матрицы 
элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, 
равны. 

2
1
3




0
5
1
A
 транспонированной будет 
Пример 1.4.  Для матрицы  







3
0
2



2
1
3




0
5
1
матрица 
.
T
A
 







3
0
2


Очевидно, что АТ = А , следовательно  А – симметричная матрица. 
 
1.2 Действия с матрицами 
 
Рассмотрим правила, по которым осуществляются операции над 
матрицами. 
 
I. Суммой матриц А = (аij) и    В = (bij) c одинаковым количеством строк m 
и столбцов n - одинаковой размерности, - называется матрица C=(cij) той же 
размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих  
элементов данных матриц: 
С=А+В, если cij = аij + bij.  (i = 1, 2, …,  m;  j = 1, 2, …, n), 
где i – номер строки, j – номер столбца. 
 
Условие существования алгебраической суммы двух матриц: 
Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности.  
Пример 1.5.   
3
4
3
2
4
3
5
7








2
3
. 


0
1
3
2
3
0
2
1
3
3































 
Аналогично определяется разность матриц.  
  

II. Произведением матрицы А = (аij) на число  называется матрица того 
же порядка, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего 
элемента матрицы А на число ; таким образом,   
 



a
a
a
a
a
a




n
n
11
12
1
11
12
1




n
n
21
22
2
21
22
2





a
a
a
a
a
a
A
.
 

















a
a
a
a
a
a
m
m
mn
m
m
mn
1
2
1
2




 
Пример 1.6. 
1
2
2
2
2
4





1
2
2
. 


4
3
4
2
3
2
8
6























 
Матрица В  называется противоположной матрице  А,  если сумма 
матриц  А  и  В  есть нулевая матрица.  
Из определения противоположной матрицы вытекает, что матрица В, 
равная (-1)А,  есть матрица, противоположная матрице  А. 
Сложение матриц и умножение матрицы на число являются линейными 
операциями над матрицами. 
Рассмотрим основные свойства линейных операций: 
 
1. Коммутативный закон сложения. От перестановки слагаемых сумма 
матриц не меняется, т.е.  А+В=В+А.  
2. Сочетательный закон сложения 
 
(А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С. 
 
3. Распределительный закон   
 
B
A
B
A






)
(
, где  –  постоянное число. 
 
4. Сочетательный закон умножения   
 






A
A
A







, где  и  –  постоянные числа. 
 
III. Рассмотрим далее две матрицы Amxn и Bnxp такие, что число столбцов 
первой матрицы равно числу строк второй. Введем операцию умножения для 
таких матриц.  
 
Условие существования произведения двух матриц: Произведение 
двух матриц существует, если число столбцов первой матрицы равно числу 
строк второй матрицы. 

Если это условие не выполняется, то произведение матриц не 
определено.  
 
Произведением двух матриц Amxn и Bnxp (в указанном порядке) называется 
такая матрица Cmxp, каждый элемент которой сij равен сумме произведений 
элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В: 
 
n

. 
kj
ik
ij
b
a
c
Cmxp=Amxn Bnxp, если 


k
1
 
Операция вычисления каждого элемента произведения двух матриц 
носит название операции умножения строки на столбец и схематично может 
быть изображена так: 
 
  
 
 
 
 
       (j)                              
 
  (j) 





b
b
b
b
c
c
c
c




a
a
a
a


p
j
p
j
1
1
12
11
1
1
12
11
n
1
13
12
11





b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
a
p
j
p
j
2
2
22
21
2
2
22
21
n
2
23
22
21













b
b
b
b
p
j
3
3
32
31











c
c
c
c
a
a
a
a
i
i
)
(
)
(
ip
ij
i
i
2
1
in
i
i
i
3
2
1






































































b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
a
np
nj
n
n
mp
mj
m
m
2
1
2
1
mn
m
m
m
3
2
1






 
Пример 1.7.  Найти произведение матриц  АВ, если  
 
1
3
1
0



В
0
2
1
1 .
1
2
0
А
,    
 


1
0
1






2
0
1
0








Решение. 
11
12
13
14
 
.
х
х
х
2 3
3 4
2 4
с
с
с
с
АВ
А
В
С
с
с
с
с
21
22
23
24









 
Вычислим, например, один элемент – с21. Здесь i=2, это номер строки 
матрицы А; j=1, это номер столбца матрицы В. Для вычисления  с21 данные 
строка и столбец должны быть умножены покомпонентно и полученные 
произведения просуммированы (то есть должно быть выполнено скалярное 
умножение  соответствующих вектор-строки и вектор-столбца). Таким 
1




с
 . 
образом,  


3
2
0
1
0
1
0
1
21










2


Вообще же,   

0
1
3
1


1
2
0




AB
1
1
2
0
1
0
1













0
1
0
2


0
1
1
2
0
0
1
1
1
2
1
0
0
1
2
2
3
0
2
1
0
2
1
0











































0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
2
0
3
1
2
1
0
0
1
1







2
3
4
2



.
0
2
3
3






 
Рассмотрим далее основные свойства произведения матриц. 
1. Переместительный закон умножения, вообще говоря, не имеет места, 
т.е. 
m n
n p
n p
m n
A
B
B
A





, так как произведение справа может быть не определено 
(если  m p),  либо элементы произведений будут не равны. 
В некоторых случаях все же бывает, что АВ = ВА, тогда такие матрицы А 
и В называются коммутативными или перестановочными. 
2. Сочетательный закон относительно скалярного сомножителя 
 




(
).
m n
n p
m n
n p
m n
n p
A
B
A
B
A
B











 
 
3. Сочетательный закон умножения матриц. 
Рассмотрим произведение 
m n
n p
A
B

,  являющееся матрицей порядка  
m×p.  Эту матрицу можно умножить справа на матрицу Сpxl. Таким образом, 
определено произведение трех матриц в следующем порядке  (
)
m n
n p
A
B


 Сpxl, 
которое представляет собой матрицу порядка m×l. В связи с этим можно 
предположить, что 
(
)
m n
n p
A
B


 Сp×l=(
)
m n
A 
(Вnxp Сpxl), 
 
т.е. что справедлив сочетательный закон умножения матриц. Оказывается, 
что это на самом деле так, если сомножители не переставлять местами. 
4. Распределительный закон. 
 
m n
A  (Вnxp+ Сnxp)=
m n
A Вnxp +
m n
A Сnxp. 
 
В связи с тем, что переместительный закон не имеет места, при 
применении распределительного закона умножения нельзя менять порядок 
сомножителей. 
5. 
(
)T
T
T
m n
n p
n p
m n
A
B
B
A





, т.е. транспонирование произведения матриц 
эквивалентно перемножению транспонированных сомножителей в обратном 
порядке.