Расчет зеркально-линзовых лазерных резонаторов и оптических систем

П.А. Носов

Расчет зеркально-линзовых лазерных  

резонаторов и оптических систем

Учебно-методическое пособие 

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

УДК 535.8
ББК 32.86
        Н84

Издание доступно в электронном виде по адресу 
ebooks.bmstu.press/catalog/112/book1907.html

Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника»
Кафедра «Лазерные и оптико-электронные системы»

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Носов, П. А. 
Расчет зеркально-линзовых лазерных резонаторов и оптических систем : учебно-методическое пособие / П. А. Носов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2018.— 29, [11] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-5025-1

Рассмотрены методы расчета пространственных параметров 

гауссова пучка, формируемого устойчивыми зеркальными и зеркально-линзовыми резонаторами и оптической системой. Дан 
пример выполнения расчета. Приведены условие и варианты 
домашнего задания по дисциплине «Лазерная оптика», критерии 
его оценки и вопросы для защиты домашнего задания.
Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
12.04.02 «Оптотехника», 12.04.05 «Лазерная техника и лазерные 
технологии» и по специальности 12.05.01 «Электронные и оптико-электронные приборы и системы специального назначения» и изучающих дисциплину «Лазерная оптика». Также может 
быть использовано при выполнении курсовых и выпускных 
квалификационных работ.

УДК 535.8 
ББК 32.86

ISBN 978-5-7038-5025-1

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Н84

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель данного учебно-методического пособия — изучение в 
рамках дисциплины «Лазерная оптика» методов расчета параметров 
лазерного пучка, формируемого устойчивыми зеркальными и 
зеркально-линзовыми резонаторами и оптической системой, и 
формирование навыков применения данных методов на практике 
у студентов, обучающихся по направлениям подготовки 12.04.02 
«Оптотехника», 12.04.05 «Лазерная техника и лазерные технологии» 
и по специальности 12.05.01 «Электронные и оптико-электронные 
приборы и системы специального назначения».
Учебно-методическое пособие содержит необходимые сведения 
для расчета пространственных параметров лазерного пучка, формируемого устойчивыми зеркальными и зеркально-линзовыми 
резонаторами произвольной конфигурации, а также преобразованного идеальной оптической системой. В гл. 1 рассмотрены 
методы расчета резонаторов и оптических систем: матричный 
метод и метод обращения волнового фронта. Приведены выражения для расчета пространственных параметров пучка, преобразованного различными оптическими элементами и системами (граница раздела двух сред, плоскопараллельная пластина, сферическое 
зеркало, «тонкая» линза и линза реальной толщины, двухкомпонентная оптическая система), условие формирования оптической 
системой гауссова пучка с минимальной угловой расходимостью. 
Здесь также рассмотрен вопрос расчета преобразования лазерной 
оптической системой многомодового и реального лазерных пучков. 
Использование рассмотренных методов расчета в гл. 2 поясняет пример выполнения домашнего задания. Для подготовки 
и успешной защиты домашнего задания приведены соответствующие вопросы и задания.
После освоения материалов учебно-методического пособия 
студенты приобретут:

 • знание методов расчета пространственных параметров пучка, формируемого устойчивыми зеркальными и зеркально-линзовыми лазерными резонаторами произвольной конфигурации;

 • владение методами расчета пространственных параметров 
лазерного пучка, преобразованного различными оптическими 
элементами и системами;

 • знание метода расчета преобразования оптической системой 
многомодового лазерного пучка и реального лазерного пучка;

 • знание метода расчета лазерных оптических систем, формирующих пучок с минимальной угловой расходимостью;

 • практические навыки расчета пространственных параметров 
гауссова пучка, формируемого устойчивым зеркально-линзовым 
резонатором и оптической системой;

 • практические навыки расчета лазерной оптической системы, 
формирующей пучок с минимальной угловой расходимостью;

 • способность анализировать профессиональную информацию, выделять в ней главное, структурировать, оформлять и представлять результаты расчетов и исследований в виде отчета с об- 
основанными выводами и рекомендациями.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

λ  
— длина волны излучения

zк  
— конфокальный параметр пучка

П 
— перетяжка пучка

hп  
— радиус перетяжки пучка

zп  
— положение перетяжки пучка относительно передней фокаль
ной плоскости оптического элемента (системы)

sп  
— положение перетяжки пучка относительно преломляющей

поверхности или передней главной точки оптического элемента (системы)

2θ 
— угловая расходимость гауссова пучка

kmn  
— коэффициент моды

m n
,  
— поперечные индексы, характеризующие поперечные электро
магнитные колебания

h  
— радиус пучка

RΦ  
— радиус кривизны волнового фронта пучка

z  
— продольная координата

q  
— комплексный параметр лазерного пучка

M 2  
— параметр качества (коэффициент распространения) пучка

Hп  
— радиус перетяжки реального лазерного пучка

Zк  
— конфокальный параметр реального лазерного пучка

2Θ  
— угловая расходимость реального лазерного пучка

R  
— радиус кривизны зеркала резонатора

αг  
— коэффициент продольного увеличения преобразующего

оптического элемента (системы)

f , 
′f  — переднее и заднее фокусные расстояния оптического эле
мента (системы)

F,  
′
F  
— передняя и задняя фокальные точки оптического эле
мента (системы)
SF, 
′ ′
SF  
— передний и задний фокальные отрезки оптического эле
мента (системы)

H, 
′
H  
— передняя и задняя главные точки оптического элемента

(системы)

n  
— показатель преломления среды

N  
— относительный показатель преломления двух сред

∆  
— оптический интервал — расстояние между задним фо
кусом предыдущего и передним фокусом последующего 
компонентов оптической системы
A, B, C, D — коэффициенты матрицы M резонатора (оптической системы)
ОП1, ОП2 — входная и выходная опорные плоскости оптического эле
мента (системы)

i  
— мнимая единица

ВВЕДЕНИЕ

Для реализации лазерных технологий используют твердотельные, газовые, полупроводниковые и другие типы лазеров. Важнейшей и неотъемлемой частью лазера является оптический резонатор. Лазерное излучение, сформированное резонатором, далее 
преобразуется оптической системой. Таким образом обеспечиваются требуемые характеристики лазерного излучения, необходимые 
для решения практической задачи.
В простейшем случае лазерный резонатор представляет собой 
оптическую систему из двух зеркал, между которыми расположен 
активный элемент. В первом приближении анализ таких резонаторов проводят в рамках модели «пустого» резонатора. Однако под 
действием излучения источника оптической накачки в твердотельных активных элементах возникает неоднородное распределение 
температуры. Поскольку показатель преломления среды зависит 
от температуры, изначально оптически однородный активный 
элемент перестает быть таковым, так как в нем возникает тепловая 
линза (рис. В1). Оптические характеристики тепловой линзы (фокусное расстояние и положение главных точек) определяются 
мощностью накачки, длиной и термооптическими характеристиками активного элемента. Поэтому резонаторы лазеров в общем 
случае являются зеркально-линзовыми.
Для расчета пространственных параметров формируемого резонатором и оптической системой лазерного пучка используют 
геометрический, матричный и другие методы. Матричный метод 
расчета резонаторов и оптических систем весьма эффективен и 
широко применяется, хотя и имеет свои ограничения. Одним из 
них является наличие в оптической системе диафрагм или оптических элементов с аберрациями, т. е. элементов, изменение фазы 
которых не описывается гауссовой экспонентой. Применение 
матричного метода для многоэлементных оптических систем приводит к громоздким выражениям, что усложняет решение задач 
при разработке лазерных оптико-электронных приборов. Поэтому 

матричный метод используется в тех случаях, когда требуется лишь 
получить конечный результат, не проводя детальные исследования 
свойств резонатора и оптической системы или их синтез. 
Пространственные параметры пучка, формируемого различными схемами (двухзеркальный, зеркально-линзовый и др.) устойчивых резонаторов, кроме матричного метода, могут быть рассчитаны 
методом обращения волнового фронта гауссова пучка. Данный 
метод предложил и разработал д-р техн. наук профессор кафедры 
лазерных и оптико-электронных систем МГТУ им. Н.Э. Баумана 
И.И. Пахомов.

Рис. В1. Резонатор твердотельного лазера с линзоподобным активным элементом (а) и эквивалентный резонатор с тонкой линзой (б) (вывод излучения 
из резонатора осуществляется через правое полупрозрачное зеркало):

З1, З2 — зеркала резонатора; R1,  R2  — радиусы кривизны зеркал; l1,  l2  — отрезки, 
определяющие положение активного элемента относительно зеркал резонатора; lа э.  — 
длина активного элемента; nа э.  — показатель преломления активного элемента в «холодном» состоянии; sH,  ′ ′
sH  — расстояние от соответствующего торца активного элемента до главных точек тепловой линзы H  и 
′
H ;  F,  
′
F  — передний и задний фокусы 

тепловой линзы; f ,  
′f  — переднее и заднее фокусные расстояния тепловой линзы

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Матричный метод

Каждому оптическому элементу в соответствии с его функци
ями (распространение в свободном пространстве, преломление, 
отражение и др.) можно поставить в соответствие матрицу типа 

M
A
B

C
D
= 




.  Если имеется сложная оптическая система, то ее 

действие в целом характеризуется также матрицей типа M
A
B
C
D
= 




, 

полученной путем перемножения всех матриц, характеризующих 
каждый оптический элемент в отдельности. Матрицы перемножаются в соответствии с известными правилами математики. Следует помнить, что перемножение осуществляется от выхода к входу 
оптической системы, т. е. матрица последнего k-го оптического 
элемента умножается на матрицу, соответствующую предыдущему 
элементу, и т. д.: M
M M
M
M
k
k
k
=
−
−
1
2
1
…
. Определитель результи
рующей матрицы всегда должен быть равен единице. Это свойство 
используется для проверки расчета матрицы оптической системы.

В табл. П1 приложения приведены матрицы, соответствующие 

некоторым часто используемым оптическим элементам и системам.

Для характеристики гауссовых пучков Когельник ввел так на
зываемый комплексный параметр кривизны 1 q z
( ) ,
(
)  который 

определяется радиусом кривизны волнового фронта RΦ  и размером 

пучка h  в сечении z, 
1
1

2
q z
R
z
i

h
z
( )
=
( )
+
( )
Φ

λ

π
, где i =
−1  — мни
мая единица; λ  — длина волны лазерного излучения. Также применяют альтернативную запись для комплексного параметра  
кривизны гауссова пучка: q z
z
iz
( ) =
−
к,  где z  — расстояние от 

перетяжки до сечения z  с учетом знака (если перетяжка слева — 

положительный, справа — отрицательный); zк — конфокальный 
параметр пучка.
Определив комплексный параметр гауссова пучка во входной 
опорной плоскости оптической системы и матрицу оптической 

системы M
A
B
C
D

о.с
о.с
о.с

о.с
о.с
= 




, можно рассчитать комплексный па
раметр кривизны гауссова пучка на выходе оптической системы 

с помощью закона (правила) ABCD : ′ =
+
+
q
A
q
B

C
q
D

о.с
о.с

о.с
о.с
.

Для расчета пространственных параметров формируемого резонатором пучка необходимо определить матрицу полного обхода 

резонатора: M
A
B
C
D
рез
рез
рез

рез
рез
= 






.  Поскольку матрица резонатора 

является матрицей полного обхода, входное и выходное опорные 
сечения совпадают. Далее по коэффициентам матрицы резонатора 
A
B
C
рез
рез
рез
,
,
 и Dрез  определяют тип резонатора (устойчивый или 
неустойчивый) и рассчитывают пространственные параметры 
формируемого пучка. Соответствующие формулы приведены 
в табл. 1.1.

При анализе лазерных резонаторов следует помнить правило 
знаков для радиусов кривизны сферических зеркал: радиусы кривизны вогнутых зеркал резонатора считаются положительными, 
выпуклых — отрицательными.

Таблица 1.1

Формулы для расчета параметров пучка, 
формируемого устойчивыми резонаторами

Свойство резонатора
Формулы для расчета

1. Условие устойчивости

− <
<
1
1
Iрез
,  где I

A
D

рез
рез
рез
=
+

2

 — инвариант 

резонатора

2. Комплексный параметр 
кривизны пучка в опорном сечении, для которого 
рассчитана матрица полного обхода резонатора

q
A
D

C
i
I

C
=
−
+
−
рез
рез

рез

рез

рез
2

1
2
; 

1

2

1
2

q

D
A

B
i
I

B
=
−
+
−
рез
рез

рез

рез

рез