Прохождение излучения через границу раздела однородных изотропных сред

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

И.И. Пахомов, А.М. Хорохоров

ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА
ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ
СРЕД

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
по курсу «Основы оптики»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 535.(075.8)
ББК 22.34

П21

П21

Рецензенты: Б.И. Голубь, Л.Н. Тимашова

Пахомов И.И., Хорохоров А.М.

Прохождение излучения через границу раздела однород
ных изотропных сред: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2006. – 42 с.: ил.

Рассмотрены явления, возникающие при падении электро
магнитной волны на границу раздела однородных изотропных
сред. Проанализированы два наиболее важных с практической
позиции случая границы раздела: диэлектрик – диэлектрик и
диэлектрик – металл. Приведен вывод уравнений Френеля, амплитудных и энергетических коэффициентов отражения и пропускания. Особое внимание уделено поляризационным преобразованиям волны при отражении от границы раздела и прохождении через нее.

Для студентов 3-го курса, обучающихся по направлению

«Оптотехника».

Ил. 14. Библиогр. 6 назв.

УДК 535(075.8)
ББК 22.34

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

1. ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД

1.1. Уравнения Френеля

Рассмотрим поведение плоской электромагнитной волны, падающей на границу раздела двух сред со значениями диалектрической
проницаемости ε1,, ε2, магнитной проницаемости μ1, μ2 по обе стороны от границы раздела.
Если на границу раздела двух однородных сред, обладающих
разными оптическими свойствами, падает плоская волна, она разделяется на две волны: проходящую во вторую среду и отраженную.
Существование этих волн вытекает из граничных условий. Можно
показать, что они удовлетворяются при наличии как проходящей,
так и отраженной волн. Предположим, что эти волны также являются плоскими, и выведем выражения для их амплитуд и направлений
распространения.
Обозначим величины, относящиеся к падающей волне, индексом (i), к отраженной и прошедшей — индексами (r) и (t) соответственно.
Уравнения падающей, прошедшей и отраженной волн запишем
в комплексной форме:

⃗E(i) = ⃗E(i)
0
∙ exp

i(ωit − ωi
⃗r⃗S(i)

V1
+ δi)

;

⃗E(r) = ⃗E(r)
0
∙ exp

i(ωrt − ωr
⃗r⃗S(r)

V1
+ δr)

;

⃗E(t) = ⃗E(t)
0
∙ exp

i(ωtt − ωt
⃗r⃗S(t)

V2
+ δt)

,

(1..1)

3

где ⃗E(i)
0 , ⃗E(r)
0 , ⃗E(t)
0
— амплитуды колебаний электрического вектора в волнах; ωi, ωr, ωt — частоты колебаний волн; δ(i), δ(r), δ(t) —
начальные фазы волн; ⃗S(i), ⃗S(r), ⃗S(t) — единичные векторы, характеризующие направления распространения; V1, V2 — скорости распространения волны в средах 1 и 2,

V1 =
c
√ε1μ1
; V2 =
c
√ε2μ2
.

Введем комплексные амплитуды волн

⃗A = ⃗E(i)
0 eiδi;
⃗T = ⃗E(t)
0 eiδt;
⃗R = ⃗E(r)
0 eiδr
(1..2)

и обозначим переменные части аргументов волновой функции

τi = ωit − ωi
⃗r⃗S(i)

V1
;

τr = ωrt − ωr
⃗r⃗S(r)

V1
;

τt = ωtt − ωt
⃗r⃗S(t)

V2
.

(1..3)

Тогда уравнения волн примут вид

⃗E(i) = ⃗Aeiτi;
⃗E(r) = ⃗Reiτr;
⃗E(t) = ⃗T iτt.
(1..4)

Воспользуемся граничным условием для напряженностей электрического поля
[ ⃗E(i) + ⃗E(r)]τ = [ ⃗E(t)]τ,
(1..5)

которое говорит о том, что тангенциальные составляющие полей в
средах 1 и 2 равны. Тогда с учетом (1.4)

[ ⃗Aeiτi + ⃗Reiτr]τ = [⃗Teiτt]τ.
(1..6)

Равенство (1.6) должно выполняться для всех значений τi, τr,
τt, т. е. для любого момента времени t и любой точки с радиусомвектором ⃗r на границах раздела. Покажем, что для обеспечения этого равенства необходимо, чтобы соблюдалось условие τi = τr = τt.

4

Действительно, левую часть выражения (1.6) можно представить в виде

z = ( ⃗A)τeiτi + (⃗R)reiτr = aei(τi+δi) + bei(τr+δr),
(1..7)

где a = ( ⃗E(i)
0 )τ; b = ( ⃗E(r)
0 )τ — тангенциальные составляющие амплитуд колебаний падающей и отраженной волн.
Покажем, что модуль m комплексного числа (1.7) при τi ̸= τr
будет зависеть от t и ⃗r. Это противоречит условию (1.6), поскольку
правая часть в (1.6) представляет собой комплексное число с постоянным модулем:

m2 = zz∗ = a2 + b2 + 2ab cos[(τi − τr) + δi − δr].

Для того чтобы обеспечить независимость m от t и r, необходимо положить τi = τr = τ, тогда из (1.6) получим

( ⃗A + ⃗R)τe−iτi = (⃗T)τe−iτt,
(1..8)

откуда следует, что τi = τt.
Таким образом, мы доказали, что переменные части аргументов
волновой функции волн должны быть равными, т. е.

τi = τr = τt = τ,
(1..9)

и, следовательно, граничное условие (1.6) будет связывать лишь
комплексные амплитуды волн:

(⃗А + ⃗R)τ = (⃗T)τ.
(1..10)

Это очень важный вывод, который позволяет нам значительно упростить решение поставленной задачи.
Поместим начало координат в плоскости раздела сред. Поскольку выражение (1.9) справедливо для всех ⃗r и t, рассмотрим точку
r = 0. С учетом (1.3) и (1.9) получим ωit = ωrt = ωtt = ω, откуда

ωi = ωr = ωt = ω,
(1..11)

5