Прохождение излучения через границу раздела однородных изотропных сред

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

И.И. Пахомов, А.М. Хорохоров

ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА
ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ
СРЕД

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
по курсу «Основы оптики»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 535.(075.8)
ББК 22.34

П21

П21

Рецензенты: Б.И. Голубь, Л.Н. Тимашова

Пахомов И.И., Хорохоров А.М.

Прохождение излучения через границу раздела однород
ных изотропных сред: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2006. – 42 с.: ил.

Рассмотрены явления, возникающие при падении электро
магнитной волны на границу раздела однородных изотропных
сред. Проанализированы два наиболее важных с практической
позиции случая границы раздела: диэлектрик – диэлектрик и
диэлектрик – металл. Приведен вывод уравнений Френеля, амплитудных и энергетических коэффициентов отражения и пропускания. Особое внимание уделено поляризационным преобразованиям волны при отражении от границы раздела и прохождении через нее.

Для студентов 3-го курса, обучающихся по направлению

«Оптотехника».

Ил. 14. Библиогр. 6 назв.

УДК 535(075.8)
ББК 22.34

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

1. ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД

1.1. Уравнения Френеля

Рассмотрим поведение плоской электромагнитной волны, падающей на границу раздела двух сред со значениями диалектрической
проницаемости ε1,, ε2, магнитной проницаемости μ1, μ2 по обе стороны от границы раздела.
Если на границу раздела двух однородных сред, обладающих
разными оптическими свойствами, падает плоская волна, она разделяется на две волны: проходящую во вторую среду и отраженную.
Существование этих волн вытекает из граничных условий. Можно
показать, что они удовлетворяются при наличии как проходящей,
так и отраженной волн. Предположим, что эти волны также являются плоскими, и выведем выражения для их амплитуд и направлений
распространения.
Обозначим величины, относящиеся к падающей волне, индексом (i), к отраженной и прошедшей — индексами (r) и (t) соответственно.
Уравнения падающей, прошедшей и отраженной волн запишем
в комплексной форме:

⃗E(i) = ⃗E(i)
0
∙ exp

i(ωit − ωi
⃗r⃗S(i)

V1
+ δi)

;

⃗E(r) = ⃗E(r)
0
∙ exp

i(ωrt − ωr
⃗r⃗S(r)

V1
+ δr)

;

⃗E(t) = ⃗E(t)
0
∙ exp

i(ωtt − ωt
⃗r⃗S(t)

V2
+ δt)

,

(1..1)

3

где ⃗E(i)
0 , ⃗E(r)
0 , ⃗E(t)
0
— амплитуды колебаний электрического вектора в волнах; ωi, ωr, ωt — частоты колебаний волн; δ(i), δ(r), δ(t) —
начальные фазы волн; ⃗S(i), ⃗S(r), ⃗S(t) — единичные векторы, характеризующие направления распространения; V1, V2 — скорости распространения волны в средах 1 и 2,

V1 =
c
√ε1μ1
; V2 =
c
√ε2μ2
.

Введем комплексные амплитуды волн

⃗A = ⃗E(i)
0 eiδi;
⃗T = ⃗E(t)
0 eiδt;
⃗R = ⃗E(r)
0 eiδr
(1..2)

и обозначим переменные части аргументов волновой функции

τi = ωit − ωi
⃗r⃗S(i)

V1
;

τr = ωrt − ωr
⃗r⃗S(r)

V1
;

τt = ωtt − ωt
⃗r⃗S(t)

V2
.

(1..3)

Тогда уравнения волн примут вид

⃗E(i) = ⃗Aeiτi;
⃗E(r) = ⃗Reiτr;
⃗E(t) = ⃗T iτt.
(1..4)

Воспользуемся граничным условием для напряженностей электрического поля
[ ⃗E(i) + ⃗E(r)]τ = [ ⃗E(t)]τ,
(1..5)

которое говорит о том, что тангенциальные составляющие полей в
средах 1 и 2 равны. Тогда с учетом (1.4)

[ ⃗Aeiτi + ⃗Reiτr]τ = [⃗Teiτt]τ.
(1..6)

Равенство (1.6) должно выполняться для всех значений τi, τr,
τt, т. е. для любого момента времени t и любой точки с радиусомвектором ⃗r на границах раздела. Покажем, что для обеспечения этого равенства необходимо, чтобы соблюдалось условие τi = τr = τt.

4

Действительно, левую часть выражения (1.6) можно представить в виде

z = ( ⃗A)τeiτi + (⃗R)reiτr = aei(τi+δi) + bei(τr+δr),
(1..7)

где a = ( ⃗E(i)
0 )τ; b = ( ⃗E(r)
0 )τ — тангенциальные составляющие амплитуд колебаний падающей и отраженной волн.
Покажем, что модуль m комплексного числа (1.7) при τi ̸= τr
будет зависеть от t и ⃗r. Это противоречит условию (1.6), поскольку
правая часть в (1.6) представляет собой комплексное число с постоянным модулем:

m2 = zz∗ = a2 + b2 + 2ab cos[(τi − τr) + δi − δr].

Для того чтобы обеспечить независимость m от t и r, необходимо положить τi = τr = τ, тогда из (1.6) получим

( ⃗A + ⃗R)τe−iτi = (⃗T)τe−iτt,
(1..8)

откуда следует, что τi = τt.
Таким образом, мы доказали, что переменные части аргументов
волновой функции волн должны быть равными, т. е.

τi = τr = τt = τ,
(1..9)

и, следовательно, граничное условие (1.6) будет связывать лишь
комплексные амплитуды волн:

(⃗А + ⃗R)τ = (⃗T)τ.
(1..10)

Это очень важный вывод, который позволяет нам значительно упростить решение поставленной задачи.
Поместим начало координат в плоскости раздела сред. Поскольку выражение (1.9) справедливо для всех ⃗r и t, рассмотрим точку
r = 0. С учетом (1.3) и (1.9) получим ωit = ωrt = ωtt = ω, откуда

ωi = ωr = ωt = ω,
(1..11)

5

т. е. частота электромагнитной волны при отражении и преломлении не изменяется. Рассмотрим теперь условие (1.9) в некоторый
момент времени t0. С учетом (1.3) и (1.11) оно имеет вид

⃗r⃗S(i)

V1
= ⃗r⃗S(r)

V1
= ⃗r⃗S(t)

V2
.
(1..12)

Выберем в плоскости P (рис. 1) начало координат (точка O) такое, что для радиуса-вектора ⃗r некоторой точки О′ плоскости выполняется условие ⃗r⃗S(i) = 0, т. е. ⃗r⊥⃗S(i) , тогда из (1.12) получим
⃗r⃗S(r) = ⃗r⃗S(t) = 0. Cледовательно, все три вектора (⃗S(i), ⃗S(r), ⃗S(t))
перпендикулярны одному радиусу-вектору ⃗r и находятся в одной
плоскости Q, нормальной к P.

Рис. 1. Взаимное расположение плоской границы раздела сред (Р), плоскости падения (Q) и единичных векторов падающей ⃗S(i) , отраженной ⃗S(r)

и прошедшей⃗S(t) волн

Направления единичных векторов ⃗S(i), ⃗S(r), ⃗S(t) будем называть
лучами. Введем систему координат xyz, в которой ось ox совпадает
с линией пересечения плоскостей Q и Р, а оси oz и oy находятся в
плоскостях Q и Р соответственно (ось oy направлена по радиусувектору⃗r, а ось oz совпадает с направлением нормали ⃗n к плоскости
P. Плоскость Q (xoz) будем называть плоскостью падения. Совместим теперь плоскость падения xoz с плоскостью чертежа (рис. 2).

6

Рис. 2. К выводу законов отражения, преломления и формул Френеля

Проекции векторов ⃗S(i), ⃗S(r), ⃗S(t) на выбранные оси равны:

⃗S(i) {sin θi, 0, cos θi} ;

⃗S(r) {sin θr, 0, cos θr} ;

⃗S(t) {sin θt, 0, cos θt} .

(1..13)

В связи с тем, что (1.12) справедливо для всех точек плоскости
P, выберем в ней точку O′, для которой ⃗r = x⃗i, тогда из (1.12) получим
x sin θi
V1
= x sin θr
V1
,

т. е. sin θi = sin (π − θ′
r) = sin θ′
r, откуда θ′
r = θi. Последнее равен
7

ство известно как закон отражения: угол падения равен углу отражения.
Из второго равенства (1.12) получим соотношение

x sin θi
V1
= x sin θt
V2
,

из которого вытекает известный закон преломления. Действительно,
sin θi
sin θt
= V1
V2
= cV1
cV2
=

√ε2μ2
√ε1μ1
= n2
n1
.
(1..14)

Из закона преломления следует, что если n2 > n1, то θt < θi, а если
n2 < n1, то θt > θi.
Во втором случае может наблюдаться так называемое полное
внутреннее отражение, при котором преломленный луч движется
вдоль границы раздела θt = π/2. Соответствующий этому случаю
угол θi = θпр называется предельным углом полного внутреннего
отражения, причем
sin θпр = n2
n1
.
(1..15)

При θi > θпр уравнение (1.14) не имеет решения в области действительных значений углов θt. Перейдем к нахождению амплитуд
колебаний волн.
Рассмотрим некоторую плоскость I, перпендикулярную падающему лучу, т. е. представляющую собой волновой фронт падающей
волны. Очевидно, что векторы ⃗E(i) и ⃗H(i) падающей волны лежат
в этой плоскости. Введем в эту плоскость систему координат XOY
таким образом, чтобы ось OX находилась в плоскости падения, а
ось OY была параллельна оси Oy (см. рис. 2). Пусть падающая волна линейно-поляризована и вектор ⃗E(i) составляет азимутальный
угол αi с осью OX. Вектор ⃗H(i) перпендикулярен вектору ⃗E(i) и
выражается через вектор ⃗E(i) следующим образом [1, 2]:

⃗H(i) =

ε1/μ1⃗S(i) × ⃗E(i).
(1..16)

Разложим вектор ⃗E(i) на две составляющие: E(i)
∥ , находящуюся

в плоскости падения, и E(i)
⊥ , ортогональную ей (см. рис. 2):

E(i)
∥
= E(i) cos αi;
E(i)
⊥ = E(i) sin αi;
(1..17)

8

аналогично поступим и с вектором ˉH(i):

H(i)
∥
= H(i) sin αi;
H(i)
⊥ = H(i) cos αi.
(1..18)

Обозначим на чертеже также параллельные и перпендикулярные компоненты векторов отраженной и прошедшей волн (E(r)
∥ ,

E(r)
⊥ , E(t)
∥ , E(t)
⊥
). Найдем амплитуды отраженной и прошедшей

волн, используя граничные условия для векторов ⃗E и ⃗H. Эти условия в проекциях на оси ox и oy выглядят так:

E(i)
x + E(r)
x
= E(t)
x ;

E(i)
y
+ E(r)
y
= E(t)
y ;

H(i)
x + H(r)
x
= H(t)
x ;

H(i)
y
+ H(r)
y
= H(t)
y .

(1..19)

Для того чтобы решить систему уравнений (1.19), воспользуемся соотношением (1.16), которое для всех рассматриваемых волн
можно записать в общем виде

⃗H(j) =

εj/μj ⃗S(j) × ⃗E(j),
(1..20)

где j = i, r, t.
В выражении (1.20) εi = εr = ε1, μi = μr = μ1, εt = ε2,
μt = μ2, ⃗S(j) — единичные векторы волн, определяемые соотношением (1.13),
⃗S(j) {sin θj, 0, cos θj} ,
(1..21)

причем
sin θr = sin θi;
cos θr = − cos θi.
(1..22)

Амплитуды ⃗E(j) принимают конкретные значения: при j = i ⃗E(i) =
= ⃗Aeiτi; при j = r ⃗E(r) = ⃗Reiτr; при j = t
⃗E(t) = ⃗Teiτt.
Запишем проекции векторов всех волн через перпендикулярные
и параллельные составляющие (см. рис. 2 ):

E(j)
x
= E(j)
∥
cos θj;
E(j)
y
= E(j)
⊥ ;
E(j)
z
= −E(j)
∥
sin θj.
(1..23)

9

Из (1.20) для векторов ⃗H всех волн найдем

⃗H(j) =

εj
μj

⃗i
⃗j
⃗k
sin θi
0
cos θj
E(j)
|| cos θj
E(j)
⊥
−E(j)
|| sin θj

.
(1..24)

Подставим теперь компоненты векторов ⃗E и ⃗H в (1.19). С
учетом соотношений (1.20)—(1.24) и условия на границе раздела
τi = τr = τt получим окончательно

















A∥ cos θi − R∥ cos θi = T∥ cos θt;

A⊥ + R⊥ = T⊥;

−A⊥

√ε1 cos θi − R⊥

√ε1 cos θi = −T⊥

√ε2 cos θt;

√ε1A∥ + √ε1R∥ = √ε2T∥.

(1..25)

Система уравнений (1.25) записана для случая μ1 = μ2 = 1 и
легко решается относительно амплитуд ⃗R и ⃗T:

T∥ =
2n1 cos θi
n2 cos θi + n1 cos θt
A∥ =
2 sin θt cos θi
sin(θt + θi) cos(θi − θt)A∥;

T⊥ =
2n1 cos θi
n1 cos θi + n2 cos θt
A⊥ = 2 sin θt cos θi
sin(θi + θt) A⊥;

R∥ = n1 cos θi − n2 cos θt
n2 cos θi + n1 cos θt
A∥ = tg(θi − θt)
tg(θi + θt)A∥;

R⊥ = n1 cos θi − n2 cos θt
n1 cos θi + n2 cos θt
A⊥ = −sin(θi − θt)
sin(θi + θt)A⊥.

(1..26)

Здесь n1 = √ε1; n2 = √ε2. Уравнения (1.26) — это уравнения Френеля.

Коэффициенты t∥ = T∥
A∥
; t⊥ = T⊥
A⊥
; r∥ = R∥
A∥
; r⊥ = R⊥
A⊥
на
зываются амплитудными коэффициентами отражения и пропускания соответственно. Так как углы θi и θt вещественны, амплитудные коэффициенты также вещественны, и, следовательно, фаза каждой компоненты отраженной и прошедшей волн равна фазе соответствующей компоненты падающей волны либо отличаются от нее
на π радиан.

10