Основы теории цепей. Модули 5-7

А.С. Завгородний

Основы теории цепей

Модули 5–7

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5486-0 

УДК 621.3.01 
ББК 32.84 
 
З-13 

Издание доступно в электронном виде по адресу

https://bmstu.press/catalog/item/6909/

Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника»
Кафедра «Радиоэлектронные системы и устройства» 

Рекомендовано Научно-методическим советом  

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 

 
Завгородний, А. С. 

З-13  
Основы теории цепей. Модули 5–7 : учебно-методическое пособие / 

А. С. Завгородний. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2020. — 85, [3] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-5486-0 

Издание содержит материалы, необходимые для выполнения и оформления 

типовых домашних заданий по модулям 5–7 курса «Основы теории цепей» (второй 
семестр обучения). 

Рассмотрено применение методов классического и операторного анализа пе
реходных процессов. Показаны мгновенные распределения токов и напряжений 
по длине линии с распределенными параметрами в различных режимах ее работы. 

Для студентов, обучающихся по специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные 

системы и комплексы» и изучающих курс «Основы теории цепей».

УДК 621.3.01 
ББК 32.84 

Предисловие

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студен
тов, обучающихся по специальности «Радиоэлектронные системы и комплексы» и изучающих курс «Основы теории цепей», являющийся одним из 
базовых в подготовке радиоинженеров. 

основных представлений об электро- и радиотехнике в целом, освоении ими 
методов анализа и синтеза цепей, наработке практических навыков аналитического, численного и экспериментального исследования характеристик 
цепей и происходящих в них процессов, приобретении системного взгляда 
на вопросы анализа цепей. 

Важной частью изучения курса «Основы теории цепей» является само
стоятельное решение студентами типовых домашних заданий, предназначенных для того, чтобы закрепить полученные на лекционных и семинарских занятиях знания, а также развить практические навыки их применения. 
Типовые домашние задания охватывают все основные темы курса.

В настоящем пособии приведены примеры выполнения типовых до
машних заданий по курсу «Основы теории цепей» (второй семестр обучения), а также рекомендации по их оформлению и подготовке к защите.

В первой главе «Электрические фильтры» (модуль 5) приведены мате
матический аппарат анализа четырехполюсников, способы расчета входных, 
выходных и частотных характеристик звеньев различных типов, рассмотрены вопросы расчета параметров матриц четырехполюсников.

Во второй главе «Переходные процессы в RL- и RC-цепях» (модуль 6) 

даны алгоритмы решения задач классическим и операторным методами. 
Проведен анализ переходного процесса в цепи с одним и с двумя реактивными элементами.

В третьей главе «Анализ цепей с распределенными параметрами» (мо
дуль 7) приведены основные соотношения между токами и напряжениями 
в сечениях линии с распределенными параметрами. Рассмотрены различные 
случаи нагрузки линии: бесконечно большая нагрузка (холостой ход), бесконечно малая нагрузка (короткое замыкание), согласованная нагрузка. Даны 
мгновенные распределения токов и напряжений по длине линии в различных режимах работы.

Методы анализа и синтеза электрических цепей, которым посвящен 

курс «Основы теории цепей», — мощный универсальный инструмент, чрезвычайно востребованный инженерами-электрониками при решении практических задач. На материале этого курса строится дальнейшее изучение 

Цель преподавания курса заключается в формировании у обучающихся 

учебных дисциплин, посвященных устройствам приема, формирования и 
передачи сигналов, источникам вторичного питания и др. 

Своевременное и грамотное выполнение типовых домашних заданий по 

курсу «Основы теории цепей» способствует формированию у обучающихся 
профессиональных компетенций и развивает, в частности, способности:

– владения методами решения задач анализа и расчета характеристик 

электрических цепей;

– решения стандартных профессиональных задач на основе информа
ционной и библиографической культуры с применением информационно-коммуникационных технологий и с учетом основных требований информационной безопасности;

– выявления сущности задач, возникающих в ходе профессиональной 

деятельности, привлечения для их решения соответствующего физико- 
математического аппарата.

Настоящее учебно-методическое пособие поможет студенту выбрать 

методы и способы самостоятельной проверки вычислений при выполнении 
домашних заданий.

При работе с материалом пособия рекомендуется использовать приве
денный в конце издания список литературы, а также материалы лекционных 
и семинарских занятий.

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ  

(модуль 5)

Типовое домашнее задание по модулю 5 посвящено расчету характе
ристик электрического фильтра, в качестве которого выступает четырехполюсник.

Задание. Определить первичные и вторичные параметры четырехполюс
ника, схема которого приведена на рис. 1.1. Сделать выводы о полосе пропускания цепи, отнести цепь к какому-либо типу фильтров. 

Исходные данные: R1 = 41 кОм, R2 = 

= 82 кОм, R3 = 123 кОм, R4 = 164 кОм,  
XL = 205 кОм, XC = 123 кОм. Импедансы 
для реактивных элементов указаны на частоте f = 500 кГц. 

Решение. Найдем номинальные значе
ния параметров реактивных элементов по 
значениям модулей их импедансов на частоте f = 500 МГц по условию задачи. 

Импеданс 
катушки 
индуктивности 

Z
j L
j
f L
L =
=
⋅
⋅
ω
π
2
 (где j — мнимая еди
ница; ω — циклическая частота), его модуль X
L
f L
L =
=
⋅
ω
π
2
, следователь
но, индуктивность L
X

f

L
=
=
⋅
=
2

205

3 14 106
π

кОм

рад/с
,
 65 мГн. Аналогично импеданс 

конденсатора Z
j C
j
f C

C =
=
⋅
⋅

1
1

2
ω
π
,  его модуль XC =
=
1
ωC

1

2πf C
⋅
, емкость 

С
X
f
C

=
⋅
=
⋅
⋅
=
1
2

1

123
3 14 106
π
кОм
рад/с
,
 2,59 пФ.

Целесообразно рассчитать эквива
лентные сопротивления Z1 и Z2  ветвей 
четырехполюсника (рис. 1.2) и преобразовать его схему к более простому виду. 

Отрезок цепи, эквивалентное сопро
тивление которого обозначено как Z1,  
представляет собой параллельное соединение двух ветвей, в одной из которых 
включен резистор с сопротивлением R1  

Рис. 1.1. Электрическая схема 

четырехполюсника

Рис. 1.2. Объединение импедансов 

ветвей

(далее в тексте символом Rn обозначены и элементы электрической схемы, 
и их номиналы), а во второй последовательно соединены резистор R2  и конденсатор С. Это означает, что эквивалентное сопротивление Z1 на некоторой произвольной частоте f  следует рассчитать как 

Z
R
R
Z
R R
j
f C

R
R
j
f C

j
f CR

C
1
1
2

1
2

1
2

1

1
2

1
2

2

=
+
=
+
⋅
⋅
[
]

+
+
⋅
⋅
=

=
⋅
⋅

 (
)
)
/(

/

π
π

π
R
R

j
f C R
R

j
f

j
f

2
1

1
2

3

6
2
1

41 10
0 055

1
2 10

+

⋅
⋅
+
+
=
⋅
+
⋅
⋅

+
⋅
⋅
⋅
−
π
(
)

,
.

Важно обратить внимание на то, что частота f  умышленно оставлена 

в качестве переменной. Таким образом, эквивалентное сопротивление Z1 
(как и эквивалентное сопротивление другого отрезка цепи — Z2) представляет собой комплексную функцию частоты. Такой подход будет полезен при 
дальнейшем исследовании частотных характеристик четырехполюсника.

Также необходимо проследить изменение модуля эквивалентного со
противления Z1 в зависимости от частоты сигнала. При протекании через 
этот отрезок постоянного тока, т. е. при f  = 0, эквивалентное сопротивление Z1 отрезка равно сопротивлению R1  резистора. Это довольно просто 
объясняется тем, что конденсатор имеет бесконечно большое сопротивление на нулевой частоте. По этой причине ток в ветви R
C
2 −
 не течет, следо
вательно, весь ток протекает через резистор R1. С увеличением частоты сигнала модуль импеданса конденсатора уменьшается, через ветвь R
C
2 −
 

начинает протекать все больший ток. Это означает уменьшение модуля эквивалентного сопротивления Z1 с увеличением частоты до тех пор, пока 
импеданс конденсатора ZC  не окажется пренебрежимо малым по сравнению с сопротивлением резистора R2,  и этот отрезок цепи можно будет рассматривать как параллельное сопротивление двух резисторов. Действительно, предел функции Z
f
1( )  при стремлении переменной f  к бесконечности

lim
( )
lim
(
)
lim

f
f
f
Z
f
j
f CR R
R

j
f C R
R

f

→∞
→∞
→∞
=
⋅
⋅
+

⋅
⋅
+
+
=
1

1
2
1

1
2

2

2
1

2
π

π

π ⋅
⋅
+
=
+

CR R

f C R
R

R R

R
R

1
2

1
2

1
2

1
2
2π
(
)
.

Эта формула является расчетной для определения сопротивления отрезка 
с параллельным соединением резисторов R1  и R2.

Отрезок цепи с эквивалентным сопротивлением Z2  также представляет 

собой параллельное соединение двух ветвей. Одна из них содержит только 
резистор R3, а во второй последовательно соединены резистор R4  и катушка индуктивности L. По аналогии с выражением для Z1 запишем 

Z
R
R
Z
R
R
j
f
L

R
R
j
f
L

R R
j
f
LR

R

L
2
3
4

3
4

3
4

3
4
3

2

2

2

=
+
=
+
⋅
⋅
(
)

+
+
⋅
⋅
=

=
+
⋅
⋅

 (
)
π

π

π

3
4

10
4

5
2

2 02 10
5 043 10

2 87 10
0 41
+
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅

⋅
+
⋅
⋅
R
j
f
L

j
f

j
f
π

,
,

,
,
.

Анализируя выражение для Z2,  нетрудно убедиться, что при протека
нии через этот отрезок постоянного тока его сопротивление будет равно сопротивлению двух параллельно включенных резисторов — R3  и R4. Физически это объясняется равенством нулю импеданса катушки индуктивности 
при f  = 0. С увеличением частоты модуль сопротивления ветви с катушкой 
индуктивности будет возрастать до тех пор, пока ток в этой ветви не окажется пренебрежимо малым по сравнению с током в ветви с одним резистором, 
т. е. эквивалентное сопротивление отрезка окажется равным R3.  Эти соображения подтверждаются анализом функции Z
f
2( ); в пределе получим

lim
( )
lim
lim

f
f
f
Z
f
R R
j
f
LR

R
R
j
f
L

f
LR

→∞
→∞
→∞
=
+
⋅
⋅

+
+
⋅
⋅
=
⋅

1

3
4
3

3
4

2

2

2
π

π

π
3

3
2πf
L
R
⋅
=
.

Таким образом, при протекании через четырехполюсник постоянного 

тока, а также переменного тока большой (квазибесконечной) частоты значения эквивалентных сопротивлений Z1 и Z2  можно считать чисто резистивными. Более того, часть ветвей при рассмотрении этих частот можно отбросить. Такое упрощение очень удобно использовать при самостоятельной 
проверке результатов. Целесообразно проводить анализ и других функций 
частоты сигнала (импеданса, напряжения, силы тока). Аналогичный подход следует использовать при построении графика амплитудно-частотной 
характеристики четырехполюсника.

Под первичными параметрами четырехполюсника понимают набор коэф
фициентов, устанавливающих соотношение между входными и выходными 
напряжениями и силами тока четырехполюсника. Наиболее широко используются так называемые первичные параметры в форме матрицы А. Эта 
матрица связывает входные напряжение и силу тока с выходными:

 
U
A
U
A
I

I
A
U
A
I

1
11
2
12
2

1
21
2
22
2

=
⋅
+
⋅

=
⋅
+
⋅





,
,  
(1.1)

или в матричном виде:

U
I

A
A

A
A

U
I

1

1

11
12

21
22

2

2







 = 












.

Коэффициенты матрицы А можно найти несколькими способами. Рас
смотрим основные.

1. Метод, основанный на преобразовании уравнений, составленных по за
конам Кирхгофа 

Составим уравнения для узлов и контуров рассматриваемого четырехпо
люсника, используя законы Кирхгофа, а затем преобразуем получившуюся 
систему уравнений к виду (1.1). Обозначим токи в ветвях и узлы четырехполюсника (рис. 1.3).

Запишем законы Кирхгофа для каж
дого узла:

1) I
I
I
Z
Z
1
11
2
=
+
,

2) I
I
I
Z
Z
2
12
2
=
+
.

Сумма падений напряжения в конту
ре по закону Кирхгофа:

I
Z
I
Z
I
Z

I
Z
U
U

Z
Z
Z

Z

2
2
12
1
11
1

2
2
2
1
0

⋅
+
⋅
−
⋅
=

=
⋅
+
−
= .

Полученное выражение можно преобразовать следующим образом:

U
U
I
Z
Z
1
2
2
2
=
+
⋅
,

U
U
I
I
Z
Z
1
2
1
12
2
=
+
−
⋅
(
)
,

U
U
I
U
Z
Z
1
2
1

1

1

2
=
+
−






⋅
,

 
U
Z
Z
U
I
Z
1

2

1

2
1
2
1+






 =
+
⋅
.  
(1.2)

В то же время ток I1  можно представить как

I
I
I
I
I
I
Z
Z
Z
Z
1
11
2
11
12
2
=
+
=
+
+
,

 
I
U
Z

U
Z
I
1

1

1

2

1

2
=
+
+
. 
(1.3)

Подставляя выражение (1.3) в (1.2), получаем

U
Z
Z
U
U
Z

U
Z
I
Z
1

2

1

2

1

1

2

1

2
2
1+






 =
+
+
+






⋅
,

U
Z
Z

Z
Z
U
Z
Z
I
Z
1

2

1

2

1

2

2

1

2
2
1
1
+
−






 =
+






 +
⋅
.

В результате:

 
U
U
Z
Z
I
Z
1
2

2

1

2
2
1
=
+






 +
⋅
.  
(1.4)

Подставим соотношение (1.4) в (1.2) и также преобразуем, выражая силу 
тока I1:

Рис. 1.3. Электрическая схема 
цепи с обозначенными токами  

и напряжениями

U
Z
Z
I
Z
Z
Z
U
I
Z
2

2

1

2
2

2

1

2
1
2
1
1
+






 +
⋅









+






 =
+
⋅
,

U
Z
Z
I
Z
Z
Z
U
I
Z
2

2

1

2

2
2

2

1

2
1
2
1
1
+






 +
⋅
+






 =
+
⋅
,

I
Z
U
Z
Z

Z
Z
I
Z
Z
Z

1
2
2

2

1

2

1

2

2
2

2

1

1
2
1
1
⋅
=
+
+ 





 −











 +
⋅
+






,

I
U
Z

Z
Z

I
Z
Z

1
2

1

2

1
2
2

2

1

2 1
1
=
+








 +
+






.

В результате получаем 

 
I
U
Z
Z

Z
I
Z
Z

1
2

1
2

1
2
2

2

1

2
1
=
+
+
+






. 
(1.5)

Соотношения (1.4) и (1.5) соответствуют виду уравнений (1.1), следова
тельно, множители, стоящие перед U2  и I2  (см. (1.1)), являются коэффициентами матрицы А. Таким образом,

U
U
Z
Z
I
Z

I
U
Z
Z

Z

A

A

A

1
2

2

1

2
2

1
2

1
2

1
2

1

2

11

12

21

=
+






 +
⋅

=
+

,

+
+























I
Z
Z

A

2

2

1

1

22
,

A

Z
Z
Z

Z
Z

Z

Z
Z

=

+

+
+



















1

2
1

2

1

2

1
2

1
2

2

1

. 

2. Использование опытов холостого хода и короткого замыкания (анализ 

цепи при нулевой и бесконечной нагрузке)

В правой части уравнений (1.1) содержится по два слагаемых, каждое 

из которых можно исключить из уравнения, нагружая четырехполюсник на 
нулевое (короткое замыкание выходных полюсов) или бесконечное (холостой ход, нагрузка между выходными полюсами отсутствует) сопротивление. 

Действительно, при отсутствии нагрузки на выходе четырехполюсника, т. е. 
в опыте холостого хода, ток I2  протекать не будет. Это означает, что уравнения (1.1) примут вид 

U
A
U

I
A
U

1
11
2

1
21
2

=
⋅

=
⋅





,
,

а два коэффициента матрицы А в случае холостого хода на выходе можно 
рассчитать как 

A
U
U
I

11

1

2
0
2

=

=

,  A
I
U
I

21

1

2
0
2

=

=

.

Аналогично при нулевой нагрузке, т. е. в опыте короткого замыкания, 

между выходными полюсами четырехполюсника не будет разности потенциалов, так как теперь они представляют собой один узел. Это означает, что 
напряжение U2  = 0, и уравнения (1.1) примут вид

U
A
I

I
A
I

1
12
2

1
22
2

=
⋅

=
⋅





,
.

Другую пару коэффициентов матрицы А в случае короткого замыкания 

рассчитывают как 

A
U
I
U

12

1

2
0
2

=

=

,  A
I
I
U

22

1

2
0
2

=

=

.

Рассмотрим опыт холостого хода. Ток I2  не протекает, напряжение U1  

приложено к двум параллельно соединенным ветвям. Первую ветвь образует 
эквивалентное сопротивление Z1,  вторая ветвь — последовательное соединение эквивалентных сопротивлений Z2  и Z1. В каждой из этих ветвей напряжение U1  создает ток. По закону Ома, можно записать

 

U
I
Z

U
I
Z
I
Z
I
Z
U

U
I Z
Z
Z

Z
Z

Z

Z
Z
Z

1
11
1

1
2
2
2
1
2
2
2

1
1

1
1
2

1
2
2

=
⋅

=
⋅
+
⋅
=
⋅
+

=
+
+

,

,

(
),

.
U
I
Z
Z
2
2
1
=
⋅















 
(1.6)

По закону Кирхгофа для узла:

I
I
I
Z
Z
1
11
2
=
+
,

в то же время по формулам разброса для токов в ветвях получаем