Основы теории цепей. Модули 1-3

А.С. Завгородний 

Основы теории цепей

Модули 1–3

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

УДК 621.3.01
ББК 32.84
        З-13
Издание доступно в электронном виде по адресу 
ebooks.bmstu.press/catalog/212/book2085.html

Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника»
Кафедра «Радиоэлектронные системы и устройства»

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Завгородний, А. С.
Основы теории цепей. Модули 1–3 : учебно-методическое пособие /  
А. С. Завгородний. — Москва : Издательство МГТУ им. Н.Э. Бау- 
мана, 2019. — 51, [1] c.: ил.

ISBN 978-5-7038-5200-2

Рассмотрено применение законов Кирхгофа и метода узловых потенциалов. 
Показаны преобразование «треугольник — звезда», график зависимости выделяемой на нагрузке мощности от сопротивления нагрузки, использование условия возникновения резонанса в цепи для поиска резонансных частот, применение метода контурных токов и расчет мощности гармонически изменяющегося 
тока.
Приведено решение типовых заданий, в качестве примера проанализировано решение домашнего задания по теме «Цепи несинусоидального тока». 
Описано прохождение негармонических сигналов через цепи с комплексным 
частотно-зависимым импедансом. Рассмотрены способы расчета активной мощности негармонического переменного тока, выделяемой на нагрузке.
Для студентов, обучающихся по специальности «Радиотехнические системы и комплексы» и изучающих дисциплину «Основы теории цепей». 

УДК 621.3.01
ББК 32.84

ISBN 978-5-7038-5200-2

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019

З-13

Учебное издание

Завгородний Алексей Сергеевич

Основы теории цепей
Модули 1–3

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.

В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.

Подписано в печать 20.07.2019. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 3,25 . Тираж 100 экз.  
Изд. № 545-2018. Заказ 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5,  
стр. 1. press@bmstu.ru    www.baumanpress.ru

Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва,  
2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. baumanprint@gmail.com

Предисловие

Дисциплина «Основы теории цепей» — одна из базовых в подготовке радиоинженеров. 
Цели преподавания дисциплины — дать представление об основных понятиях; обучить методам решения и способам оценки качества анализа и синтеза цепей; сформировать практические навыки 
аналитического, численного и экспериментального исследования 
характеристик цепей и происходящих в них основных процессов; 
научить системному подходу в вопросах анализа цепей и широкому пониманию электрических процессов. 
Мощный и универсальный инструмент, чрезвычайно востребованный при решении практических задач радиоинженера, — это 
методы анализа и синтеза радиотехнических цепей. На этом материале в дальнейшем строится изучение устройств приема, формирования и передачи сигналов и пр. 
Важная часть обучения — самостоятельное решение студентом 
типовых домашних заданий, призванное закрепить полученные на 
лекционных и семинарских занятиях знания, а также развитие 
практических навыков их применения. Типовые домашние задания 
охватывают все основные темы, рассматриваемые в рамках курса.
В настоящем учебно-методическом пособии приведены вариан- 
ты типовых домашних заданий за первый семестр изучения дисциплины «Основы теории цепей», а также рекомендации по их 
решению и подготовке к защите. Своевременное и грамотное выполнение типовых домашних заданий способствует выработке 
общекультурных и профессиональных компетенций у студентов, 
в частности, развиваются: 

 • способность владеть методами решения задач анализа и расчета характеристик радиотехнических цепей;

 • способность решать стандартные профессиональные задачи 
с использованием информационных и библиографических источников и информационно-коммуникационных технологий, с учетом 
основных требований информационной безопасности;

 • способность выявить естественно-научную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, при

влечь для их решения соответствующий физико-математический 
аппарат;

 • способность использовать современные пакеты прикладных 
программ для схемотехнического моделирования аналоговых 
устройств и др.
Настоящее учебно-методическое пособие призвано помочь 
студенту сориентироваться в выборе методов решения типовых 
домашних задач первого семестра изучения дисциплины и способов самостоятельной проверки вычислений.
В модуле 1 «Цепи постоянного тока» рассматривается применение для анализа состояния цепи законов Кирхгофа и метода 
узловых потенциалов; приведено преобразование «треугольник — 
звезда», показан общий вид графика зависимости мощности, выделяемой на нагрузке, от сопротивления нагрузки.
В модуле 2 «Цепи гармонического тока» раскрыты условия 
возникновения резонанса в цепи для поиска резонансных частот, 
показаны использование метода контурных токов и расчет мощности гармонически изменяющегося тока.
В модуле 3 «Цепи несинусоидального тока» описаны прохождение негармонических сигналов через цепи с комплексным частотно-зависимым импедансом, а также способы расчета активной 
мощности негармонического переменного тока, выделяемой на 
нагрузке.
При подготовке домашнего задания рекомендуется использовать литературу, приведенную в конце учебно-методического пособия, а также материалы лекционных и семинарских занятий. 
Изучение дисциплины завершается аттестацией. В приложении 
приведен перечень тем для самоподготовки к аттестации по модулям 1–3.
В учебно-методическом пособии использованы следующие 
сокращения: АЧХ — амплитудно-частотная характеристика; 
СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений; ЭДС — 
электродвижущая сила.

МОДУЛЬ 1. ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Типовое домашнее задание

1. Записать систему уравнений по законам Кирхгофа для заданной цепи.
2. Определить силу тока во второй ветви (E2, R2) методом эквивалентного генератора. При этом расчет распределения тока  
в схеме, образовавшейся при исключении второй ветви, выполнить 
методом узловых потенциалов. Источник тока рекомендуется преобразовать в источник электродвижущей силы (ЭДС), при этом 
схема сводится к схеме с двумя узлами.
3. Построить график зависимости мощности, выделяющейся 
на резисторе R2 от сопротивления R2 при его изменении от 0 до 
бесконечности и постоянстве остальных параметров цепи.

Примечание. Вольтметр считать идеальным, ток через вольтметр отсутствует.
Исходные данные. Схема электрической цепи приведена на  
рис. 1. Стрелками показано подключение к цепи ветви, содержащей идеальный источник тока 
Iист. Номиналы элементов цепи: 
E1 = 10 В, E2 = 20 В, E3 = 7 В,  
E4 = 4 В, E5 = 6 В, E6 = 11 В, 
E7 = 15 В, E8 = 10 В; R1 = 5 кОм, 
R2 = 10 кОм, R3 = 10 кОм, R4 = 
= 7 кОм, R5 = 32 кОм, R6 = 6 кОм, 
R7 = 25 кОм, R8 = 2 кОм; Iист = 4 мА.
Решение типового домашнего 
задания (пример выполнения). 
Вольтметр считается идеальным, 
следовательно, ток в ветви, содержащей его, R8 и E8, не протекает. Это означает, что ветвь  

Рис. 1. Типовая схема электрической 
цепи

с вольтметром не участвует в распределении токов и не влияет на 
потенциалы узлов. Временно исключим ее из рассмотрения (см. 
вопросы для подготовки). 
Пронумеруем узлы и независимые контуры получившейся 
схемы (без ветви с вольтметром). Обозначим направления обхода 
контуров, а также предполагаемые направления токов в ветвях. 
Следует отметить, что выбор направлений токов условен. В дальнейшем при расчете значений токов в ветвях могут быть полу- 
чены отрицательные значения. Это будет означать лишь то, что 
первоначальное направление было выбрано неверно и его нужно 
скорректировать на схеме. Направления обхода контуров также 
выбирают произвольно, для удобства их можно выбирать одинаковыми. В результате схема приобретает вид, показанный на рис. 2.

Примечание. Узел 1 на схеме обозначен как несколько соединений ветвей 
(ветви R4–E4, R2–E2, R5–E5 и ветви с источником тока Iист), что сделано  
в целях удобства изображения пересечения большого количества ветвей. Нужно помнить, что эта часть схемы находится под одним потенциалом. 
Запишем закон Кирхгофа для токов в каждом из узлов цепи. 
Следует учитывать выбранные направления токов. Токи, втекающие в узел, будут иметь один знак, вытекающие — другой. Для 
определенности будем считать положительными токи, втекающие 
в узел. 

Рис. 2. Результат выбора направления 
обхода контуров и направления протекания токов в ветвях

В узел 1 втекают токи Iист, I4 и I2 , а вытекает ток I5. Уравнение 
для узла 1 записывается так: I
I
I
I
ист +
+
−
=
2
4
5
0.

Для остальных узлов аналогично получаем:
для узла 2 
−
−
−
=
I
I
I
1
2
3
0;

для узла 3
I
I
I
3
5
6
0
+
−
= ;

для узла 4
I
I
I
1
7
4
0
+
−
= ;

для узла 5 
I
I
I
6
7
0
−
−
=
ист
.

Проверить правильность полученной системы уравнений довольно просто — каждый ток должен участвовать в ней и с положительным, и с отрицательным знаком.
Уравнения для контуров записывают с учетом выбранных направлений токов, направлений действия источников ЭДС, а также 
направления обхода контура. Так, для второго контура по направлению обхода направлены токи I2 и I5 и источники ЭДС E2 и E5, 
против направления обхода — ток I3 и источник ЭДС E3. Запишем 
сумму падений напряжения на резисторах контура в левой части 
уравнения, в правой части — сумму источников ЭДС с учетом 
знаков:
для контура I 
I R
I R
I R
E
E
E
4
4
2
2
1
1
1
4
2
−
+
=
+
−
,

для контура II
I R
I R
I R
E
E
E
2
2
5
5
3
3
2
5
3
+
−
=
+
−
;

для контура III
I R
I R
I R
I R
E
E
E
3
3
6
6
7
7
1
1
3
7
1
+
+
−
=
+
−
.

Для определения тока во второй ветви (содержащей R2 и E2) 
методом эквивалентного генератора необходимо исключить ветвь 
из общей цепи, преобразовать оставшуюся часть в эквивалентный, 
реальный источник тока или ЭДС (в условиях задачи указана предпочтительность второго). ЭДС этого эквивалентного источника 
будет равна разности потенциалов узлов, между которыми в оригинальной цепи находилась вторая ветвь, а внутреннее сопротивление вычисляют как общее сопротивление всех ветвей с учетом 
их подключения, соединяющих эти два узла. Итак, исключим 
вторую ветвь из общей цепи. Схема приобретет вид, показанный 

на рис. 3 (оставлены номера узлов, направления токов и обхода 
контуров за ненадобностью опущены).
Для нахождения разности потенциалов между узлами 1 и 2 
(между которыми располагается 
временно исключенная вторая 
ветвь) по условию задания требуется использовать метод узловых 
потенциалов. Алгоритм решения 
задачи методом узловых потенциалов состоит из нескольких 
этапов:
1) потенциал одного из узлов 
цепи приравнять к 0 В (далее — 
«нулевой» узел);
2) составить систему уравнений относительно потенциалов 
узлов (правила составления этих уравнений рассмотрим далее);
3) решить уравнения, найти потенциалы узлов;
4) по закону Ома для отрезка цепи с учетом рассчитанных разностей потенциалов и ЭДС, действующих в ветвях, найти токи.
Итак, потенциал одного из узлов необходимо приравнять  
к нулю. Непринципиально, какой из узлов выбрать в качестве «нулевого», так как токи в ветвях определяются не абсолютными значениями потенциалов, а их разностями. Исходя из удобства нахождения разности потенциалов для расчета тока второй ветви I2, 
целесообразно выбирать «нулевым» один из ее узлов. Для рассматриваемой задачи это узлы 1 и 2. Пусть потенциал узла 2 равен 0 В.
Систему уравнений для расчета узловых потенциалов составляют следующим образом: для каждого узла, кроме «нулевого», 
записывают уравнение, в левой части которого со знаком плюс 
указывают произведение узлового потенциала и узловой проводимости, со знаком минус — произведения узловых потенциалов 
соседних узлов (непосредственно соединенных с рассматриваемым 
хотя бы одной ветвью) и взаимных проводимостей, а в правой 
части — токи эквивалентных источников со знаком плюс, если 
создают ток по направлению к узлу, со знаком минус — если ток 
направлен от узла. Под узловой проводимостью понимают сумму 
проводимостей всех ветвей, пересекающихся в узле, а под взаимной — сумму проводимостей ветвей, непосредственно соединяю
Рис. 3. Схема цепи без исключенной 
ветви, содержащей R2 и E2

щих узлы. Запишем уравнение для узла 1. После исключения из 
цепи второй ветви в этом узле пересекаются три ветви (R4–E4, 
R5–E5 и ветвь с источником тока Iист). Сумма проводимостей этих 
ветвей, т. е. узловая проводимость узла 1, равна (1/R4 + 1/R5). 
Источник тока Iист имеет бесконечное сопротивление, т. е. нулевую 
проводимость, поэтому эта ветвь не участвует в расчете узловой 
проводимости. Соседними узлами, т. е. непосредственно соединенными ветвями с узлом 1, являются узлы 3, 4 и 5. Узлы 1 и 3 
соединяет единственная ветвь с сопротивлением R5, т. е. взаимная 
проводимость этих узлов 1/R5. Аналогично для узлов 1 и 4 взаимная проводимость 1/R4 (так как других ветвей, кроме как с сопротивлением R4, между этими узлами нет). Взаимная проводимость 
между узлами 1 и 5 равна нулю из-за нулевой проводимости ветви 
источника тока Iист. В правой части уравнения указывают сумму 
токов эквивалентных источников. В данной цепи в явном виде 
присутствует только один источник тока — Iист. Однако ветви, содержащие источник ЭДС и сопротивление, можно рассматривать как реальные источники ЭДС, которые 
пересчитывают в реальные источники 
тока. Сопротивление ветви — внутреннее сопротивление источника. При 
преобразовании реального источ- 
ника ЭДС в реальный источник тока 
(рис. 4) внутреннее сопротивление 
источника R остается неизменным, а 
ЭДС и сила тока источников связаны 
соотношением E = IистR.
Таким образом, силы токов эквивалентных источников находят как отношения ЭДС ветви к ее 
сопротивлению, уравнение для узлов выглядят следующим образом: 
для узла 1

 
ϕ
ϕ
ϕ
1
4
5
3
5
4
4

4

4

5

5

1
1
1
1
R
R
R
R
I
E
R
E
R
+





 −





 −





 =
+
−
ист
; 
(1)

для узла 3

 
ϕ
ϕ
ϕ
3
3
5
6
1
5
5
6

3

3

5

5

1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
E
R
E
R
+
+





 −





 −





 =
+
; 
(2)

Рис. 4. Преобразование источника напряжения в источник 
тока

для узла 4

 
ϕ
ϕ
ϕ
4
1
4
7
1
4
5
7

1

1

7

7

4

4

1
1
1
1
1
R
R
R
R
R
E
R
E
R
E
R
+
+





 −





 −





 =
+
−
; 
(3)

для узла 5

 
ϕ
ϕ
ϕ
5
6
7
3
6
4
7

7

7

1
1
1
1
R
R
R
R
I
E
R
+





 −





 −





 = −
−
ист
.  
(4)

Уравнения (1)–(4) для расчета узловых потенциалов представляют собой типичную систему линейных алгебраических уравнений 
(СЛАУ). Записывая ее в матричном виде, получим

 

1
1
1
1
0

1
1
1
1
0
1

1
0
1
1
1
1

0

4
5
5
4

5
3
5
6
6

4
1
4
7
7

R
R
R
R

R
R
R
R
R

R
R
R
R
R

+
−
−

−
+
+
−

−
+
+
−

− 1
1
1
1

6
7
6
7

1

3

4

5

R
R
R
R
−
+
















































ϕ
ϕ
ϕ
ϕ 

=

=

+
−

+

+
−

−
−











I
E
R
E
R

E
R
E
R

E
R
E
R
E
R

I
E
R

ист

ист

4

4

5

5

3

3

5

5

1

1

7

7

4

4

7

7






















.

 

(5)

Способы решения СЛАУ хорошо известны, например, можно 
применить метод Крамера или метод Гаусса. После подстановки 
численных значений сопротивлений ЭДС и силы тока идеальных 
источников, выполнения вычислений получаем ϕ1 = 37,80 В, ϕ3 = 
= –6,71 В, ϕ4 = 16,86 В, ϕ5 = –24,41 В, т. е. разность потенциалов 
между узлами второй ветви составляет ϕ1 – ϕ2 = 37,80 – 0 = 37,80 В.