Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы  

в линейных электрических цепях

Учебно-методическое пособие

С.А. Васюков, О.И. Мисеюк, А.В. Ситников

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

УДК 621.3 
ББК 31.2 
В20 
 
Издание доступно в электронном виде по адресу 
ebooks.bmstu.press/catalog/72/book2025.html 

Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Электротехника и промышленная электроника» 

Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 
 
 
 
Васюков, С. А.  
                       Переходные процессы в линейных электрических цепях : 
учебно-методическое пособие / С. А. Васюков, О. И. Мисеюк, А. В. Ситников. — Москва : Издательство МГТУ  
им. Н. Э. Баумана, 2019. — 28, [4] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-5146-3 

 
Изложены основные теоретические сведения о классическом методе 
расчета переходных процессов в цепях первого и второго порядков. Представлены материалы, необходимые для проведения лабораторной работы: 
задание, порядок выполнения, методические указания к проведению работы, 
а также контрольные вопросы. 
Для студентов 2–4-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по 
программам бакалавриата и специалитета и изучающих дисциплину «Электротехника». 

 
УДК 621.3 
ББК 31.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-5146-3                               МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019 

В20 

Предисловие 

В современном высшем техническом образовании, ориентированном на формирование профессиональных компетенций, большое внимание уделяется подготовке специалистов, владеющих как 
теоретическими знаниями, так и современными методами исследования. Особо ценно умение проводить исследования физических 
процессов и свойств объектов с использованием технических 
средств, выбором методов измерений, обработки и представления 
результатов. А эта способность во многом формируется в процессе 
выполнения лабораторных практикумов. 
При выполнении лабораторных работ по электротехнике преследуются две цели: первая — закрепление на практике основных 
теоретических положений курса, вторая — приобретение студентами навыков самостоятельной работы с электроизмерительными 
приборами.  
Многие электротехнические устройства работают в переходных режимах. Некоторые устройства специально конструируют 
таким образом, чтобы переходный процесс принимал тот или 
иной вид. Когда длительный переходный процесс нежелателен, 
принимают специальные меры по уменьшению времени переходного процесса. Именно поэтому лабораторная работа по изучению переходных процессов в линейных электрических цепях 
важна для студентов приборостроительных специальностей.  
Лабораторная работа предназначена для студентов 2–4-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по программам бакалавриата и специалитета и изучающих дисциплину «Электротехника». 
Цели лабораторной работы: приобретение навыков самостоятельного исследования особенностей протекания переходных 
процессов в электрических цепях, содержащих накопители 
энергии; овладение техникой экспериментирования с использованием электроизмерительных приборов; освоение методов экспериментального исследования установившихся режимов в зависимости от параметров цепи. 
 
 

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

1.1. Законы коммутации и начальные условия 

Установившийся режим — состояние цепи, в котором все токи и напряжения являются периодическими функциями времени 
либо постоянными величинами (в цепях постоянного тока). Под 
переходными процессами понимают переход цепи от одного 
установившегося режима к другому (рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.1. Установившиеся режимы и переходный процесс  
в электрической цепи 

Время переходного процесса теоретически равно бесконечности, но на практике оно зависит от параметров цепи. 
Возникновение переходных процессов обусловлено коммутацией в цепях с реактивными элементами (катушками индуктивности и конденсаторами).  
Коммутацией называется мгновенное изменение структуры 
цепи, параметров цепи или скачкообразное изменение воздействующего сигнала. 
Коммутирующее устройство на схеме изображают в виде 
идеального ключа, у которого при замыкании сопротивление 
равно нулю, а в разомкнутом состоянии равно бесконечности.  

Ключи подразделяют на нормально разомкнутые (рис. 1.2, а) и 
нормально замкнутые (рис. 1.2, б ). Будем считать, что переход из 
разомкнутого состояния в замкнутое (и наоборот) происходит мгновенно. 

 

 

Рис. 1.2. Нормально разомкнутый (а)  
и нормально замкнутый (б ) ключи 

В дальнейшем примем, что коммутация осуществляется в мо
мент времени t = 0. При этом будем оценивать состояние схемы 
(напряжения и токи) в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (
0
t


), и в момент времени сразу по
сле коммутации (
0
t


). 

Переход от одного режима работы цепи к последующему 

установившемуся режиму происходит не мгновенно, а в течение 
некоторого времени. Это объясняется тем, что каждому состоянию цепи соответствует определенный запас энергии электрических и магнитных полей. Переход к новому режиму связан с 
нарастанием или убыванием энергии этих полей. Энергия 

2

2

L
L
Li
w 
, запасаемая в магнитном поле катушки с индуктивно
стью L ( Li  — ток, протекающий в ветви с катушкой индуктивно
сти) и энергия 

2

2

C
C
Cu
w 
, запасаемая в электрическом поле кон
денсатора емкостью С (
C
u  — напряжение на конденсаторе), не 

могут изменяться мгновенно скачкообразно, так как в противном 
случае мощность, равная производной энергии по времени, достигала бы бесконечных значений, что физически невозможно.  

Для завершения переходного процесса и наступления устано
вившегося режима теоретически требуется бесконечно большое 
время. Практически, однако, время переходного процесса определяется малым интервалом, по истечении которого токи и 
напряжения настолько приближаются к установившимся значениям, что разность оказывается мало ощутимой.  

Приведенные выше положения о том, что запас энергии маг
нитного или электрического поля не может изменяться скачкообразно, выражают принцип непрерывности во времени потокосцепления на катушке индуктивности:  

(0 )
(0 ),
L
L



 
  

или 
(0 )
(0 ),
L
L
L
Li
Li
Li




 

и электрического заряда на конденсаторе: 

(0 )
(0 ),
q
q



  

или 
(0 )
(0 ),
C
C
C
Cu
Cu
Cu




 

из которого следуют законы коммутации. 

Невозможность скачкообразного изменения потокосцепления 

объясняется тем, что в противном случае на катушке индуктивности 
появилось 
бы 
бесконечно 
большое 
напряжение 

L
d
u
dt


  , что лишено физического смысла. Поскольку 
,
Li
 
 

то при неизменной индуктивности L ток i  не может изменяться 
скачком. 

Первый закон коммутации: в начальный момент после 

коммутации ток в ветви с катушкой индуктивности 


0
Li
  оста
ется таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией: 


0
Li
 , а затем плавно изменяется от этого значения, т. е. 





0
0
.
L
L
i
i



 

Аналогично невозможность скачкообразного изменения элек
трического заряда q  на конденсаторе емкостью С, поскольку в 
противном случае через конденсатор проходил бы бесконечно 

большой ток C
dq
i
dt

  , что также лишено физического смысла. 

Поскольку 
,
C
q
Cu

 принцип непрерывности электрического за
ряда означает, что при неизменной емкости C  напряжение 
C
u  не 

может изменяться скачком. 

Второй закон коммутации: в начальный момент после ком
мутации напряжение на конденсаторе 


0
C
u
  остается таким же, 

каким оно было непосредственно перед коммутацией: 


0
C
u
 ,  

а затем плавно изменяется от этого значения, т. е. 





0
0
.
C
C
u
u



 

Следует отметить, что в цепях с идеализированными сосредо
точенными параметрами скачкообразно могут изменяться: 1) токи в ветвях с резисторами и конденсаторами; 2) напряжения  
в ветвях с сопротивлениями и катушками индуктивности. 

Значения тока в ветви с катушкой индуктивности и значения 

напряжения на конденсаторе в момент коммутации называются 
независимыми начальными условиями. 

При расчете переходных процессов в разветвленных электри
ческих цепях наряду с независимыми начальными условиями используются так называемые зависимые начальные условия, а именно значения токов, напряжений и их производных в начальный 
момент времени 
0
t


.  

1.2. Установившийся и свободный режимы 

В общем случае анализ переходного процесса в линейной це
пи с сосредоточенными параметрами сводится к решению обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, выражающих законы Кирхгофа.  

Например, если какая-либо ЭДС ( )
e t  (рис. 1.3) включается в 

цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов 

,  и ,
R L
C  то интегродифференциальное уравнение имеет вид 

 
1
( ).
di
Ri
L
i dt
e t
dt
C




 
(1.1) 

Уравнение (1.1) после дифференцирования может быть при
ведено к неоднородному дифференциальному уравнению второго 
порядка: 

 

2

2
.
d i
di
i
de
L
r dt
C
dt
dt



 
(1.2) 

Как известно, общий интеграл такого уравнения равен сумме 
частного решения неоднородного уравнения и общего решения 
однородного уравнения. 

 

 
Рис. 1.3. Включение цепи R
L
C


 

Частное решение служит выражением установившегося ре
жима, задаваемого источником. 

Общее решение определяет поведение цепи при отсутствии 

внешних источников электрической энергии и заданных начальных условиях.  

Функции, определяемые общим решением, называются сво
бодными составляющими (токов, напряжений и пр.). 

В рассмотренном выше случае однородное уравнение имеет вид 

2
св
св
св
2
0,
d i
di
i
L
r dt
C
dt



 

соответствующее ему характеристическое уравнение: 

 
2
1
0.
Lp
rp
C



 
 (1.3) 

Если корни характеристического уравнения обозначить 
1p   

и 
2
p , то общее решение можно записать в виде 

 
1
2
св
1
2
( )
e
e
,
p t
p t
i
t
A
A


 
(1.4) 

где 
1,
A  
2
A  — постоянные интегрирования, которые определяют 

из начальных условий (законов коммутации). 

Полный переходный ток в цепи равен сумме установившегося 

и свободного токов: 

уст
св
( )
( )
( ).
i t
i
t
i
t


 

Аналогично напряжение, заряд, магнитный поток и другие 

функции на любом участке цепи в переходном режиме также 
имеют установившуюся и свободную составляющие. 

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, 

описывающих исследуемые переходные процессы, различают 
цепи первого, второго и более высоких порядков. 

1.3. Переходный процесс в цепи R–L 

Положим, что в момент времени 
0
t 
 цепь, состоящая из со
противления R и индуктивности L, включенных последовательно, 
присоединяется к источнику ЭДС ( )
e t  (рис. 1.4). 

 

 
Рис. 1.4. Включение цепи R L
  

Дифференциальное уравнение для времени 
0
t 
 записывают 

как 

.
di
ri
L
e
dt


 

Характеристическое уравнение имеет вид 
0,
r
Lp


 и соот
ветственно корень уравнения 
1
.
r
p
L
 
 Отсюда свободная со
ставляющая тока 

1
св( )
e
e
.

r t
p t
L
i
t
A
A



 

Ток, возникающий в цепи после коммутации, определяется 

суммой установившейся и свободной составляющих тока: 

 
уст
( )
( )
e
.

r t
L
i t
i
t
A



 
(1.5) 

Установившаяся составляющая тока может быть найдена, если 
задана ЭДС ( ).
e t
 

Рассмотрим случай включения в цепь R L
  постоянной ЭДС Е. 

При этом установившаяся составляющая тока равна E/r. Тогда с 
учетом выражения (1.5) 

 
( )
e
.




r t
L
E
i t
A
r
 
(1.6) 

Постоянную интегрирования А находят по начальному усло
вию 



0
0
0.
i
i




 

Согласно уравнению (1.6), при 
0
t 
 

0
,
E
A
r


 

откуда 
E
A
r
 
. Следовательно, 

( )
1 e
1 e
.























r
r
t
t
L
L
E
i t
I
r
 

Здесь 
E
I
r

 — установившееся значение тока, к которому стре
мится ток ( )
i t  по мере неограниченного возрастания времени t. 

Напряжение на катушке индуктивности определяют по формуле 

e
.

t

L
di
u
L
E
dt

 


 

На рис. 1.5 представлены зависимости 
( )
Li
t  и 
( )
L
u
t  для рас
сматриваемого случая.