Полиномы Цернике в проектировании оптических систем. Часть 1

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
С.Н. Бездидько, Т.С. Ровенская 
 
ПОЛИНОМЫ ЦЕРНИКЕ 
В ПРОЕКТИРОВАНИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
Часть 1 
Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения 
и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению  
подготовки 200200 «Оптотехника» и специальности 200203 
«Оптико-электронные приборы и системы» 
 
М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 535.317.2(075.8) 
ББК 22.34 
Б39 
Рецензенты: В.М. Кахновский, А.Ф. Ширанков 
Бездидько С.Н., Ровенская Т.С. 
Б39     Полиномы Цернике в проектировании оптических систем: 
Учеб. пособие. – Ч. 1. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,  
2006. – 44 с.: ил.  
ISBN 5-7038-2928-3 
Описана волновая аберрация оптической системы аппроксимациями по степенному и ортогональному (в виде полиномов Цернике) базисам. Рассмотрены свойства этих аппроксимаций, а также 
примеры применения разложения волновой аберрации по ортогональным полиномам Цернике для обоснования выбора прототипа 
из базы оптических систем и для автоматизированной дискретизации областей зрачка и предмета в процессе оптимизации оптической системы. 
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Оптико-электронные приборы и системы». 
Ил. 4. Табл. 10. Библиогр. 31 наим.  
УДК 535.317.2(075.8) 
                                                                        ББК 22.34 
ISBN 5-7038-2928-3 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

 
ВВЕДЕНИЕ 
Нарушение гомоцентричности прошедшего оптическую систему гомоцентричного пучка лучей или сферичности волнового 
фронта называется аберрацией.  
В зависимости от решаемой оптической задачи используется 
тот или иной вид описания аберрации. В применении к центрированным осесимметричным системам плодотворным оказалось разложение волновой аберрации по системе круговых полиномов 
Цернике [1, 2], ортогональных внутри единичного круга [3 – 5]. 
Позднее появились работы, расширяющие область применения 
такого разложения на зеркальные и зеркально-линзовые системы 
[6 – 8], а также на случай полихроматического изображения. В работе [9] описано разложение волновой аберрации оптической системы по ортогональным полиномам при наличии децентрировки 
на оптической оси. 
Данный вид представления волновой аберрации используется 
при решении многих задач: при вычислении дифракционного интеграла и изучении дифракционной картины в изображении точки 
при наличии определенных типов аберраций [5]; при установлении 
зависимостей между различными критериями качества изображения и разложением волновой аберрации или связанными с нею 
функциями [5, 11 – 16]; при расчете допустимых значений аберраций для широкого класса оптических приборов [5, 10, 13]; при 
расчете допусков формы оптических поверхностей, центрировки 
линз и оптических компонентов, определении требований к характеристикам оптического материала [10]; при разработке методов 
оптимизации оптических систем [17, 18]. 
Разложение волновой аберрации по полиномам Цернике находит применение при разработке методов и приборов для контроля 
оптических систем и прозрачных сред, использующих различные 
параметры волновых фронтов [19]; в офтальмологии при разработке методов и приборов для диагностики и лечебного воздействия на глаз. 
 
3

В данной работе рассматриваются свойства разложения волновой аберрации по полиномам Цернике, полезные для решения актуальных задач автоматизированного расчета оптических систем:  
– для автоматизированного определения оптимальной дискретизации областей зрачка и предмета на этапах оптимизации оптической системы;  
– для автоматизированного выбора базовой схемы (прототипа) 
проектируемой оптической системы из базы данных конструктивных параметров оптических систем и аберрационного анализа базовой схемы. 
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 
Лучевая аберрация отдельного луча гомоцентричного в пространстве предметов пучка характеризуется вектором обобщенных 
x
′
∆
X
поперечных аберраций 
.
 
′
∆
=
y
′
∆
Для близкого изображения 
,
x
y
′
′
∆
∆
 – линейные координаты точки А′ пересечения луча Р′A′ с поверхностью изображения, определенные в прямоугольной системе зональных координат (x′, y′, z′) с началом в точке идеального изображения А0′; P(px, py), P′(p′x, p′y) – точки 
пересечения луча, выходящего из точки А предмета, с плоскостями 
входного и выходного зрачков оптической системы; отрезок 
0
Α Α
′
′  
есть лучевая поперечная аберрация (рис. 1). Проекции ∆y′, ∆x′ вектора 
0
Α Α
′
′  на оси y′ и x′ соответственно называются меридиональной и 
сагиттальной составляющими поперечной аберрации. Для удаленного изображения 
0
X
q
q
′
′
′
∆
=
−
 понимается как угловые отклонения 
реального луча q′ от идеального q0′, соединяющего точку P′ луча на 
выходном зрачке с точкой идеального изображения. 
Волновая аберрация V описывает отклонение выходящего волнового фронта от сферы сравнения вдоль данного луча. Если через 
центр 
p
O ′
′  выходного зрачка оптической системы (см. рис. 1) построить сферическую поверхность с центром в точке А0′, то будет 
получена опорная сфера или сфера сравнения, с радиусом  
R = 
0
.
p
Α O ′
′
′  Обозначим через P′ точку пересечения с этой сферой 
выходящего из оптической системы луча Р′A′. Из точки 
0
Α′  опустим перпендикуляр А0′ А′′ на луч Р′A′, где А′′ – основание перпен 
4

дикуляра. Монохроматическая волновая аберрация V для луча AA′ 
понимается как разность оптических длин хода лучей 
V = ‹ AA′ › – ‹ AA′′ ›; 
,
n
l
V
′∆
=
λ
  
где ∆l = A′′A′; n′ – показатель преломления среды пространства 
изображений; λ – длина волны. 
 
Рис. 1. Определение лучевой и волновой аберраций оптической системы 
Путем расчета волновой аберрации для множества лучей, 
исходящих из точки A и проходящих через входной зрачок оптической системы, определяется волновая поверхность, или 
волновой фронт. 
Лучевая и волновая аберрации являются функциями зрачковых 
координат луча: 
( );
( )
x
x
p
V
V p
∆′ = ∆′
=
 
или  
 
(
);
(
),
x
x
p
V
V p
∆′ = ∆′
′
=
′  
x
x
p
p
p
p
где 
,
′
′
=
=
′
 – векторы зрачковых координат, которые 
p
p
y
y
определяются как координаты точек Р и Р′ пересечения луча с 
 
5