Полиномы Цернике в проектировании оптических систем. Часть 1

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 

С.Н. Бездидько, Т.С. Ровенская 

 
ПОЛИНОМЫ ЦЕРНИКЕ 

В ПРОЕКТИРОВАНИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

Часть 1 

Рекомендовано УМО по образованию в области приборостроения 
и оптотехники в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению  
подготовки 200200 «Оптотехника» и специальности 200203 
«Оптико-электронные приборы и системы» 
 

М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 535.317.2(075.8) 
ББК 22.34 
Б39 

Рецензенты: В.М. Кахновский, А.Ф. Ширанков 

Бездидько С.Н., Ровенская Т.С. 
Б39     Полиномы Цернике в проектировании оптических систем: 
Учеб. пособие. – Ч. 1. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,  
2006. – 44 с.: ил.  

ISBN 5-7038-2928-3 

Описана волновая аберрация оптической системы аппроксимациями по степенному и ортогональному (в виде полиномов Цернике) базисам. Рассмотрены свойства этих аппроксимаций, а также 
примеры применения разложения волновой аберрации по ортогональным полиномам Цернике для обоснования выбора прототипа 
из базы оптических систем и для автоматизированной дискретизации областей зрачка и предмета в процессе оптимизации оптической системы. 
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Оптико-электронные приборы и системы». 
Ил. 4. Табл. 10. Библиогр. 31 наим.  

УДК 535.317.2(075.8) 
                                                                        ББК 22.34 

ISBN 5-7038-2928-3 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

ВВЕДЕНИЕ 

Нарушение гомоцентричности прошедшего оптическую систему гомоцентричного пучка лучей или сферичности волнового 
фронта называется аберрацией.  
В зависимости от решаемой оптической задачи используется 
тот или иной вид описания аберрации. В применении к центрированным осесимметричным системам плодотворным оказалось разложение волновой аберрации по системе круговых полиномов 
Цернике [1, 2], ортогональных внутри единичного круга [3 – 5]. 
Позднее появились работы, расширяющие область применения 
такого разложения на зеркальные и зеркально-линзовые системы 
[6 – 8], а также на случай полихроматического изображения. В работе [9] описано разложение волновой аберрации оптической системы по ортогональным полиномам при наличии децентрировки 
на оптической оси. 
Данный вид представления волновой аберрации используется 
при решении многих задач: при вычислении дифракционного интеграла и изучении дифракционной картины в изображении точки 
при наличии определенных типов аберраций [5]; при установлении 
зависимостей между различными критериями качества изображения и разложением волновой аберрации или связанными с нею 
функциями [5, 11 – 16]; при расчете допустимых значений аберраций для широкого класса оптических приборов [5, 10, 13]; при 
расчете допусков формы оптических поверхностей, центрировки 
линз и оптических компонентов, определении требований к характеристикам оптического материала [10]; при разработке методов 
оптимизации оптических систем [17, 18]. 
Разложение волновой аберрации по полиномам Цернике находит применение при разработке методов и приборов для контроля 
оптических систем и прозрачных сред, использующих различные 
параметры волновых фронтов [19]; в офтальмологии при разработке методов и приборов для диагностики и лечебного воздействия на глаз. 

В данной работе рассматриваются свойства разложения волновой аберрации по полиномам Цернике, полезные для решения актуальных задач автоматизированного расчета оптических систем:  
– для автоматизированного определения оптимальной дискретизации областей зрачка и предмета на этапах оптимизации оптической системы;  
– для автоматизированного выбора базовой схемы (прототипа) 
проектируемой оптической системы из базы данных конструктивных параметров оптических систем и аберрационного анализа базовой схемы. 

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

Лучевая аберрация отдельного луча гомоцентричного в пространстве предметов пучка характеризуется вектором обобщенных 

поперечных аберраций 
.

x

X

y

′
∆

′
∆
=

′
∆

 

Для близкого изображения 
,
x
y
′
′
∆
∆
 – линейные координаты точки А′ пересечения луча Р′A′ с поверхностью изображения, определенные в прямоугольной системе зональных координат (x′, y′, z′) с началом в точке идеального изображения А0′; P(px, py), P′(p′x, p′y) – точки 
пересечения луча, выходящего из точки А предмета, с плоскостями 
входного и выходного зрачков оптической системы; отрезок 
0
Α Α
′
′  
есть лучевая поперечная аберрация (рис. 1). Проекции ∆y′, ∆x′ вектора 
0
Α Α
′
′  на оси y′ и x′ соответственно называются меридиональной и 
сагиттальной составляющими поперечной аберрации. Для удаленного изображения 
0
X
q
q
′
′
′
∆
=
−
 понимается как угловые отклонения 
реального луча q′ от идеального q0′, соединяющего точку P′ луча на 
выходном зрачке с точкой идеального изображения. 
Волновая аберрация V описывает отклонение выходящего волнового фронта от сферы сравнения вдоль данного луча. Если через 
центр 
p
O ′′  выходного зрачка оптической системы (см. рис. 1) построить сферическую поверхность с центром в точке А0′, то будет 
получена опорная сфера или сфера сравнения, с радиусом  
R = 
0
.
p
Α O ′
′
′  Обозначим через P′ точку пересечения с этой сферой 

выходящего из оптической системы луча Р′A′. Из точки 
0
Α′  опустим перпендикуляр А0′ А′′ на луч Р′A′, где А′′ – основание перпен

дикуляра. Монохроматическая волновая аберрация V для луча AA′ 
понимается как разность оптических длин хода лучей 

V = ‹ AA′ › – ‹ AA′′ ›; 
,
n
l
V
′∆
=
λ
  

где ∆l = A′′A′; n′ – показатель преломления среды пространства 
изображений; λ – длина волны. 
 

Рис. 1. Определение лучевой и волновой аберраций оптической системы 

Путем расчета волновой аберрации для множества лучей, 
исходящих из точки A и проходящих через входной зрачок оптической системы, определяется волновая поверхность, или 
волновой фронт. 
Лучевая и волновая аберрации являются функциями зрачковых 
координат луча: 

( );
( )
x
x
p
V
V p
∆ ′ = ∆ ′
=
 

или  

 
(
);
(
),
x
x
p
V
V p
∆ ′ = ∆ ′
′
=
′  

где 
,

x
x

y
y

p
p
p
p

p
p

′
′
=
=
′
 – векторы зрачковых координат, которые 

определяются как координаты точек Р и Р′ пересечения луча с 

входной или выходной сферами сравнения, или опорными сферами Гаусса, концентричными точке предмета А и точке 
0
A′  ее идеального изображения. Координаты 
,p
p′ задаются как линейные 
или угловые в зависимости от типа предмета и изображения [20]. 
Между лучевой 
X ′
∆
 и волновой V аберрациями луча существует связь: поперечные аберрации с точностью до постоянных 
множителей являются частными производными волновой аберрации по координатам луча на зрачке. Это отражается уравнениями 

,

x

y

V
x
p

V
y
p

∂

′
∆
= −λ

′
∂



∂

′
∆
= −λ

′
∂


 

или  

(
),
X
V p
′
′
∆
= −λ∇
 

где λ – длина волны; величина V задается в длинах волн. 
Анализ работы оптической системы принято проводить не в 
реальных зрачковых координатах 
,p
p′ и координатах на предме
те 

x

X

y

=
 или изображении 

x

X

y

′

′ =

′

, а в канонических координа
тах. Зрачковые канонические, или относительные, координаты 

,
′
ρ ρ  получаются нормированием зрачковых координат 
,p
p′: 

 

,

.

x
x
x

y
y
y

x
x
x

y
y
y

p
A

p
A

p
A

p
A


ρ





ρ =
=



ρ




′
′
′
ρ





′ρ =
=



′
′
′
ρ





 
(1) 

Здесь через 
и
А
А′  обозначены обобщенные передние и задние апертуры, которые в обобщенных зрачковых координатах для 
виньетированных зрачков представляют собой полуоси эллипти
ческих зрачков: 
,
.

x
x

y
y

А
А
А
А
А
А

′

′
=
=

′

 Области зрачков в виде эллип
сов с полуосями Аx, Аy и 
x
A′ , 
y
A′  в канонических координатах име
ют вид круга единичного радиуса: 
1.
′
ρ = ρ =
 
Канонические, или приведенные, координаты на предмете η и 
изображении ′
η  в [20] определены выражениями 

1
,

1
.

x
x

y
y

x
x

y
y

xA

yA

x A

y A


η





η =
= −



λ
η




′
′ ′
η





′
η =
= −



λ
′
′ ′
η





 

Для описания воздействия оптической системы на проходящий 
через нее пучок лучей или волновой фронт используется зрачковая 
функция  

1
2 ( ) exp[ 2
( )] в пределах единичного круга,
( )

0 вне круга,

iV
f


τ
ρ
− π
ρ
ρ = 


 

где ( )
τ ρ −  функция пропускания энергии, 0 < τ < 1. 
Зрачковая функция используется при определении функции 
рассеяния точки (ФРТ), оптической передаточной функции (ОПФ) 
и связанных с этими функциями критериев качества оптического 
изображения. Понятия ФРТ, ОПФ и критерии качества изображения позволяют решать как прямые задачи оценки качества изображения в известной оптической системе (и оценивать допуски 
на параметры оптической системы), так и обратные задачи, на

пример определять допустимые значения аберраций в оптических 
системах, исходя из определенного критерия качества для оптических систем различного функционального назначения [10]. 

2. ОПИСАНИЕ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ 

Для решения задач, связанных с проектированием оптических 
систем, необходимо численное описание функции волновой аберрации. Чаще всего монохроматическую функцию 
( )
V ρ  описывают 
в виде разложения от канонических зрачковых координат 

 
( )
( ),
k
k
k
V
C P
ρ =
ρ
∑
 
(2) 

где 
( )
kP ρ  – функция базиса; ρ −  вектор канонических координат 
на зрачке; Сk – коэффициенты аппроксимации. 
Для разложения (2) чаще всего применяют полярные коорди
наты 
2
2 ; cos
y

x
y

ρ
ρ = ρ =
ρ + ρ
ϕ = ρ , а в качестве базиса используют 

степенные функции или ортогональные полиномы Цернике.  

2.1. Зональное монохроматическое описание  

волновой аберрации 

Разложение волновой аберрации по степенному базису состоит 
из функций 
,
,
i
j

x
y
ρ
ρ
 причем 

 

2
4
00
20
11
40

3
2
2
6
31
22
60

( )
cos
cos

cos
cos
...,

n
m
nm
nm
V
w
w
w
w
w

w
w
w

ρ =
ρ
ϕ =
+
ρ +
ρ
ϕ +
ρ +

+
ρ
ϕ +
ρ
ϕ +
ρ +

∑

 
(3) 

где n ≥ m; n + m = 2k – четное; n, m – числа натурального ряда. 
Значения коэффициентов wnm равны значению волновой аберрации данного типа на краю зрачка: ρ = 1, φ = 0. 
Классификация отдельных зональных аберраций 
cos
n
m
nm
W
ρ
ϕ, 
составляющих волновую аберрацию 
( )
V ρ , дана в табл. 1. 

Таблица 1 

Классификация составляющих волновой аберрации  
при разложении по степенному базису 

Порядок 
 аберрации 
Отдельная 
аберрация 
Коэффициент 
Wnm 
Функция 
V(ρ, φ) 

I 
Дефокусировка  
Поперечное смещение 
W20 
W 11 
W20ρ2 
W11ρcosφ 

III 
Сферическая аберрация 
Кома 
Астигматизм 

W40 
W31 
W22 

W40ρ4 
W31ρ3cosφ 
W22ρ2cos2φ 

V 
Сферическая аберрация 
Кома 
Астигматизм 

W60 
W51 
W42 

W60ρ6 
W51ρ5cosφ 
W42ρ4cos2φ 

При разложении волновой аберрации по ортогональному базису в виде круговых полиномов Цернике используют условие ортогональности. 
Оно означает, что интеграл по зрачку от произведения двух 
различных функций базиса  

 

0

0 при
,
( )
( )
при
,
k
l
kl
k
S
k

k
l
P
P
d
w
w
k
l

≠

ρ
ρ
ρ = δ
= 

=

∫∫
 
(4) 

где δkl – символ Кронекера, т. е. дискретная дельта-функция, 

равная 
0 при
,
1 при

k
l

k
l

≠

=

 а число wk называется нормой k-й функции 

базиса. 

Радиальные функции 
2
( )
( ),

m
m
m
n
k
R
t Q
t
ρ =
 где 
2;
t = ρ
 
;
2
n
m
k
−
=
 

( )
m
k
Q
t  – полином от t степени k, являются полиномами по основанию ρ, содержащими степени ρn, ρn–2, …, ρm, и связаны с полиномами Якоби (вырожденными гипергеометрическими функциями). 
Радиальные полиномы определяются формулами 

2
2

0

(
)!
( )
( 1)
,
!(
)!(
)!
2
2

(1)
1.

n m

m
s
n
s
n
s

m
n

n
s
R
n
m
n
m
s
s
s

R

−

−

=

−
ρ =
−
ρ
+
−
−
−

=

∑
 

Для вычисления значений радиальных полиномов Цернике 
может использоваться их связь с гипергеометрической функцией 
F(a, b, c, z): 

2
2 ( )
(
1,
,
1;
),
m
m
k
R
BF m
k
k m
+
ρ =
+
+
−
+
ρ
 

где 

2
(
1)(
2) ...
2
( 1)
;
!
2

n m
m

m
n
m
m
B
n
m

−
+


+
+




= −
ρ
−







 

2
(
1) (
1)
( , , ; )
1
...
1!
2! (
1)
ab
a a
b b
F a b c z
z
z
c
c c
+
+
= +
+
+
+
 

Применяя схему Горнера, окончательное выражение для вычисления значений радиальных полиномов получают в виде [21] 

[
] ]

2
2
2

2

(
1)(
)
(
2)(
1)
( )
1
1
1
2(
2)

(
2 )( 1)
... 1
...
.
(
)

m
m
k
m
k
k
m
k
k
R
B
m
m

m
k
k m
k

+


+
+
−
+
+
− +

ρ =
+
ρ
+
ρ ×


+
+






+
−


×
+
ρ



+
 

 

Из ортогональности полиномов 
( )
m
n
R
ρ  и 
( )
m
k
Q
t  следуют выражения  

1

0

1
( )
( )
2(
1)

m
m
n
n
nn
R
R
d
n

′
′
ρ
ρ ρ ρ =
δ
+
∫