Модели входных воздействий и элементов в электрических цепях
Покупка
Новинка
Тематика:
Электроэнергетика. Электротехника
Автор:
Енин Виталий Николаевич
Год издания: 2010
Кол-во страниц: 40
Дополнительно
Кратко описаны математические модели входных воздействий в электрических цепях и физические и математические модели элементов цепей. Подчеркивается связь рассматриваемых моделей элементов с видом входных воздействий и режимами работы цепей.
Для самостоятельной работы студентов приборостроительных специальностей при изучении курса "Теория электрических цепей".
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана В. Н. Енин Модели входных воздействий и элементов в электрических цепях Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 2010
УДК 321.3(075.8) ББК 31.2 Е63 Рецензенты: В. В. Каратаев, А. Б. Красовский Енин В. Н. Е63 Модели входных воздействий и элементов в электрических цепях : учеб. пособие / В. Н. Енин.— М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. — 39, [1] с.: ил. Кратко описаны математические модели входных воздействий в электрических цепях и физические и математические модели элементов цепей. Подчеркивается связь рассматриваемых моделей элементов с видом входных воздействий и режимами работы цепей. Для самостоятельной работы студентов приборостроительных специальностей при изучении курса «Теория электрических цепей». УДК 321.3(075.8) ББК 31.2 Учебное издание Енин Виталий Николаевич Модели входных воздействий и элементов в электрических цепях Редактор О. М. Королева Корректор М. А. Василевская Компьютерная верстка М. А. Голуба Подписано в печать 24.02.2010. Формат 60×84 {16. Усл. печ. л. 2,33. Тираж 20 экз. Изд. № 43. Заказ Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н. Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010
Введение Полное и строгое математическое описание электромагнитных процессов в электротехническом устройстве можно получить на основе уравнений электродинамики Максвелла, оперирующих с векторами электромагнитного поля E, H, D, B. Однако решение уравнений Максвелла, описывающих процессы даже в простейших электротехнических устройствах, является достаточно сложной математической процедурой, поэтому во многих практических случаях электротехники и радиотехники, когда можно выделить отдельно элементы, связанные только с процессом преобразования электромагнитной энергии в тепловую или с одним видом поля (электрическим E или магнитным H), устройство можно рассматривать как электрическую цепь, описываемую не векторными величинами поля, а интегральными скалярными величинами: электрическим напряжением u E dℓ, током i s J ds, где J E, магнитным потоком Φ s B ds, т. е. потоком магнитной индукции B, электри ческим зарядом q s D ds, т. е. потоком электрического смещения D ee0E. Электрической цепью называют совокупность связанных элементов (компонентов), предназначенную для генерации, передачи, преобразования и потребления электрической энергии или информации, процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий тока и напряжения. В цепях, предназначенных для передачи и преобразования информации, обязательно осуществляется передача и преобразование энергии, но уровень передаваемой при этом энергии существенно ниже уровня передаваемой энергии в «силовых» энергосетях. Задача анализа электрической цепи состоит в определении реакции цепи на заданное воздействие при известной схеме цепи и параметрах ее элементов. В общем случае любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с несколькими входами и выходами: • входные переменные воздействия — источники энергии в системах электроэнергетики, источники сигналов в электронике, 3
устройства подключения (отключения) цепи или ее отдельных участков (устройства коммутации); • выходные переменные или реакции — токи и напряжения на отдельных участках или во всех ветвях цепи; • внутренние переменные — переменные состояния цепи. В ряде частных случаев задача анализа сводится к определению реакции на отдельном (или единственном) выходе при воздействии на отдельном (или единственном) входе. В таких случаях соотношения между реакцией и воздействием определяют с помощью функции цепи или передаточной характеристики. В зависимости от характера входных воздействий и постановки задачи анализ процессов проводится либо непосредственно во временн´ой области, когда входные воздействия и цепь описываются уравнениями, переменные в которых зависят от времени, или с промежуточным переходом в частотную область, когда переменные зависят от частоты. Соответственно, и математические модели входных воздействий и цепей строятся либо во временной, либо в частотной области. В пособии рассматривается методика выбора математических моделей элементов цепи в зависимости от постановки задачи анализа и показывается, что правильный выбор моделей существенно упрощает анализ.
Глава 1 Основные понятия и определения электрической цепи 1.1. Электрический ток, напряжение, энергия, мощность Электрическим током проводимости ipt q называют явление упорядоченного движения электрических зарядов. Количественно ток ipt q в любой момент времени t определяется как скорость изменения заряда во времени через сечение проводни ка ipt q dq dt . Причиной возникновения и протекания тока является напряжение u12 pt q или разность электрических потенциалов f1 pt q f2 pt q между точками 1 и 2 цепи. В теории цепей эти понятия тождественны: u12 pt q f1 pt q f2 pt q. Мгновенная мощность p pt q участка цепи с напряжением u12 pt q и током ipt q определяется выражением p pt q u12 pt qipt q. При условии выбора одинаковых положительных направлений для upt q и ipt q положительному знаку p pt q соответствует режим потребления энергии w pt q. Энергия, поступившая в участок цепи за промежуток времени от t0 до t, определяется соотношением w t t0 p ptq dt t t0 uptqiptq dt. 1.2. Физические и математические модели линейных пассивных двухполюсных элементов При описании процессов в реальных электрических цепях элементы (компоненты) цепи заменяются упрощенными (идеализированными) элементами, процессы в которых связаны лишь с одним видом запасаемой энергии или с выделением теплоты. 5
Элементы цепи по числу полюсов (зажимов), с помощью которых они соединяются между собой, делятся на двухполюсные и многополюсные, активные (источники энергии или сигналов) и пассивные (приемники энергии). Математической моделью элемента цепи называют уравнение (или систему уравнений), которое описывает поведение элемента в терминах напряжения и тока. Минимальный набор базовых пассивных двухполюсников — резистивный элемент (сопротивление), емкостный элемент (емкость), индуктивный элемент (индуктивность) — обусловлен отражением соответствующих сторон электромагнитных процессов преобразования и накопления энергии. Резистивный элемент (сопротивление) Сопротивление — это идеализированный элемент, необратимо преобразующий электромагнитную энергию в тепловую (физическая модель). Схемная модель сопротивления представлена на рис. 1, б. u = R i u i u R i а б Рис. 1 В общем случае сопротивление характеризуется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) upiq, представленной (для линейного элемента) на рис. 1, а. Для этого случая upt q Ript q, p1q где R — сопротивление, Ом. Выражение (1) — математическая модель резистора во временной области. Мощность, потребляемая в резисторе, всегда положительна: p pt q Ri2 pt q. 6
Емкостный элемент (емкость) Емкость — это идеализированный элемент, запасающий энергию в электрическом поле (физическая модель). В общем случае емкость характеризуется кулонвольтной характеристикой q puq, представленной на рис. 2, а. Схема элемента изображена на рис. 2, б. q = C · u q u uC C iC а б Рис. 2 Для линейного элемента q pt q CuC pt q, p2q где C — емкость, Ф. Связь между током iC и напряжением uC определяется соотношением: iC pt q dq pt q dt C duC pt q dt . p3q Обратная зависимость uC piC q имеет вид uC pt q 1 C t ∞ iC ptq dt uC p0q 1 C t 0 iC ptq dt. p4q Выражения (3), (4) — математические модели емкости во временной области. Энергия электрического поля, запасаемая в емкости за время p0, t q, wC t 0 p pt q dt t 0 C duC dt uC ptq dt Cu2 C pt q 2 q2 C pt q 2C , p5q а мгновенная мощность pC pt q dwC pt q dt C d dt pu2 C pt qq 1 2C d dt pq2 C q. p6q 7
Из (6) следует, что мгновенное (скачкообразное) изменение энергии WC pt q во времени (напряжения uC pt q или заряда qC pt qq невозможно, так как в этом случае источник энергии должен обладать бесконечно большой мощностью, что физически нереализуемо. Индуктивный элемент (индуктивность) Индуктивность — это идеализированный элемент, запасающий энергию в магнитном поле (физическая модель). В общем случае индуктивность характеризуется зависимостью потокосцепления Ψ WкΦ (где Φ — магнитный поток; Wк — число витков катушки индуктивности) от тока i, создающего это потокосцепление — Ψ = L · i Ψ i uL L iL а б Рис. 3 вебер-амперная характеристика Ψ piq. Для линейного элемента (рис. 3) Ψ Li, где коэффициент пропорциональности L также называется индуктивностью. Связь uL piL q между напряжением и током в индуктивности для указанных положительных направлений u, i определяется по закону электромагнитной индукции в виде uL dΨ dt L diL dt , p7q или iL 1 L t ∞ uL ptq dt iL p0q 1 L t 0 uptq dt. p8q Выражения (7) и (8) представляют собой математическую модель индуктивности во временной области. 8
Энергия магнитного поля (wL), запасаемая в индуктивном элементе, определяется выражением wL t 0 uptqiptq dt t 0 LiL diL dt dt L i2 2 Ψ2 2L, p9q а мгновенная мощность pL pt q dwL dt L 2 d dt pi2 q 1 2L d dt pΨ2 q. p10q Из (9) и (10) следует, что мгновенное изменение во времени wL (соответственно, тока в индуктивности iL или потокосцепления Ψ) физически не реализуемо. 1.3. Физические и схемные модели двухполюсных источников энергии Для построения схем замещения реальных источников энергии используются их идеализированные модели: источник электродвижущей силы ept q (источник напряжения upt qq и источник тока J pt q. Физически в источниках энергии сторонними (по отношению к электрическим) силами совершается работа по перемещению положительных зарядов от точки с более низким к точке с более высоким потенциалом (для отрицательных зарядов — наоборот). В физике понятие ЭДС определяется как работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда от точки с более низким к точке с более высоким потенциалом. В теории электрических цепей источником ЭДС называют идеализированный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока. На рис. 4, а представлена схема такого источника, а на рис. 4, б — его ВАХ. Источником тока называют идеализированный элемент, ток J pt q которого не зависит от напряжения (рис. 5), где а — схема элемента; б — его ВАХ. Условились считать, что стрелки ept q, J pt q (рис. 4, 5) указывают направление перемещения положительных зарядов внутри источников, а это однозначно определяет полярность («», «») 9
(+) e(t) u(t) (–) e u i (+) J(t) u(t) (–) u J i а б а б Рис. 4 Рис. 5 зажимов, поэтому на схемных моделях источников полярность зажимов не указывается. 1.4. Модели электрической цепи и основные режимы ее работы Графическое изображение цепи в виде условных изображений идеализированных моделей элементов цепи и связей между ними называют схемой замещения, или схемой цепи (схемная модель). Любая электрическая цепь считается заданной, если известны параметры ее элементов (компонентов) и схема соединений элементов между собой (топология схемы). В соответствии с этим уравнения цепи делятся на два класса: компонентные и топологические. Математической моделью схемы называется система уравнений, объединяющая компонентные и топологические уравнения. Компонентные уравнения описывают каждый элемент в виде соотношений между токами и напряжениями на его зажимах, топологические уравнения определяются структурой соединения элементов и законами равновесия электрических сил. К топологическим уравнениям относятся, в частности, уравнения, составленные по законам Кирхгофа. При использовании математической модели цепи во временной области и «естественной» формы задания входных воздействий во временной области (в виде функций времени) процессы в цепи описываются системой дифференциальных уравнений, так как компонентные уравнения элементов L, C представляют собой интегродифференциальные выражения. Для сравнительно простых цепей (описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка) математическая сторона анализа не вызывает существен 10