Модели входных воздействий и элементов в электрических цепях

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана

В. Н. Енин

Модели входных воздействий
и элементов в электрических цепях

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2010

УДК 321.3(075.8)
ББК 31.2
Е63

Рецензенты: В. В. Каратаев, А. Б. Красовский

Енин В. Н.
Е63
Модели входных воздействий и элементов в электрических цепях : учеб. пособие / В. Н. Енин.— М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. — 39, [1] с.: ил.

Кратко описаны математические модели входных воздействий в электрических цепях и физические и математические модели элементов цепей.
Подчеркивается связь рассматриваемых моделей элементов с видом входных воздействий и режимами работы цепей.
Для самостоятельной работы студентов приборостроительных специальностей при изучении курса «Теория электрических цепей».

УДК 321.3(075.8)
ББК 31.2

Учебное издание

Енин Виталий Николаевич

Модели входных воздействий и элементов
в электрических цепях

Редактор О. М. Королева
Корректор М. А. Василевская
Компьютерная верстка М. А. Голуба

Подписано в печать 24.02.2010. Формат 60×84 {16. Усл. печ. л. 2,33.
Тираж 20 экз. Изд. № 43. Заказ

Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н. Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010

Введение

Полное и строгое математическое описание электромагнитных
процессов в электротехническом устройстве можно получить на основе уравнений электродинамики Максвелла, оперирующих с векторами электромагнитного поля E, H, D, B. Однако решение
уравнений Максвелла, описывающих процессы даже в простейших
электротехнических устройствах, является достаточно сложной математической процедурой, поэтому во многих практических случаях электротехники и радиотехники, когда можно выделить отдельно
элементы, связанные только с процессом преобразования электромагнитной энергии в тепловую или с одним видом поля (электрическим E или магнитным H), устройство можно рассматривать
как электрическую цепь, описываемую не векторными величинами поля, а интегральными скалярными величинами: электрическим
напряжением u
E dℓ, током i
s
J ds, где J
E, магнитным

потоком Φ
s
B ds, т. е. потоком магнитной индукции B, электри
ческим зарядом q
s
D ds, т. е. потоком электрического смещения
D
ee0E.
Электрической цепью называют совокупность связанных элементов (компонентов), предназначенную для генерации, передачи,
преобразования и потребления электрической энергии или информации, процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий тока и напряжения.
В цепях, предназначенных для передачи и преобразования информации, обязательно осуществляется передача и преобразование
энергии, но уровень передаваемой при этом энергии существенно
ниже уровня передаваемой энергии в «силовых» энергосетях.
Задача анализа электрической цепи состоит в определении реакции цепи на заданное воздействие при известной схеме цепи
и параметрах ее элементов.
В общем случае любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с несколькими входами и выходами:
• входные переменные воздействия — источники энергии в системах электроэнергетики, источники сигналов в электронике,

3

устройства подключения (отключения) цепи или ее отдельных
участков (устройства коммутации);
• выходные переменные или реакции — токи и напряжения
на отдельных участках или во всех ветвях цепи;
• внутренние переменные — переменные состояния цепи.
В ряде частных случаев задача анализа сводится к определению
реакции на отдельном (или единственном) выходе при воздействии
на отдельном (или единственном) входе. В таких случаях соотношения между реакцией и воздействием определяют с помощью
функции цепи или передаточной характеристики.
В зависимости от характера входных воздействий и постановки задачи анализ процессов проводится либо непосредственно
во временн´ой области, когда входные воздействия и цепь описываются уравнениями, переменные в которых зависят от времени, или
с промежуточным переходом в частотную область, когда переменные зависят от частоты. Соответственно, и математические модели
входных воздействий и цепей строятся либо во временной, либо
в частотной области.
В пособии рассматривается методика выбора математических
моделей элементов цепи в зависимости от постановки задачи анализа и показывается, что правильный выбор моделей существенно
упрощает анализ.

Глава 1

Основные понятия и определения
электрической цепи

1.1. Электрический ток, напряжение, энергия, мощность

Электрическим током проводимости ipt q называют явление упорядоченного движения электрических зарядов.
Количественно ток ipt q в любой момент времени t определяется
как скорость изменения заряда во времени через сечение проводни
ка ipt q
dq

dt .
Причиной возникновения и протекания тока является напряжение u12

pt q или разность электрических потенциалов
f1

pt q
f2

pt q
между точками 1 и 2 цепи. В теории цепей эти понятия тождественны:
u12

pt q
f1

pt q
f2

pt q.

Мгновенная мощность p pt q участка цепи с напряжением u12

pt q
и током ipt q определяется выражением

p pt q
u12

pt qipt q.

При условии выбора одинаковых положительных направлений для
upt q и ipt q положительному знаку p pt q соответствует режим потребления энергии w
pt q.
Энергия, поступившая в участок цепи за промежуток времени

от t0 до t, определяется соотношением w
t

t0
p ptq dt
t

t0
uptqiptq dt.

1.2. Физические и математические модели линейных
пассивных двухполюсных элементов

При описании процессов в реальных электрических цепях элементы (компоненты) цепи заменяются упрощенными (идеализированными) элементами, процессы в которых связаны лишь с одним
видом запасаемой энергии или с выделением теплоты.

5

Элементы цепи по числу полюсов (зажимов), с помощью которых они соединяются между собой, делятся на двухполюсные
и многополюсные, активные (источники энергии или сигналов)
и пассивные (приемники энергии). Математической моделью элемента цепи называют уравнение (или систему уравнений), которое
описывает поведение элемента в терминах напряжения и тока.
Минимальный набор базовых пассивных двухполюсников — резистивный элемент (сопротивление), емкостный элемент (емкость),
индуктивный элемент (индуктивность) — обусловлен отражением
соответствующих сторон электромагнитных процессов преобразования и накопления энергии.

Резистивный элемент (сопротивление)

Сопротивление — это идеализированный элемент, необратимо
преобразующий электромагнитную энергию в тепловую (физическая модель). Схемная модель сопротивления представлена на
рис. 1, б.

 

 u = R i 

u

i

 

 u 

R    i

а
б

Рис. 1

В общем случае сопротивление характеризуется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) upiq, представленной (для линейного
элемента) на рис. 1, а. Для этого случая

upt q
Ript q,
p1q

где R — сопротивление, Ом.
Выражение (1) — математическая модель резистора во временной области. Мощность, потребляемая в резисторе, всегда положительна: p pt q
Ri2

pt q.

6

Емкостный элемент (емкость)

Емкость — это идеализированный элемент, запасающий энергию
в электрическом поле (физическая модель). В общем случае емкость
характеризуется кулонвольтной характеристикой q
puq, представленной на рис. 2, а. Схема элемента изображена на рис. 2, б.

 q = C · u 

q

u

 

 uC

C     iC

а
б

Рис. 2
Для линейного элемента

q
pt q
CuC

pt q,
p2q

где C — емкость, Ф.
Связь между током iC и напряжением uC определяется соотношением:
iC

pt q
dq
pt q
dt

C duC

pt q

dt
.
p3q

Обратная зависимость uC

piC

q имеет вид

uC

pt q
1

C

t

∞
iC

ptq dt
uC

p0q
1

C

t

0

iC

ptq dt.
p4q

Выражения (3), (4) — математические модели емкости во временной области.
Энергия электрического поля, запасаемая в емкости за время

p0, t q,

wC

t

0
p pt q dt
t

0
C duC

dt uC

ptq dt
Cu2
C

pt q

2

q2
C

pt q

2C ,
p5q

а мгновенная мощность

pC

pt q
dwC

pt q

dt

C d

dt

pu2
C

pt qq
1

2C
d
dt

pq2
C

q.
p6q

7

Из (6) следует, что мгновенное (скачкообразное) изменение
энергии WC

pt q во времени (напряжения uC

pt q или заряда qC

pt qq
невозможно, так как в этом случае источник энергии должен обладать бесконечно большой мощностью, что физически нереализуемо.

Индуктивный элемент (индуктивность)

Индуктивность — это идеализированный элемент, запасающий
энергию в магнитном поле (физическая модель). В общем случае индуктивность характеризуется зависимостью потокосцепления
Ψ
WкΦ (где Φ — магнитный поток; Wк — число витков катушки индуктивности) от тока i, создающего это потокосцепление —

 Ψ = L · i

Ψ

i

 

 uL

L   iL 

а
б

Рис. 3

вебер-амперная характеристика Ψ piq. Для линейного элемента
(рис. 3) Ψ
Li, где коэффициент пропорциональности L также
называется индуктивностью. Связь uL

piL

q между напряжением
и током в индуктивности для указанных положительных направлений u, i определяется по закону электромагнитной индукции в виде

uL

dΨ

dt

L diL

dt ,
p7q
или

iL

1

L

t

∞
uL

ptq dt
iL

p0q
1

L

t

0

uptq dt.
p8q

Выражения (7) и (8) представляют собой математическую модель индуктивности во временной области.

8

Энергия магнитного поля (wL), запасаемая в индуктивном элементе, определяется выражением

wL

t

0
uptqiptq dt
t

0
LiL
diL
dt dt
L i2

2

Ψ2

2L,
p9q

а мгновенная мощность

pL

pt q
dwL

dt

L

2
d
dt

pi2

q
1

2L
d
dt

pΨ2

q.
p10q

Из (9) и (10) следует, что мгновенное изменение во времени wL
(соответственно, тока в индуктивности iL или потокосцепления Ψ)
физически не реализуемо.

1.3. Физические и схемные модели
двухполюсных источников энергии

Для построения схем замещения реальных источников энергии используются их идеализированные модели: источник электродвижущей силы ept q (источник напряжения upt qq и источник
тока J
pt q. Физически в источниках энергии сторонними (по отношению к электрическим) силами совершается работа по перемещению положительных зарядов от точки с более низким к точке
с более высоким потенциалом (для отрицательных зарядов — наоборот). В физике понятие ЭДС определяется как работа сторонних
сил по перемещению единичного положительного заряда от точки
с более низким к точке с более высоким потенциалом.
В теории электрических цепей источником ЭДС называют идеализированный элемент, напряжение на зажимах которого не зависит от тока. На рис. 4, а представлена схема такого источника,
а на рис. 4, б — его ВАХ.
Источником тока называют идеализированный элемент, ток J
pt q
которого не зависит от напряжения (рис. 5), где а — схема элемента;
б — его ВАХ.
Условились считать, что стрелки ept q, J
pt q (рис. 4, 5) указывают направление перемещения положительных зарядов внутри
источников, а это однозначно определяет полярность («», «»)

9

 (+)  
   e(t)   u(t) 
 (–) 

 e 

  u

i

(+)  
  J(t)    u(t) 
(–) 

  u

J  
       i 

а
б
а
б
Рис. 4
Рис. 5

зажимов, поэтому на схемных моделях источников полярность зажимов не указывается.

1.4. Модели электрической цепи
и основные режимы ее работы

Графическое изображение цепи в виде условных изображений
идеализированных моделей элементов цепи и связей между ними
называют схемой замещения, или схемой цепи (схемная модель).
Любая электрическая цепь считается заданной, если известны
параметры ее элементов (компонентов) и схема соединений элементов между собой (топология схемы). В соответствии с этим
уравнения цепи делятся на два класса: компонентные и топологические. Математической моделью схемы называется система уравнений, объединяющая компонентные и топологические уравнения.
Компонентные уравнения описывают каждый элемент в виде
соотношений между токами и напряжениями на его зажимах, топологические уравнения определяются структурой соединения элементов и законами равновесия электрических сил. К топологическим уравнениям относятся, в частности, уравнения, составленные
по законам Кирхгофа.
При использовании математической модели цепи во временной области и «естественной» формы задания входных воздействий
во временной области (в виде функций времени) процессы в цепи описываются системой дифференциальных уравнений, так как
компонентные уравнения элементов L, C представляют собой интегродифференциальные выражения. Для сравнительно простых цепей (описываемых дифференциальными уравнениями невысокого
порядка) математическая сторона анализа не вызывает существен
10