Исследование трехфазных электрических цепей

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

В.И. Волченсков, О.И. Мисеюк 
 
 
ИССЛЕДОВАНИЕ  
ТРЕХФАЗНЫХ  
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 
 
 
Методические указания к выполнению  
лабораторной работы по курсу 
 «Электротехника и электроника» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 

УДК 621.3 
ББК 31.2 
В68 
Ре це нз е нт А.А. Мальцев 

 
Волченсков В.И. 
  
 
Исследование трехфазных электрических цепей : метод. 
указания к выполнению лабораторной работы по курсу «Электротехника и электроника» / В.И. Волченсков, О.И. Мисеюк. — 
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 34, [2] с. : ил. 
 
Рассмотрены основные методы расчета трехфазных электрических цепей и порядок построения векторных диаграмм. Дано краткое описание лабораторного стенда. Приведен порядок выполнения 
работы. 
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Электротехника и электроника». 
Рекомендовано Научно-методической комиссией НУК ФН 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 621.3 
ББК 31.2 
 
 
 

Учебное издание 

Волченсков Валерий Иванович 
Мисеюк Ольга Ивановна 

Исследование трехфазных электрических цепей 
 
 
Редактор О.М. Королева 
Компьютерная верстка С.А. Серебряковой 

Подписано в печать 28.06.2011. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 2,09. Тираж 500 экз. Изд. № 116. Заказ         . 
 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 
 
 
 
 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

 В68 

Цель работы — экспериментальное исследование основных 
режимов работы трехфазной цепи при соединении приемников в 
звезду и в треугольник. 

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

Трехфазной системой называют совокупность трех однофазных цепей, в которых действуют три ЭДС одинаковой частоты и 
амплитуды, сдвинутые по фазе относительно друг друга на 120°. 
Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и поэтому расчет цепей и исследование процессов в 
них осуществляют теми же методами и приемами (символический 
метод, векторные, топографические диаграммы), которые применяют для расчета цепей синусоидального тока.  
Анализ трехфазных цепей рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм на комплексной плоскости.  
Трехфазные электрические цепи в зависимости от числа проводов, соединяющих источник и приемник, бывают четырехпроводными и трехпроводными. Все величины, относящиеся к источникам, записывают с индексами, обозначенными прописными 
латинскими буквами (A, B, C, N), а величины, относящиеся к приемникам, — с индексами, обозначенными строчными буквами  
(a, b, c, n — для схемы соединения приемников в звезду и ab, bc, 
ca — для схемы соединения приемников в треугольник). 

1.1. Трехфазный источник напряжения 

Источником трехфазного напряжения является трехфазный 
синхронный генератор. В пазах статора синхронного генератора 
расположены три самостоятельные катушки, плоскости которых 

смещены в пространстве друг относительно друга на 120°. Магнитное поле вращающегося ротора наводит в катушках статора 
синусоидальные ЭДС одинаковой амплитуды и частоты, сдвинутые по фазе друг относительно друга на 120° (рис. 1): 

 

( )
sin
;

( )
sin(
120 );

( )
sin(
240 )
sin(
120 ).

A
m

В
m

С
m
m

e
t
E
t

e
t
E
t

e
t
E
t
E
t

=
ω

=
ω −
°

=
ω −
° =
ω +
°

 

 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1 
 
 
 
 
Рис. 2 
Рис. 1. Временная диаграмма ЭДС трехфазного источника 
Рис. 2. Векторная диаграмма 
ЭДС трехфазного источника  
 
Синусоидально изменяющиеся функции ЭДС можно представить в комплексной форме  

 
0 ;
j
A
E
Ee
°
=

120 ;
j
В
E
Ee−
°
=

240
120 ,
j
j
С
E
Ee
Ee
−
°
°
=
=


а также на векторной диаграмме (рис. 2). 
Если максимальное значение ЭДС достигается последовательно в фазах А, В, С, в цепи наблюдается прямая последовательность 
чередования фаз. 
Фазные обмотки синхронного генератора можно соединить в 
звезду или в треугольник.  
При соединении обмоток трехфазного генератора в звезду 
(рис. 3) их концы (X, Y, Z) соединяются в один общий узел N, называемый нейтральной точкой генератора. Потенциал нейтраль

ной точки принимают равным нулю: 
0.
N
ϕ
=
Провода, соединяющие начала фазных обмоток генератора (A, B, C) и приемника (a, b, 
c), называют линейными, а провод, соединяющий нейтральные 
точки генератора N и приемника n, — нейтральным. 

 
 
Напряжения между линейными проводами UAB, UBC, UCA и токи 
в них IA, IB, IC называют линейными, а напряжения между линейными проводами и нейтральным проводом UA, UB, UC — фазными 
напряжениями. 
Трехфазную цепь с нейтральным проводом называют четырехпроводной (см. рис. 3). Для схемы соединения в звезду соотношения между линейными и фазными напряжениями источника  
выражают уравнениями, составленными по второму закону Кирхгофа и записанными в комплексной форме: 

 
;
AB
A
B
U
U
U
=
−
 
;
BC
B
C
U
U
U
=
−

.
CA
C
A
U
U
U
=
−


Считаем, что источник электрической энергии имеет большую 
мощность и потенциалы его точек А, В и С не зависят от токов в приемнике. Построим векторную диаграмму напряжений трехфазного 
источника на комплексной плоскости. Для этого действительную ось 
(+1) направим вверх, а мнимую ось (+j) — влево (рис. 4). Покажем 
потенциалы точек А, В и С на векторной диаграмме, для чего построим три вектора фазных напряжений источника 
,
A
U
,
B
U
.
C
U

ϕ 
Рис. 3. Схема соединения обмоток трехфазного 

Рис. 4. Векторная диаграмма 
напряжений трехфазного источника, соединенного в звезду 

Рис. 5. Схема соединения обмоток трехфазного генератора в треугольник 

 
Вектор фазного напряжения источника 
A
Uнаправим по дейст
вительной оси вверх. Вектор напряжения фазы В источника 
B
U

отстает от напряжения фазы А источника 
A
Uна угол 120°. Отло
жим вектор 
B
Uна 120° по ходу часовой стрелки от вектора 
.
A
U

Вектор напряжения фазы С источника 
C
Uотстает от напряже
ния фазы А источника 
A
Uна угол 240°. Отложим вектор 
C
U, 

сдвинув его на 240° относительно вектора 
A
Uпо ходу часовой 
стрелки.  
Таким образом получим на векторной диаграмме потенциалы 
точек А, В, С. Соединим векторами эти точки и получим линейные 
напряжения 
,
AB
U
,
BC
U
.
CA
UСтрелки этих векторов на комплексной плоскости должны быть направлены в сторону первой буквы 
индекса: для 
AB
U— к точке А (см. рис. 4). 
На векторной диаграмме видно, что линейные напряжения 
больше фазных в 
3  раз. Четырехпроводная трехфазная сеть обеспечивает потребителю одновременно два независимых стандартных 
напряжения: фазное и линейное, различающиеся в 
3  раз. Номинальные напряжения сетей электропитания стандартизованы и составляют 380, 220, 127 В. 

При соединении фаз обмоток трехфазного генератора в треугольник (рис. 5) соединяются соответствующие начала и концы 
фаз: X и B, Y и C, Z и A, что позволяет иметь три независимых линейных напряжения: 
,
AB
U
 
,
BC
U
 
.
CA
U
 

1.2. Трехфазный потребитель 

Приемники электрической энергии могут быть соединены по 
схемам: звезда с нейтральным проводом; звезда без нейтрального 
провода; треугольник. В каждой схеме различают симметричный и 
несимметричный режимы. При симметричном режиме комплексные сопротивления всех фаз одинаковы, а при несимметричном — 
разные. 
Различают следующие виды нагрузок: 

ф
ф

j

a
b
c
Z
Z
Z
Z e

ϕ
=
=
=
 — симметричная нагрузка; 

ф
a
b
c
Z
Z
Z
Z
=
=
=
 — равномерная нагрузка;  

ф
a
b
c
ϕ = ϕ = ϕ = ϕ  — однородная нагрузка. 

При анализе трехфазной цепи необходимо прежде всего установить схему соединения фаз приемника и выяснить вид нагрузки: 
симметричная или несимметричная.  
Анализ трехфазной цепи в симметричном режиме сводится к 
расчету тока одной фазы и выполняется аналогично расчету цепи 
однофазного синусоидального тока. Так, ток в фазе а при соединении приемника в звезду или в звезду с нейтральным проводом равен 
,
a
a
a
I
U
Z
=
а в фазе ab при соединении приемника в тре
угольник равен 
.
ab
ab
ab
I
U
Z
=
В остальных фазах значения токов 
(их модули) те же, а начальные фазы сдвинуты друг относительно 
друга на 120°. 

1.2.1. Соединение приемников в звезду с нейтральным проводом 

Примем, что сопротивления линейных и нейтрального проводов равны нулю (
л
0
Z =
), тогда справедливы соотношения 

 
;
A
A
a
E
U
U
=
=
 
;
B
B
b
E
U
U
=
=
 
.
C
C
c
E
U
U
=
=

Рис. 6. Схема соединения в звезду с нейтральным проводом 
 
В четырехпроводных цепях (рис. 6) к приемникам подведены 
два напряжения: линейное 
л
U  (напряжение между линейными проводами) и фазное 
ф
U
 (напряжение между линейным и нейтральным 

проводами), которые связаны между собой соотношением  

 
л
ф
3
U
U
=
. 

В комплексной форме фазные напряжения источника и приемника выражаются формулами  

 
0
ф
;
j
A
a
U
U
U e
°
=
=
 
120
ф
;
j
B
b
U
U
U e−
°
=
=
 

 
240
120
ф
ф
j
j
C
c
U
U
U e
U e
−
°
°
=
=
=
 

(здесь начальная фаза напряжения фазы А принята равной 0°). Для 
четырехпроводной трехфазной цепи справедливо уравнение, полученное из первого закона Кирхгофа для узла N: 

 
.
A
B
C
N
I
I
I
I
+
+
=


В схеме соединения в звезду с нейтральным проводом при несимметричной нагрузке режим работы каждой фазы независим от 

работы других фаз и потенциал нейтральной точки приемника при 
любой нагрузке равен нулю (
0
n
N
ϕ = ϕ
=
), а токи в фазах — 

 
;
a
A
a
I
U
Z
=
 
;
b
B
b
I
U
Z
=
 
.
c
C
c
I
U
Z
=


Ток в нейтральном проводе может быть найден по векторной 
диаграмме или рассчитан по формуле  

 
.
N
a
b
c
I
I
I
I
=
+
+


Рассмотрим последовательность построения векторных диаграмм для схемы соединения приемника в звезду с нейтральным проводом на примере цепи с несимметричной неоднородной нагрузкой 
(
;
c
a
Z
jX
= −
 
;
b
Z
R
=
 
к
к
c
Z
R
jX
=
+
), схема которой приведена на рис. 7.  
 
 
 
 
 
 
 
 
                                           Рис.7 
 
 
 
Рис. 7. Схема соединения трехфазного несимметричного приемника 
в звезду с нейтральным проводом 

Рис. 8. Векторная диаграмма токов 
и напряжений несимметричного 
трехфазного приемника, соединенного в звезду с нейтральным проводом 
 
Построение проведем на комплексной плоскости (+1; +j). Действительную ось (+1) направим вверх, а мнимую ось (+j) — влево. 
Обычно на одном графике строят совмещенные векторные диаграммы напряжений и токов. 
Строим три вектора фазных напряжений приемника 
,
a
U
,
b
U

с
Uаналогично рассмотренному в подразд. 1.1 (см. рис. 4) построению векторов фазных напряжений источника (рис. 8). 

Таблица 1 
 

Элементы 
Мгновенные  
значения 
Векторная  
диаграмма 

Закон Ома  
в комплексной 
форме 
ϕ = ψu – ψi 

 
sin

sin

r
m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω
 
 
R
U
IR
=

ϕ = 0° 

 

sin

sin(
90 )

L
m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω −
°  
 
(
)
L
L
U
I jX
=

ϕ = 90° 

 

sin

sin(
90 )

С
m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω +
°  
 
(
)
C
C
U
I
jX
=
−

ϕ = – 90° 

 

sin

sin(
)

m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω − ϕ  
 
(
)
L
U
I R
jX
=
+

0 < ϕ < 90° 

 

sin

sin(
)

m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω + ϕ  
 
(
)
C
U
I R
jX
=
−

–90° < ϕ < 0° 

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ