Методы расчета двухзеркальных устойчивых лазерных резонаторов

П.А. Носов, Н.М. Вереникина, В.А. Лазарев

Методы расчета двухзеркальных 
устойчивых лазерных резонаторов

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

УДК 535.8
ББК 32.86
        Н84

Издание доступно в электронном виде по адресу
ebooks.bmstu.press/catalog/112/book1908.html

Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника»
Кафедра «Лазерные и оптико-электронные системы»

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Носов, П. А. 
Методы расчета двухзеркальных устойчивых лазерных резо
наторов : учебно-методическое пособие / П. А. Носов, Н. М. Вереникина, В. А. Лазарев. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2018.— 27, [5] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-5026-8

Представлены основные понятия и выражения, необходимые 
для расчета пространственных параметров гауссова пучка, формируемого устойчивыми двухзеркальными резонаторами и оптической системой. Рассмотрен пример выполнения домашнего задания по дисциплинам «Основы квантовой электроники», 
«Физические основы лазеров» и «Лазеры», приведены критерии 
его оценки, а также условия и варианты домашнего задания.

Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
12.03.02 «Оптотехника», 12.03.05 «Лазерная техника и лазерные 
технологии» и по специальности 12.05.01 «Электронные и оптико-электронные приборы и системы специального назначения», 
изучающих дисциплины «Основы квантовой электроники», 
«Физические основы лазеров», «Лазеры».

УДК 535.8 
ББК 32.86 

ISBN 978-5-7038-5026-8

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Н84

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель учебно-методического пособия по дисциплинам «Основы 
квантовой электроники», «Физические основы лазеров» и «Лазеры» — изучение методов анализа устойчивых двухзеркальных лазерных резонаторов и оптических систем и приобретение студентами практических навыков расчета пространственных параметров 
формируемого гауссова пучка в ходе выполнения домашнего задания.
Учебно-методическое пособие содержит необходимые сведения 
для расчета пространственных параметров гауссова пучка, формируемого устойчивыми двухзеркальными резонаторами и оптическими системами. В гл. 1 приведены основные понятия, рассмотрены два метода анализа резонаторов, а также расчет параметров 
гауссова пучка, преобразованного оптической системой. 
Использование рассмотренных методов расчета в гл. 2 поясняет пример выполнения домашнего задания. Для подготовки 
и успешной защиты домашнего задания также приведены соответствующие вопросы и задания.
После освоения материалов учебно-методического пособия 
студенты, обучающиеся по направлениям подготовки 12.03.02 
«Оптотехника», 12.03.05 «Лазерная техника и лазерные технологии» 
и по специальности 12.05.01 «Электронные и оптико-электронные 
приборы и системы специального назначения», приобретут:

 • знание методов анализа двухзеркальных устойчивых лазерных 
резонаторов произвольной конфигурации и оптических систем;

 • знание принципов формирования лазерного пучка резонатором и оптической системой;

 • практические навыки расчета пространственных параметров 
гауссова пучка, формируемого устойчивым двухзеркальным лазерным резонатором произвольной конфигурации и оптической системой;

 • способность анализировать профессиональную информацию, выделять в ней главное, структурировать, оформлять и представлять результаты расчетов и исследований в виде отчета с обоснованными выводами и рекомендациями.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

m n p
, ,
 
 — поперечные и продольный индексы, характеризующие

поперечные электромагнитные TEM (Transverse ElectroMagnetic) колебания

λ  
— длина волны излучения

zк  
— конфокальный параметр пучка

П 
— перетяжка пучка

hп  
— радиус перетяжки пучка

zп  
— положение перетяжки пучка относительно передней 

фокальной плоскости линзы

sп  
— положение перетяжки пучка относительно преломляю
щей поверхности или передней главной точки оптического элемента (системы)

2θ 
— угловая расходимость пучка

h  
— радиус пучка

RΦ  
— радиус кривизны волнового фронта пучка

z  
— продольная координата

q  
— комплексный параметр гауссова пучка

R  
— радиус кривизны зеркала резонатора

lа.э  
— длина активного элемента

nа э.  
— показатель преломления активного элемента

L  
— длина резонатора

αг  
— коэффициент продольного увеличения преобразующего

оптического элемента (системы)

′f  
— заднее фокусное расстояние оптического элемента (сис
темы)

Φ  
— оптическая сила оптического элемента

F, 
′
F  
— передняя и задняя фокальные точки оптического эле
мента (системы)

H, 
′
H  
— передняя и задняя главные точки оптического эле
мента (системы)

n  
— показатель преломления среды

A, B, C, D — коэффициенты матрицы M резонатора (оптической 
системы)
ОП1, ОП2 — входная и выходная опорные плоскости оптического
элемента (системы)

Iрез  
— инвариант резонатора

i  
— мнимая единица

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Лазеры состоят из активного элемента, системы накачки и сис- 
темы положительной обратной связи. В большинстве приборов 
квантовой электроники обратная связь организуется с помощью 
открытого оптического резонатора. Резонатор представляет собой 
оптическую систему, осуществляющую многократное прохождение 
потоков излучения через активный элемент. Основные функции 
резонатора — организация положительной обратной связи и формирование заданных энергетических, частотных и поляризационных характеристик лазерного излучения. Внешняя (внерезонаторная) оптическая система обеспечивает требуемые пространственные 
параметры пучка.

1.1. Основные понятия и расчетные соотношения

Резонаторы впервые применили для возбуждения колебаний 

в радиотехнике. При этом использовали объемные резонаторы — 
колебательные системы, представляющие собой замкнутую металлическую оболочку, ограничивающую некоторый объем диэлектрика. Объемные резонаторы выпускают двух типов: закрытые и 
открытые. В лазерной технике для генерации излучения оптического диапазона применяют открытые резонаторы. Открытые 
резонаторы отличаются от резонаторов СВЧ-диапазона тем, что 
имеют размеры, значительно превышающие длину волны генерируемого излучения. В отличие от закрытых, у открытых резонаторов отсутствуют боковые отражающие стенки, что позволяет поместить в резонатор активный элемент достаточно большого 
объема. Зеркала резонатора обеспечивают многократное прохождение излучения через активный элемент и его усиление.
В лазерных резонаторах распространяются поперечные электромагнитные TEM (Transverse Electro-Magnetic) колебания, у которых проекция векторов электрической и магнитной индукции 
на ось распространения равна нулю: Ez = 0, H z = 0. Такие коле

бания принято характеризовать тремя целочисленными индексами 
m,  n  и p,  где m  и n  (0, 1, 2, …) — поперечные индексы, а p  (1, 
2, 3, …) — продольный (или аксиальный) индекс.
Лазерные резонаторы разделяют на устойчивые (формируют 
эрмит- и лагерр-гауссовы пучки) и неустойчивые (формируют 
сферические волны). В приближении геометрической оптики неустойчивые резонаторы формируют гомоцентрический пучок, 
преобразование которого оптической системой описывается формулами для классического излучения. Для описания формирования 
лазерного пучка устойчивыми резонаторами и последующего его 
преобразования оптической системой эти формулы неприменимы, 
поэтому необходимо использовать формулы лазерной оптики.
Рассмотрим двухзеркальный резонатор со сферическими зеркалами с радиусами кривизны R1  и R2. Зеркала находятся на 
расстоянии l  друг от друга, между ними расположен активный 
элемент длиной lа э.  с показателем преломления nа э. . Здесь и далее 
будем считать, что вывод излучения из резонатора производят 
через правое зеркало. Такому резонатору соответствует эквивалентный «пустой» резонатор длиной L
l
l
n
n
= −
−
(
)
а э
а э
а э
.
.
.
1
 (рис. 1.1).

Условие устойчивости двухзеркального «пустого» резонатора 
имеет вид

0
1
1 2
<
<
g g
,

где g1, g2  — параметры устойчивости резонатора: g
L R
j
j
= −
1
,  

j =1 2
, .  При расчете лазерных резонаторов необходимо учитывать 

Рис. 1.1. Оптическая схема лазерного резонатора:
а — резонатор с активным элементом; б — «пустой» лазерный резонатор, формирующий гауссов пучок; З1, З2 — зеркала резонатора

принятое в лазерной технике правило знаков для радиусов кривизны сферических зеркал: радиусы кривизны вогнутых сферических 
зеркал считаются положительными, выпуклых — отрицательными.
Основная поперечная мода TEM00  пучка, формируемого 
устойчивыми резонаторами, имеет гауссово распределение амплитуды (соответственно, и интенсивности) поля. Такие пучки называют гауссовыми. Для гауссова пучка зависимости полудиаметра 
(по уровню интенсивности 1
2
e ) и радиуса кривизны волнового 
фронта в сечении z  имеют вид

 
h z
h
z
z
R
z
z
z

z
( ) =
+





( ) =
+
п
к

к
 
1

2
2
2
;
,
Φ
 
(1.1)

где z = 0  соответствует сечению, в котором пучок имеет минимальный радиус (перетяжку), равный h
z
п
к
=
λ
π;  zк  — конфокальный параметр гауссова пучка; λ  — длина волны излучения.

Пространственная структура гауссова пучка представлена на 
рис. 1.2. Из зависимости (1.1) для h z( )  видно, что на расстоянии 

z
z
= ± к  радиус гауссова пучка в 
2  раз больше, чем в перетяжке. 

Плотность мощности гауссова пучка на расстоянии конфокального параметра в 2 раза меньше, чем в перетяжке. Поскольку при 
z
z
≤
к  поперечные размеры пучка незначительно изменяются 

с изменением z, величину 2zк  также называют длиной перетяжки или ближней зоной гауссова пучка. При z
z
≫
к  поперечный 
размер пучка заметно увеличивается с ростом z  и при больших z  

Рис. 1.2. Пространственная структура гауссова пучка

пропорционален z .  Это так называемая дальняя зона гауссова 
пучка.
Для характеристики гауссова пучка в дальней зоне вводят параметр угловой расходимости. Его определяют как угол между 
асимптотами гиперболы (см. рис. 1.2): 

2
2
2
2
2
θ
λ
π
=
( ) ≈
( ) =
=
→∞
→∞
lim
lim
.
z
z
h z

z

h z

z
h
z
z
 arctg
п

к
к

В лазерной технике параметры гауссова пучка hп  и 2θ называют стандартными, если они определены по уровню интенсивности 1
2
e .

Согласно зависимости (1.1) для радиуса кривизны волнового 
фронта, гауссов пучок, формируемый устойчивыми резонаторами, 
представляет собой волну, отличную как от сферической, так и от 
плоской волны. При z = 0  и на бесконечности (
)
z → ∞  волновой 

фронт пучка плоский. Радиус кривизны волнового фронта минимален на расстоянии zк  от перетяжки пучка и равен 2zк.

В параксиальном приближении пространственные параметры 
гауссова пучка, формируемого двухзеркальными «пустыми» резонаторами, могут быть рассчитаны методами эквивалентного конфокального резонатора и матричной оптики.

1.2. Метод эквивалентного конфокального резонатора

Метод состоит в том, что для устойчивого резонатора с произвольными L, R1  и R2  можно найти такой воображаемый симметричный конфокальный резонатор, в наборе волновых поверхностей которого найдутся две поверхности, совпадающие по 
кривизне и расстоянию между ними с отражающими поверхностями рассматриваемого резонатора. Такой воображаемый конфокальный резонатор называется эквивалентным конфокальным резонатором. Расстояние между зеркалами и радиусы кривизны зеркал 
эквивалентного конфокального резонатора равны двум конфокальным параметрам формируемого рассматриваемым резонатором 
гауссова пучка. 
Метод эквивалентного конфокального резонатора дает следующие выражения для расчета конфокального параметра zк  и положения перетяжки гауссова пучка относительно правого зеркала 
sп2  (см. рис. 1.1, б):

z
L L
R
L
R
R
R
L

R
R
L
L
g g
g g

g
g
g
к =
−
(
)
−
(
)
+
−
(
)

+
−
(
)
=
−
(
)

+
−

1
2
1
2

1
2
2
1 2
1 2

1
2
2

1

2 1 2
2
g
(
)

;   (1.2)

s
L
L
R
R
R
L
L
g
g

g
g
g g
п2
1

1
2

1
2

1
2
1 2
2

1

2
=
−
+
−
=
−
(
)

+
−
.

В частном случае плоскосферического резонатора (
)
R
L
2 >
 

имеем следующее выражение для конфокального параметра пучка: 

z
L R
L
к =
−
(
)
2
.

Из выражения (1.2) следует, что значение zк
2  положительно не 
при всех конструктивных параметрах резонатора L,  R1  и R2. 
Конструктивные параметры резонатора, при которых квадрат 
конфокального параметра пучка положительный, соответствуют 
устойчивым резонаторам; если же его значение отрицательно, лазерный резонатор называется неустойчивым.
Радиус пучка на зеркалах резонатора может быть рассчитан 

с помощью зависимости h z( )  или по следующим формулам:

h
R
R
L
R
L
L
R
R
L
L
g
g
g g

h
R
R
L
R

З1

2

1
2

1
1
2

4
2

1
1 2
4

2
1

2

1
=
−
−
+
−
=
−
(
)

=
−
−

λ
π
λ
π

λ
π

;

З
L
L
R
R
L

L
g
g
g g
1
2

4
1

2
1 2
4
1
+
−
=
−
(
)

λ
π
.

Частотный спектр устойчивых резонаторов с прямоугольной 
формой апертуры зеркал определяется выражением

ν
π
mnр
c
L
p
m
n
g g
=
+
+
+




2
1
2
1 2
arccos
,

где c  — скорость света в вакууме.

1.3. Матричный метод

Матричный метод анализа лазерных резонаторов состоит в расчете для заданных конструктивных параметров резонатора матрицы полного обхода резонатора, по коэффициентам которой рассчитывают параметры формируемого пучка. Для составления