Математическое моделирование лазерных локационных систем

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н.В. Барышников, М.Л. Белов 
 
 
Математическое моделирование  
лазерных локационных систем 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 681.7.08(075.8) 
ББК 32.86-5 
        Б26 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/112/book/1339 
Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника» 
Кафедра «Лазерные и оптико-электронные системы» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия  
Б26 
Барышников, Н. В.  
Математическое моделирование лазерных локационных систем : учебное пособие / Н. В. Барышников, М. Л. Белов. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 57, [3] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4291-1 
Описано использование процедур математического моделирования на различных этапах проектирования лазерных локационных 
систем. Рассмотрены методы математического моделирования для 
задач распространения лазерного излучения в атмосфере при его 
нелинейном взаимодействии со средой распространения и прохождении зоны сильной турбулентности, а также формирования моделей входных сигналов лазерных локационных систем, исследования 
работы блоков управления и обработки данных измерений лазерных систем, анализа пространственной структуры дифракционного 
распределения  излучения лазеров. 
Для студентов 5–6-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Лазерная техника и лазерные технологии». 
 
УДК 681.7.08(075.8) 
 
ББК 32.86-5 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4291-1                                          МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Сокращение сроков и повышение эффективности разработки 
оптико-электронных систем различного назначения (в том числе 
лазерных локационных систем) является актуальной в настоящее 
время задачей. 
Ключевой аспект обеспечения промышленного развития России в ХХI в. — широкое внедрение высоких технологий в процессы производства всех уровней.  
В отрасли приборостроения в условиях жесткой рыночной 
конкуренции успеха добиваются компании, выпускающие в минимальные сроки качественную высокотехнологичную продукцию. 
Следовательно, цикл проектирования нового изделия должен 
быть минимален при высоком качестве принимаемых технических решений. Поэтому при проектировании, создании и доводке 
конструкции до требуемых эксплуатационных характеристик 
разработчики широко используют математическое моделирование, существенно сокращающее натурные испытания. При этом 
сами испытания опытных образцов рассматриваются в качестве 
окончательного подтверждения правильности технических решений, принятых на основе математического моделирования. 
Особое значение этот подход имеет при проектировании таких сложных оптико-электронных комплексов, как лазерные локационные системы.  
В учебном пособии описано использование процедур математического моделирования на различных этапах проектирования 
лазерных локационных систем. Рассмотрены методы математического моделирования для задач распространения лазерного 
излучения в атмосфере при его нелинейном взаимодействии со 
средой распространения и при прохождении зоны сильной турбулентности, а также методы формирования моделей входных сигналов лазерных локационных систем, исследования работы блоков управления и обработки данных измерений лазерных систем, 
анализа пространственной структуры дифракционного распределения излучения лазеров.  
3 

Контрольные вопросы предназначены для самостоятельной 
проверки студентами уровня усвоения учебного материала.  
В конце пособия приведена литература, позволяющая получить 
дополнительные сведения по теме издания. 
Цель пособия — на конкретных примерах показать возможности математического моделирования на разных этапах проектирования сложных оптико-электронных систем.  
В результате освоения изложенного в пособии учебного материала студенты будут: 
знать: 
 виды математического моделирования; 
 достоинства метода математического моделирования; 
 этапы создания математических моделей; 
 требования, которым должна отвечать математическая модель; 
 значение моделирования при проектировании и разработке 
лазерных оптико-электронных систем; 
 особенности моделирования при проектировании сложных 
оптико-электронных систем; 
 области применения математического моделирования при 
разработке лазерных оптико-электронных систем; 
 примеры применения метода математического моделирования при разработке лазерных оптико-электронных систем; 
уметь: 
 выбрать адекватный решаемой задачи вид математического 
моделирования; 
 использовать математическое моделирование при курсовом 
и дипломном проектировании; 
владеть навыками планирования этапов математического моделирования. 
Пособие адресовано студентам 5–6-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающим дисциплины «Разработка лазерных систем 
локации», «Разработка лазерных систем дистанционного зондирования», «Лазерные приборы локального экологического мониторинга», «Оптико-электронные системы экомониторинга». 
 
 
4 

1. ОСНОВЫ  
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 
Под моделью (лат. modulus — мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, 
который в процессе познания (изучения) замещает объекторигинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования 
типичные его черты. Процесс построения и использования модели называют моделированием*.  
Моделирование — метод исследования, при котором исследуемый объект-оригинал (исследуемая сложная система) замещается более простым объектом-моделью, отражающим наиболее существенные свойства оригинала с точки зрения решаемой 
задачи.  
Исторически научное знание представляется в буквенноцифровой (знаковой) форме. 
Знаковым называют моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида (схемы, 
графики, чертежи, иероглифы, руны, наборы символов) и включающее также совокупность законов и правил, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и элементами.  
Примером знакового моделирования является моделирование 
с помощью математических соотношений. Математическое моделирование — идеальное научное знаковое моделирование, при 
котором описание объекта осуществляется на языке математики, 
а исследование модели проводится с использованием математических методов. 
В настоящее время математическое моделирование стало эффективным средством исследования сложных систем, оценки их 
работоспособности, точности и потенциальных возможностей в 
____________ 
* Смысл и цели моделирования. URL: http://www.pmtf.msiu.ru/chair31/ 
students/berkov/matmod13.pdf  (дата обращения 24.11.2014). 
5 

различных условиях применения*. Благодаря известным достоинствам метода математического моделирования (простота реализации на ЭВМ численного эксперимента, контролируемость условий 
численного эксперимента и воспроизводимость его результатов) 
оно превратилось в универсальный метод, широко применяемый в 
различных областях науки и техники [1–3], в том числе при проектировании сложных систем различного назначения**. 
В кратком виде методологию математического моделирования отражает знаменитая триада «модель — алгоритм — программа», сформулированная академиком А.А. Самарским — основоположником отечественного математического моделирования. 
Эта методология, разработанная школой А.А. Самарского, получила свое развитие в виде «вычислительного эксперимента» — 
одной из информационных технологий, предназначенной для 
изучения явлений, когда натурный эксперимент оказывается 
слишком дорогим и сложным***. 
Во многих важных областях исследований натурный эксперимент невозможен, поскольку он либо запрещен (например, при 
изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, 
при изучении экологических явлений), либо просто неосуществим (например, при изучении астрофизических явлений).  
Вычислительный эксперимент, в отличие от натурных экспериментов, позволяет накапливать результаты, полученные при 
исследовании какого-либо круга задач, а затем быстро и гибко 
применять их при решении задач в совершенно других областях. 
Этим свойством характеризуются универсальные математические 
модели.  
Проведение вычислительного эксперимента можно условно 
разделить на два этапа. После первого этапа вычислительного 
____________ 
* См.: Математическое моделирование импульсных характеристик рассеяния объектов. URL: http://llis.ru/science/sci-math-mod/sci-math-mod-plsresp (дата обращения 24.11.2014), а также Лабунец Л.В. Математическое и 
физическое моделирование переходных характеристик 3D-объектов в однопозиционной 
системе 
оптической 
локации. 
URL: 
http://bmstusm5.narod.ru/labunec/Ttr1_At.pdf (дата обращения 24.11.2014). 
** Системы автоматизации инженерных расчетов. URL: http://www. 
cadfem-cis. ru/?id=14 (дата обращения 24.11.2014). 
*** Филинов Е.Н. История математического моделирования и технологии вычислительного эксперимента. URL: http://www.business-process.ru/ 
retro/po/po_math_model_ exper.htm (дата обращения 24.11.2014). 
6 

эксперимента при необходимости модель уточняется как в 
направлении ее усложнения (учет дополнительных эффектов и 
связей в изучаемом явлении), так и упрощения (выяснение, какими 
закономерностями и связями в изучаемом явлении можно пренебречь). На втором этапе цикл вычислительного эксперимента 
повторяется до тех пор, пока модель не будет соответствовать 
тому объекту, для которого она составлена. 
Для исследования характеристик процесса функционирования 
любой системы математическими методами, включая машинные, 
должна быть проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель. Исходными при построении математической модели объекта являются совокупность данных о 
моделируемом объекте и условия, при которых необходимо провести моделирование.  
Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования объекта и требуемой 
достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект 
лишь с некоторой степенью приближения к действительности*. 
Наиболее важно определить цели моделирования. В зависимости от целевого назначения различные оптико-электронные 
системы работают в разных условиях, при различных входных 
воздействиях и к ним предъявляются разные требования. Поэтому 
цели математического моделирования для них тоже будут разными. 
Точная формулировка целей исследования позволяет максимально упростить используемую при моделировании математическую модель, исключив из нее второстепенные факторы. 
Математическое моделирование можно подразделить на аналитическое, имитационное и комбинированное**.  
При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых 
____________ 
* Филинов Е.Н. Указ. соч.  
** См.: Основные понятия теории моделирования и классификация 
видов моделирования. URL: http://zxshader.narod2.ru/D7/V58/ (дата обращения 24.11.2014), а также Основные понятия теории моделирования. 
URL: 
http://www. 
visteh. 
net/metod/pmkmp/osnovnie_ponyatia_teorii_ 
modelirovaniya.pdf (дата обращения 24.11.2014). 
7 

функциональных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована тремя методами:  
1) аналитический метод — стремятся получить в общем виде 
явные зависимости для искомых характеристик. При аналитическом моделировании изучают математические (абстрактные) модели реального объекта в виде уравнений, приводящих к их точному решению. 
Наиболее полное исследование процесса функционирования 
системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, 
параметрами и переменными. Однако такие зависимости удается 
получить только для сравнительно простых систем. Исследование сложных систем аналитическим методом вызывает значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми.  
Поэтому при использовании аналитического метода существенно 
упрощают первоначальную модель, чтобы изучить хотя бы общие свойства системы. Исследование на упрощенной модели 
аналитическим методом позволяет получить ориентировочные 
результаты, которые используются в дальнейшем для определения более точных оценок другими методами; 
2) численный метод — не имея возможности решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при 
конкретных начальных данных. Численный метод позволяет исследовать более широкий класс систем (по сравнению с аналитическим методом), но при этом полученные решения носят частный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ;  
3) качественный метод — не имея решения в явном виде, 
можно найти некоторые свойства решения (например, оценить 
устойчивость решения). В отдельных случаях исследователя 
могут удовлетворить результаты качественного метода анализа 
математической модели. Качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для 
оценки эффективности различных вариантов систем управления.  
При имитационном моделировании реализующий модель  
алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во 
8 

времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Это дает возможность по 
исходным данным получить сведения о состояниях процесса в 
определенные моменты времени, позволяющие оценить характеристики системы. Основное преимущество имитационного моделирования (по сравнению с аналитическим) — возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют 
учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, 
многочисленные случайные воздействия и другие факторы, которые вызывают затруднения при аналитических исследованиях.  
В настоящее время имитационное моделирование — наиболее 
эффективный метод исследования сложных систем, а часто и 
единственный практически доступный метод получения информации о поведении таких систем, особенно на этапе их проектирования.  
Если результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы, являются 
реализациями случайных величин и функций, то для нахождения 
характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации.  
В этом случае в качестве метода машинной реализации имитационной модели целесообразно использовать метод статистического 
моделирования. Под статистическим моделированием понимается воспроизведение с помощью электронно-вычислительных машин функционирования вероятностной модели некоторого объекта*.  
Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование 
при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства 
аналитического и имитационного моделирования. При этом проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, 
где это возможно, используются аналитические модели, а для 
остальных строятся имитационные модели. 
____________ 
* Статистические методы исследования зависимостей. Имитационное 
моделирование. URL: http://vfkomd.ru/docs/ lections/ matem%20190700/ L316-monte_karlo.pdf (дата обращения 24.11.2014). 
9 

Этапы создания математических моделей: 
1) постановка проблемы и ее качественный анализ — выделение важнейших черт и свойств объекта и абстрагирование от 
второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез 
(хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие 
объекта;  
2) построение математической модели — формализация проблемы, представление ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т. д.). 
Обычно сначала определяется (или задается в случае применения 
формальных моделей) основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей).  
Неправильно полагать, что чем больше факторов (т. е. входных и выходных переменных состояния) учитывает модель, тем 
она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно 
сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и т. д. Излишняя сложность 
модели затрудняет процесс исследования. Нужно не только учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование 
с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели 
нередко рост затрат на моделирование может превысить рост 
эффекта от внедрения моделей в задачи управления);  
3) математический анализ модели — выяснение общих 
свойств модели. При математическом анализе применяются чисто математические приемы исследования. Здесь наиболее важным моментом является доказательство существования решений 
в сформулированной модели. Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; 
следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы 
ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели решаются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, 
каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в 
зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы 
тенденции их изменения и т. д.;  
10