Определение внутренних силовых факторов и расчет на прочность и жесткость деталей приборных устройств

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
В.А. Жаров 
Определение внутренних силовых факторов 
и расчет на прочность и жесткость 
деталей приборных устройств 
 
 
Учебное пособие 
 
Под редакцией  В.А. Городничева 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 539.3./6(075.8) 
ББК 30.121 
        Ж35 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/115/book1278.html 
 
Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника» 
Кафедра «Элементы приборных устройств» 
 Ж35 
Рекомендовано  
Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве учебного пособия  
 
 
 Жаров, В. А. 
Определение внутренних силовых факторов и расчет на прочность и жесткость деталей приборных устройств : учебное пособие / В. А. Жаров ; под ред. В. А. Городничева. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015.  —  89, [3] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4232-4 
Изложены методические вопросы создания расчетных схем, соответствующих проектируемым деталям приборных устройств, на основе анализа и использования приемлемых упрощающих допущений для всей совокупности внешних нагрузок, действующих на деталь, ее опор с учетом 
формы и материала. Показано, как методически выполнить переход от реальной проектируемой детали или ее конструктивной схемы к расчетной 
схеме, являющейся основой для построения эпюр внутренних силовых 
факторов. Представлены основные формулы расчетов на прочность и жесткость для различных видов нагружения стержневых расчетных схем, приведены примеры их расчетов.  
Учебное пособие соответствует Федеральным государственным образовательным стандартам высшего образования третьего поколения. 
Для студентов второго и третьего курсов приборостроительных специальностей, программы дисциплин которых содержат вопросы конструирования приборных устройств различного назначения и их элементов. 
 
УДК 539.3./6(075.8) 
ББК 30.121 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4232-4                                               МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 

Предисловие 
Цель автора пособия состоит в том, чтобы помочь студентам, 
выполняющим конструирование деталей приборов, правильно осуществить переход от реальной детали к соответствующей ей расчетной схеме, на основе представленных теоретических и методических 
положений найти реакции опор и построить эпюры для этой схемы, а 
затем по построенным и проверенным эпюрам выполнить расчеты на 
прочность и жесткость. 
Объединение деталей в сборочные единицы, рассматриваемое в 
процессе разработки конструкции проектируемого устройства, при 
переходе от конкретных деталей к их расчетным схемам требует знания тех или иных видов опор, которые соответствуют данным сборочным единицам, и определения реакций в этих опорах для 
дальнейшей работы с расчетными схемами  деталей. 
В базовых курсах лекций при  рассмотрении вопросов конструирования типовых деталей приборных устройств, их расчетов 
на прочность и жесткость используют эпюры внутренних силовых 
факторов (в.с.ф.) и напряжений (например, расчет валов на прочность и крутильную и изгибную жесткость, расчет зуба зубчатого 
колеса на прочность и определение его основной характеристи-   
ки — модуля, расчет элементов соединительных и предохранительных муфт, штифтов и шпонок и др.). 
Помимо расчета типовых деталей приборных устройств студентам  при выполнении курсовых работ и проектов приходится выполнять  расчеты на прочность и жесткость различных (нетиповых) 
элементов (например, упругого чувствительного элемента — четырехлопастной пружины, S-образной пружины и др.). Это требует 
умения строить эпюры в.с.ф. для них и использовать полученные 
эпюры в процессе проектирования и разработки конструкций эле3 

ментов. В пособии рассмотрены методические аспекты, представляющие основу решения задач построения эпюр, и приведены примеры 
построения эпюр не только для типовых расчетных схем (балка, 
плоская и пространственная рамы), но и для некоторых нетиповых 
деталей приборных устройств, а также рассмотрена сравнительно 
сложная задача расчета перемещений системы упругих контактов в 
реле.   
Учебное пособие соответствует программам дисциплин  «Основы конструирования приборов»  и «Прикладная механика» кафедры 
«Элементы приборных устройств» МГТУ  им.  Н.Э. Баумана  и содержит материал, расширяющий и дополняющий базовые курсы лекций по указанным программам. 
 
4 

ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ 
При решении вопросов прочности и жесткости деталей приборов и машин, возникающих в процессе их конструирования, обычно рассматривают не сами детали, а их расчетные схемы, которые 
получают с использованием допускаемых упрощений. Так поступают вследствие имеющегося бесконечного разнообразия форм, 
размеров, материалов и особенностей реальных деталей.  
В результате применяемых упрощений форм деталей их разнообразие сводится к трем формам: стержню (для которого размеры по двум пространственным осям много меньше, чем размер по 
третьей оси), пластине (для нее размеры по двум осям больше, чем 
размер по третьей оси) и массивному телу (для которого размеры 
по трем пространственным осям примерно одинаковы). Такой 
подход очень часто позволяет применять одну и ту же расчетную 
схему ко многим деталям. 
Наиболее широкое распространение имеют расчетные схемы, 
элементы которых представляют в форме стержней (стержневые 
расчетные схемы). Используют одноосные, плоские и пространственные, стержневые расчетные схемы (так называемые плоские 
и пространственные рамы). 
При расчетах на прочность и жесткость в результате допускаемых упрощений применительно к реальным материалам деталей 
конструкционный материал в большинстве случаев представляют как 
сплошной, однородный, изотропный, упругий. 
Реальные детали приборов и машин при их функционировании и 
даже в результате сборки в сборочные единицы при создании изделий подвергаются действию внешних сторонних нагрузок, а также 
реакций в виде сил и моментов в местах контакта с другими деталями — опорах (т. е. реакции опор для рассматриваемой детали также являются внешними силами и моментами). При составлении и 
дальнейшем применении расчетных схем внешние нагрузки и реакции опор, как и сами опоры, допустимо упрощают (схематизируют) и 
получают расчетные схемы со схематизированными опорами и 
внешними нагрузками. 
5 

При проектировании деталей важно знать, в каких местах возникают максимальные напряжения, ведь эти места наиболее опасны с 
точки зрения возможности разрушения или появления недопустимых 
пластических деформаций. 
Для определения  напряжений и деформаций, возникающих при 
действии внешних нагрузок в различных местах расчетной схемы, 
первостепенное значение имеют анализ появления в них в.с.ф. и 
установление их значений. Внутренние силовые факторы — силы и 
моменты в материале детали, находящейся под действием внешних 
нагрузок и реакций опор, обусловлены возникновением там механических напряжений и соответствуют характеру ее деформаций. 
Расчеты на прочность по напряжениям, расчеты на жесткость проводят с использованием в.с.ф. — обычно максимальных  изгибающих и крутящих моментов, а также продольных (растягивающих 
и сжимающих) и поперечных (перерезывающих) сил. По максимальным значениям в.с.ф. определяют максимальные значения 
напряжений и деформаций. 
Для нахождения в.с.ф. используют метод сечений, в соответствии с которым применительно к стержневой расчетной схеме ее 
элемент — стержень мысленно расчленяют на части поперечными 
сечениями, для которых определяют значения в.с.ф. 
В основу применения метода сечений и определения с его помощью в.с.ф. положено  условие, что деталь прибора (машины) и 
соответствующая расчетная схема находятся в состоянии статического равновесия при действии внешних нагрузок и реакций опор. 
Статическое равновесие детали обеспечивается совокупностью условий: 
1) необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма 
всех n сил  
,
i
F  действующих на нее, была равна нулю: 
n

 


1
0,
i
i
F

или в проекциях на оси:  
n
n


                        (1) 


 


 
iz
i
F
1
0;
n

1
0;
1
0;
ix
i
F
iy
i
F


6 


2) сумма всех внешних n моментов  
,
i
M
 действующих на деталь 
относительно любой ее точки, также должна быть равна нулю: 

 


i
i
M
1
0,
n

или в проекциях на оси: 
n
n
n
 


  


  


                    (2) 
1
0;
1
0;
1
0.
ix
i
M
iy
i
M
iz
i
M



Необходимо помнить, что действие силы не изменится, если требуется перенести ее вектор из точки приложения на детали (на расчетной схеме) в некоторую другую точку этой детали на линии 
действия силы. Если необходим перенос вектора силы в некоторую 
точку на направление, параллельное направлению действия этой силы, то перенос выполняют в соответствии с правилом Штейнера: 
действие силы не изменится при ее параллельном переносе в некоторую точку, если в этой точке одновременно приложить момент от переносимой силы (плечом силы при этом является расстояние от 
рассматриваемой точки до оси, по которой была направлена сила, что 
также определяет направление момента). Такие переносы сил необходимы при рассмотрении статического равновесия как целой расчетной схемы, так и мысленно отделяемых от нее частей при использовании метода сечений. 
В соответствии с очевидным принципиальным положением, составляющим основу метода сечений, у расчетной схемы, находящейся в состоянии статического равновесия, любая мысленно отделенная 
от нее часть также находится в состоянии статического равновесия. 
При таком мысленном отделении в сечении, по которому оно производится, для обеспечения статического равновесия отделяемой части 
должны существовать (и имеются) в.с.ф., определяемые из приведенных выше выражений (1), (2), которые в этом случае становятся 
уравнениями. 
Использование метода сечений при работе с расчетными схемами базируется на принципе начальных размеров. Детали приборов и машин, находящиеся под действием внешних нагрузок и 
реакций опор в состоянии статического равновесия, упруго деформируются (изменяют упруго свои форму и размеры). В подав7 

ляющем большинстве случаев эти изменения незначительны (хотя 
при этом могут возникать опасно большие напряжения), и тогда 
можно считать, что форма и размеры деталей остаются при действии 
нагрузок первоначальными и неизменными. В противном случае требовалось бы учитывать перемещения одних частей детали относительно других ее частей (что меняло бы форму и размеры детали),  
т. е. невозможно было бы использовать одну и ту же расчетную схему применительно к различным нагрузкам и деталям. 
Перед началом работы по определению в.с.ф. со стержневой 
расчетной схемой связывают прямоугольную систему координат 
так, что одна из ее осей (обычно ось z) располагается по оси одного 
из стержней. Две другие оси координат также по возможности 
располагают по направлениям других стержней (если они имеются) в расчетной схеме. Для одностержневой расчетной схемы ось y 
обычно направляют вверх. 
Далее в расчетной схеме, нагруженной внешними нагрузками 
(силами, моментами, распределенными вдоль осей стержней нагрузками), определяют реакции опор из уравнений статического равновесия (1), (2). Вначале направления действия реакций (сил и моментов) 
выбирают произвольно, но, если в результате решения уравнений будут получены отрицательные значения этих реакций, то первоначально выбранные направления их действия должны быть изменены 
на противоположные, и тогда значения реакций можно будет считать 
положительными. 
В итоге получают расчетную схему в состоянии статического 
равновесия, для которой известны все действующие на нее внешние 
силовые факторы — внешние нагрузки и реакции опор. 
Расчетная схема может быть представлена в виде стержня 
(стержней), состоящих из участков. Участком считают часть стержня 
с приложенными на нем в известных местах некоторыми известными 
внешними силовыми факторами, такую, что в пределах данного 
участка состав этих силовых факторов остается неизменным (при 
решении других задач участками могут считаться части стержня, 
например, с различными по форме и размерам сечениями или выполненные из разных материалов). 
При решении задачи определения в.с.ф. участки рассматривают как следующие по оси стержня один за другим в некотором 
условно принятом направлении, например, справа налево, сверху 
вниз или наоборот. 
8 

После представления стержневой расчетной схемы в виде 
участков, используя метод сечений, на этих участках мысленно 
проводят сечения, расположенные по нормали к оси стержня, и 
начало системы координат, связанной ранее со стержнем, также 
мысленно переносят в начало участка. При проведении сечения от 
стержня мысленно отсекают некоторую его часть (каждый раз) и 
рассматривают ее состояние статического равновесия (поскольку 
вся стержневая расчетная схема находится в состоянии статического равновесия), при котором для его обеспечения в сечении 
необходимо наличие в.с.ф. — сил и моментов (пар сил). Внутренние силы в сечении обычно представляют не в виде вектора некоторой равнодействующей, а сразу в виде ее проекций N, Qx и Qy на 
оси системы координат. Одна из проекций — N имеет направление 
по оси стержня, например по оси z (по нормали к плоскости сечения), и является для него растягивающей или сжимающей силой  
(в зависимости от направления по отношению к сечению), а две другие проекции располагаются в плоскости сечения и направлены по 
двум другим осям координат (по осям x и y) и для стержня являются 
поперечными (перерезывающими) силами Qx и Qy. Внутренний момент в сечении также представляют относительно его центра в виде 
проекций, причем проекция на ось координат, совпадающую с осью 
стержня (например, z), является крутящим моментом 
кр
М
 (
),
z
М
 а 
две другие проекции 
x
М  и 
y
М  — это изгибающие моменты, действующие соответственно в плоскостях yz и xz.  
Внутренние силовые факторы: N, 
,
x
Q
 
,
y
Q
 
,
x
М
 
,
y
М
 
z
М  определяют из уравнений, аналогичных (1), (2). Значения в.с.ф. находят, 
используя граничные значения для плеч сил и отрезков распределения распределенной нагрузки, обозначаемой q.  
При разбиении стержней расчетной схемы на участки   для каждого из них получают свои уравнения статического равновесия — 
переход от одного участка к другому сопровождается изменением 
этих уравнений, так как при этом добавляются те или иные внешние 
силовые факторы. Отметим также, что, согласно третьему закону 
Ньютона, любой внутренней силе и любому моменту в мысленно 
проведенном сечении в одной отсеченной части стержня соответствуют равные по модулю и противоположные по направлению 
сила и момент в другой части стержня. 
9 

Значения в.с.ф. обычно вычисляют для начала и конца каждого участка, а также для сечений, где они принимают на участке 
максимальные значения (такие сечения являются опасными —  
в них можно ожидать разрушения стержня или появления пластических деформаций, недопустимых при эксплуатации реальной 
детали). Положение опасных сечений и максимальные значения 
в.с.ф. в них удобно устанавливать с помощью эпюр в.с.ф., которые 
строят как функции изменения в.с.ф. по длине участка стержня, 
полученные из уравнений равновесия этого участка. Для решения 
вопросов прочности кроме эпюр в.с.ф. широко используют эпюры 
напряжений. 
При построении эпюр кроме значений в.с.ф. важны их знаки, которые характеризуют направления соответствующих деформаций. 
Нормальную силу N, если она растягивающая по отношению к 
мысленно отсеченной части стержня, считают положительной, соответственно, если эта сила сжимающая, то ее считают отрицательной (рис. 1, а), что находит отражение при построении эпюр. 
Знак силы N имеет значение в первую очередь при расчетах на 
прочность деталей, выполненных из некоторых материалов (чугун, 
керамика, легированные стали и др.), которые по-разному сопротивляются растяжению и сжатию; тогда прочность деталей при 
раcтяжении и сжатии может существенно различаться. 
Знаки в.с.ф. — поперечной силы Q и изгибающего момента 
изг
M
 на их эпюрах зависят от направления осей системы координат, 
связанной с  мысленно отсекаемой частью стержня. Если ось y 
направлена вверх, а ось z — по продольной оси стержня налево,  то 
при отсечении от него некоторой части на правой стороне сечения 
силу 
,
у
Q
 для которой предварительно было выбрано направление, 
совпадающее с положительным направлением оси y и значение которой было получено положительным при решении уравнений равновесия для этой отсеченной части, при построении эпюры также считают положительной. Если ось z направлена по продольной оси 
стержня направо, то на правой стороне сечения сила 
,
у
Q
 значение 
которой при решении уравнений равновесия было получено предварительно положительным, при построении эпюры должна считаться  
отрицательной, если она была направлена в отрицательном направлении оси y (рис. 1, б). 
10