Математические модели движения и системы технического зрения мобильных робототехнических комплексов

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
В.П. Носков, В.И. Рубцов, И.В. Рубцов  
Математические модели движения  
и системы технического зрения  
мобильных робототехнических комплексов 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 681.5(075.8) 
ББК 32.816 
 
Н84 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/190/book998.html 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Специальная робототехника и мехатроника» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор В.В. Щербинин,  
д-р техн. наук, профессор В.Н. Наумов 
Носков, В. П. 
Н84  
 
Математические модели движения и системы технического зрения мобильных робототехнических комплексов : 
учебное пособие / В. П. Носков, В. И. Рубцов, И. В. Рубцов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2015. — 94, [2] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4128-0 
Рассмотрены вопросы составления математических моделей 
движения транспортных роботов с колесными и гусеничными движителями. Обоснованы принципы автономного управления движением транспортных роботов и состав автономной системы управления, определены функции ее основных подсистем. Изложены алгоритмы работы подсистем технического зрения, формирования 
моделей внешней среды, планирования траекторий движения. Приведены различные системы технического зрения и результаты их 
работы в составе транспортных роботов.  
Для студентов 5-го и 6-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям «Робототехника» и «Мехатроника».  
 
  УДК 681.5(075.8) 
 
  ББК 32.816  
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4128-0 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 

Предисловие 
На современном этапе развития робототехники все больший 
интерес приобретают вопросы автономного режима работы мобильных робототехнических комплексов (МРК). При работе в автономном режиме МРК должен планировать траекторию своего 
движения в неопределенной среде; формировать трехмерную модель внешней среды, глобальные и локальные траектории движения на пересеченной местности; на основании неполной информации принимать решения и определять свое поведение. 
Дальнейшие исследования в этом направлении стимулируются многочисленными приложениями в различных областях человеческой деятельности (автоматизация управления движением 
транспортных средств, борьба с терроризмом и разминирование, 
пожаротушение и др.). Для построения систем управления МРК 
необходимо разрабатывать математические модели роботов и их 
подсистем. 
В данном учебном пособии рассмотрены основы планирования 
траекторий движения МРК специального назначения. В первой 
главе изложены методики построения математических моделей 
движения мобильных роботов с различным типом шасси, разработаны алгоритмы отработки заданных траекторий движения объекта управления, приведены схемы моделирования исполнительного 
уровня системы автономного движения МРК. Во второй главе рассмотрены основные методы формирования модели внешней среды, приведены алгоритмы построения глобальных и локальных 
траекторий движения МРК при движении как в индустриальной 
среде, так и по пересеченной местности. 
3 

1. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ 
ДВИЖЕНИЯ МОБИЛЬНЫХ  
РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ 
1.1. Матричная форма уравнений движения  
неголономных механических систем 
Колесный мобильный робототехнический комплекс (МРК) является сложной управляемой электромеханической системой, состоящей из ходовой части и многоуровневой системы управления 
движением. Моделью механической части МРК является система 
абсолютно твердых тел, соединенных цилиндрическими шарнирами [1].  
Основные подходы к выводу уравнений движения колесных 
МРК базируются на общих теоремах динамики (см. [2]) или аппарате неголономной механики (см. [3]). В последнем случае весьма 
удобна векторно-матричная форма уравнений, предложенная в работе [4] и ориентированная на использование систем компьютерной алгебры для построения математических моделей неголономных механических систем. 
Если положение мобильного робота определяется s-мерным 
вектором обобщенных координат q = |q1, q2, …, qs|т, где «т» — 
знак транспонирования, то условия отсутствия проскальзывания в 
точках соприкосновения колес с поверхностью приводят к l дифференциальным неинтегрируемым (неголономным) стационарным 
связям, уравнения которых имеют вид 
 
0.

Bq

 
 (1.1) 
Здесь B — прямоугольная (l×s)-матрица, элементы которой являются функциями обобщенных координат; q
 — вектор обобщенных скоростей.  
4 

Движение МРК описывается уравнениями Лагранжа с неопределенными множителями: 
  
т
т
т .
d
T
T
dt



















Q
B
q
q



 
 (1.2) 
Здесь 
т
0,5
T 
q Aq

 — кинетическая энергия системы, которая 
представляет собой однородную квадратичную форму обобщенных скоростей; A — симметричная положительно-определенная 
матрица коэффициентов инерции; Q — вектор обобщенных сил;  
λ = (λ1, λ2, …, λl)т — l-мерный вектор неопределенных множителей. Производная от скаляра T по вектору q
 определяется в (1.2) 
как вектор-строка. 
Уравнения (1.1), (1.2) образуют замкнутую систему s + l уравнений для s + l неизвестных q и λ. Если строки матрицы B — единичные векторы, то неопределенные множители λi представляют 
собой модули обобщенных реакций неголономных связей, которые однозначно восстанавливаются из уравнений связи (1.1) и 
уравнений движения (1.2). Различные способы исключения неопределенных множителей из системы уравнений приводят к различным формам уравнений неголономной механики. Если векторы 
обобщенных координат и сил можно разделить на два вектора 
меньшей размерности r и l: 
q
q
q
1
1
1
r




,
;
q
q
q
1
2
1
1
1



q
q
q
s
r
l
s
r
s


































  
 
 (1.3) 
Q
Q
Q
1
1
1
r




,
,
Q
Q
Q
1
2
1
1
1



Q
Q
Q
s
r
l
s
r
s


































а уравнения неголономных связей представить в виде 
  
2
1,

q
Aq
 
 (1.4) 
то из (1.2) получаем уравнения Воронца 
5 

  
d
dt
т
т
т
т
1
2
1
1
2





































Q
A
Q
q
q
q



 
  




 
(1.5) 
(
)
(
)
.
d
dt
A
Aq
Aq
A
p
q
q
т
т
т
1
1
т
2
1
2



























Здесь 
1
2
1
2
(
,
,
)
(
,
,
)
l
l
T


q q
q
q q
q






 — приведенная кинетическая 
энергия 
системы; 
р2 
— 
вектор 
обобщенных 
импульсов, 
т
2
2
.
T








p
q

  
Пусть обобщенные скорости системы выражены через r = s − l 
независимых псевдоскоростей :  
  
,

q
H

 
 (1.6) 
где H — прямоугольная (s×r)-матрица, зависящая от обобщенных 
координат. Число r независимых обобщенных скоростей является 
числом степеней свободы системы.  
Хотя во многих задачах матрицу H в выражении (1.6) выбирают из учета механических связей, вид уравнения (1.6) может быть 
установлен из формальных соображений. Для этого уравнения 
связи необходимо дополнить r линейно независимыми уравнениями вида 
n
  
1
ik
k
i
k
c q




 (i = 1, 2, …, r). 
 (1.7) 
Введем квадратную матрицу B из коэффициентов сik, bik: 
c
c
c
11
12
1
s






r
r
rs
1
2
.
B
  
 
 (1.8) 




c
c
c
b
b
b
s
11
12
1
















b
b
b
l
l
ls
1
2




6 

Коэффициенты cik в (1.8) выбирают такими, чтобы определитель матрицы B был отличен от нуля. Упростив, согласно [1], 
уравнения (1.8), получим матричную форму уравнения Маджи: 
 
т
т
т
0.
d
T
T
dt



























H
Q
q
q


 
 (1.9) 
Подставив в формулу для кинетической энергии T выражение (1.6) для вектора обобщенных скоростей, получим функцию 
  
( , )
( ,
, ).
T


q
q H



 
 (1.10) 
При дифференцировании последнего соотношения по вектору 
q обобщенных координат справедливо тождество 



 
 (1.11) 
  
(
).
T
T










H
q
q
q
q
Векторное выражение для частной производной имеет вид 
  
.
T





H
q



 
 (1.12) 
Транспонируя и дифференцируя его по времени, получаем 
  
H
H
p
q



 
 (1.13) 
т
т
т
т
.
d
T
d
d
dt
dt
dt


















Заменим частные производные от кинетической энергии в 
формуле (1.13): 
  
H
H
H
H Q
H
p
q
q
т
т
т
т
т
т
т
(
)
.
d
d
dt
dt





  (1.14) 




































Уравнение (1.14) является матричной формой уравнения Эйлера — Лагранжа. 
Полученные выше формы записи уравнений неголономной механики можно использовать в системах аналитических вычислений типа MATLAB, Mathematica, Maple и др. 
7 

1.2. Математическая модель движения  
гусеничного мобильного робота 
При построении математических моделей гусеничного МРК 
как объекта управления возникают значительные трудности. Вопервых, МРК — это сложная механическая система, состоящая из 
большого числа механически связанных подсистем (корпус, гусеничный движитель с подсистемой трансмиссии, опорные катки, 
подсистема подрессоривания и т. д.). Во-вторых, движение МРК 
часто происходит по сложной пересеченной местности, изобилующей различными препятствиями, подъемами и спусками, косогорами и оврагами. В этих условиях математические модели 
должны учитывать перемещение МРК в трехмерном пространстве. В-третьих, при движении транспортного средства возникают такие связанные с деформацией грунта эффекты, как буксование и юз. При этом сложно использовать опыт построения математических моделей движения колесных машин, основанный на 
теории неголономных механических систем. 
В этой ситуации весьма проблематичным представляется решение задачи разработки математической модели гусеничного МРК, 
одинаково удобной как для построения алгоритмов управления базовым набором команд, так и для моделирования его перемещения с 
учетом всех характерных для движения робота явлений. 
Поэтому в данном параграфе приведены сравнительно простые 
плоскопараллельные модели динамики гусеничного МРК, удобные 
при построении и исследовании основных алгоритмов исполнительного уровня системы автоматического управления движением 
(САУД), а в дальнейшем при определении эффективности разработанных алгоритмов будут использованы более точные модели. 
Рассмотрим в соответствии с рис. 1.1 математическую модель 
плоскопараллельного движения МРК: 

m V
v
F
;
x
x



m V
v
F
;
  


x
y





 
 (1.15) 
J
M
,
z
z



где m — масса МРК; 
,
x
x
V
V

 — ускорение и скорость МРК в 
направлении продольной оси ОХ соответственно; ,
v v
 — боковая 
8 

скорость и ускорение центра масс МРК соответственно; 
,

 — 
угловая скорость и ускорение центра масс относительно вертикальной оси Оz соответственно; 
z
J  — момент инерции робота 
относительно вертикальной оси Оz, проходящей через центр 
масс; 
,
x
y
F
F


 — суммы проекций на подвижные координатные 
оси всех внешних сил, действующих на МРК со стороны дороги; 
z
M

 — сумма моментов внешних сил, действующих на МРК со 
стороны дороги, относительно вертикальной оси Оz. 
 
Рис. 1.1. Упрощенная кинематическая схема 
движителя гусеничного МРК 
9 

Модель динамики в виде (1.15) является достаточно общей, так 
как описывает два важнейших вида движения МРК: прямолинейное, в том числе на подъеме и спуске, и при повороте. Например, 
полагая в (1.15) 
0,
0,
0,
y
z
v
F
M





 получаем хорошо известное уравнение прямолинейного движения МРК [3, 4] 
  


sin
cos
,
mx
P
G
f





 
(1.16) 
где x
 — ускорение центра масс МРК; Р — сила тяги; G — сила 
тяжести МРК;  — угол подъема (спуска); f — коэффициент сопротивления качению. 
Аналогично можно записать уравнение динамики поворота 
МРК [5, 6]. 
Дополним уравнения динамики плоскопараллельного движения МРК уравнениями кинематики, в которых будут присутствовать слагаемые, учитывающие явление буксования гусениц обоих 
бортов:  

x
V
v
V
V
x
п
л








  
 
(1.17) 
y
V
v
V
V
x
п
л








л
п




V
V
h
cos
cos
sin
;
2
sin
sin
cos
;
2
1
.
2
Здесь 
,
x y
 — скорости центра масс МРК;  — угол между продольной осью МРК и выбранной осью неподвижной системы координат; Vп, Vл — скорость буксования правой и левой гусеницы 
соответственно. 
В рамках модели (1.17) движение МРК представляется в виде 
пространственного движения твердого тела, мгновенное состояние 
которого оценивается векторами скорости V поступательного 
движения центра масс: 
,
x
y
z
V
V
V



V
i
j
k  
и угловой скорости  относительно центра масс: 
,
x
y
z



i
j
k

  
где i, j, k — единичные векторы осей системы координат OXYZ;  
10