Математические задачи в педагогике

Ж.Г. Вегера, В.В. Слепцов




                МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПЕДАГОГИКЕ




Монография




Москва Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°» 2024

УДК [378+37.09]:51-7
ББК 74.48:22.1
     В26
Авторы:
     Ж.Г. Вегера - кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей математики Института кибербезопасности и цифровых технологий РТУ МИРЭА, г. Москва;
     В.В. Слепцов - доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник ИМАШ им. А.А. Благонравова РАН РФ, профессор кафедры КБ-6 «Приборы и информационно-измерительные системы» РТУ МИРЭА, г. Москва.
Рецензенты:
     П.Н. Шкатов - доктор технических наук, профессор кафедры «Диагностические информационные технологии» Национального исследовательского университета «МЭИ»;
     А.Г. Шмелева - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой информатики Института кибербезопасности и информационных технологий РТУ МИРЭА.

        Вегера, Ж. Г.

В26 Математические задачи в педагогике : монография / Ж.Г. Вегера, В.В. Слепцов. - Москва : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2024. - 138 с.
         ISBN978-5-394-05921-6.
         В монографии изложены материалы по решению некоторых задач, которые наиболее часто вынуждены решать руководители образовательных учреждений. Проведен анализ с применением различных математических расчетов недостатков организации образовательного процесса в вузах. Рассмотрены подходы к решению некоторых важных для образовательной сферы задач с точки зрения математики.
         Монография предназначена как для руководителей образовательных учреждений, так и для преподавателей и студентов высшихучебных заведений.




ISBN978-5-394-05921-6

                                 © Вегера Ж.Г., Слепцов В.В., 2024
                                 © ООО «ИТК «Дашков и К°», 2024

            СОДЕРЖАНИЕ



ПРЕДИСЛОВИЕ..........................................5

ВВЕДЕНИЕ.............................................7

Глава 1. ЗАДАЧАОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕЧНЯ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЗАПРОСАМ
МАКСИМАЛЬНОГО КОЛИЧЕСТВА ПРЕДПРИЯТИЙ..........25
   1.1. Технологическое прогнозирование.......29
   1.2. Экспертные методы прогнозирования.....38
1.3. Индивидуальные методы экспертного прогнозирования.............................40
   1.4. Методы коллективного экспертного прогнозирования............................42
   1.5. Использование теории неопределенных множеств.53

Глава 2. ЗАДАЧАОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИН.....59

Глава 3. ЗАДАЧА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО РУКОВОДИТЕЛЯ КАФЕДРЫ..........................68

Глава 4. ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ КОЛЛЕКТИВА СОТРУДНИКОВ КАФЕДРЫ...........................88

Глава 5. ЗАДАЧА ОБЪЕКТИВНОГО АНАЛИЗА ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ.............................102
   5.1. Мониторинг образовательного процесса студентов.........................103


3

5.2. Инновационные формы контроля знаний студентов...................................107
   5.3. Оценка выпускной квалификационной работы студентов...................................117

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.....................................128

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Глоссарий........................129
Приложение 2. Таблица операций над матрицами...135
Приложение 3. Основные понятия теории графов...136
Приложение 4. Таблица соответствия оригиналов и изображений (преобразованиеЛапласа)..........137

4

                      Педагогика - прикладная наука. Наука «не о сущем, а о должном», исследующая не то, что есть, а то, как необходимо поступать. Это наука об «искусстве деятельности».
С. И. Гессен

                      Математика - это поэзия логики идей.
Альберт Эйнштейн


            ПРЕДИСЛОВИЕ


    Большой стаж научно-исследовательской и преподавательской деятельности авторов данной работы позволил сформулировать ряд недостатков организации образовательного процесса в вузах. Нижеперечисленное свидетельствует о недостаточной проработке как стратегических, так и тактических решений, принимаемых управляющими органами:
    -      за последние тридцать лет в России непрерывно менялись цели, принципы и методики высшего образования;
    -     после того, как образование стало сферой услуг, началось падение престижа качественного образования;
    -      после организации подушевого финансирования организаций высшей школы значительно снизились требования к контролю знаний обучающихся;
    -     после отмены базовой группы изучаемых предметов в государственных образовательных стандартах (ГОС) конкретных специальностей резко снизился научный кругозор выпускников многих вузов;
    -     чрезмерное использование дистанционного обучения (и особенно дистанционного проведения квалификационных испытаний) привело к снижению общего уровня подготовки выпускников;
    -     реальное снижение практической подготовки (особенно по техническим специальностям) способствовало уменьшению практических навыков выпускников;


5

    -     чрезмерное увлечение западными технологиями обучения, научными изысканиями и публикациями в зарубежных изданиях, входящих в различные базы данных, отнюдь не способствовало реальному осмысливанию принимаемых решений;
    -     многие организационные решения, принимаемые в сфере высшего образования, несмотря на внешнюю привлекательность, не были продуманы и просчитаны до конкретной реализации и были рассчитаны на внешний эффект;
    -     практически исчезли реальные курсы повышения квалификации (с отрывом от производства) преподавателей, лаборантов и инженеров вузов;
    -     преподавателей вузов загрузили рутинной работой по непрерывной подготовке всевозможных отчетов, многократной переделке рабочих программ дисциплин и пр.;
    -     открытые публикации по принимаемым организационным решениям не содержат серьезных математических расчетов и обоснований, в том числе и оптимизационных.
    Для устранения указанных недостатков (и многих не указанных) необходимо проводить их серьезный анализ с применением различных математических расчетов, позволяющих надеяться на объективный характер принимаемых решений.
    Исходя из вышеизложенного, авторы попытались рассмотреть подходы к решению некоторых важных для образовательной сферы задач с точки зрения математики.

6

            ВВЕДЕНИЕ



    Одной из важнейших задач современного высшего образования является повышение его качества, обеспечивающего конкурентоспособность как высшего учебного заведения (вуза), так и его выпускников [1]. Решение этой задачи усложняется следующими факторами. Во-первых, необходим компромисс между преподаваемыми дисциплинами, вызванный ограниченностью учебного времени с одной стороны и появлением новых направлений в науке и технике - с другой. Во-вторых, невысока мотивация как профессорско-преподавательского состава, так и студентов в изменении существующей системы обучения.
    Рабочие программы по направлениям подготовки большинства вузов России составлены с расчетом на подготовку «среднего» специалиста, так как подушевое финансирование не стимулирует повышение требований, предъявляемых к выпускнику, а отсутствие нормального цивилизованного рынка труда также не позволяет осуществлять целевую подготовку.
    Анализ требований предприятий-заказчиков и зарубежный опыт позволили определить перечень основных компетенций , необходимых выпускнику вуза для успешного карьерного роста:
    -     технологическая компетентность, т. е. знание необходимых профессиональных методов и алгоритмов деятельности в профессиональной области;
    -     широкий кругозор, позволяющий проводить анализ различных нестандартных ситуаций [2], ставить реальные цели и определять пути их достижения;
    -     готовность к самообразованию [3], т. е. умение определять пробелы или недостатки своего образования, осуществ

7

лять информационный поиск и находить необходимую информацию из различных источников;
    -      способность к социальному взаимодействию, т. е. умение успешно работать в коллективе;
    -      способность к использованию получаемой информации для планирования и осуществления своей деятельности;
    -      коммуникационная компетентность, т. е. умение вести публичные дискуссии, цивилизованно отстаивая свои позиции.
    Анализ представленных компетенций приводит к неутешительному выводу о невозможности планового достижения указанных компетенций при использовании традиционной системы обучения по следующим причинам:
    -      нацеленность рабочих программ подготовки выпускника, как правило, на получение знаний и навыков в профессиональной области;
    -      ограниченность рабочего времени подготовки выпускника;
    -      ограниченное количество квалифицированных кадров из числа профессорско-преподавательского состава, вызванное в первую очередь их слабой практической подготовкой;
    -      перегруженность профессорско-преподавательского состава различными второстепенными бюрократическими обязанностями (отчетами, статьями и пр.), не оставляющими времени на полноценное обсуждение рабочих программ по преподаваемым дисциплинам, учебно-методических пособий, научно-исследовательских работ и пр.;
    -      отсутствие специализированных курсов, направленных на повышение заинтересованности студентов в получении знаний в области психологии и культуры.
    Выходом из создавшейся ситуации может быть широкое применение математических методов в управлении высшим учебным заведением [3].
    Математизация педагогической науки началась в начале 70-х годов XX века и связана с выходом в свет работы Л.Б. Итель
8

сона «Математические и кибернетические методы в педагогике» (1964 г.).
    Математизация позволяет говорить о междисциплинарной роли математических методов (А.Н. Колмогоров, А.В. Коржуев, И.П. Лебедева, А.М. Новиков, В.А. Попков, В.А. Якунин и др.). В частности, междисциплинарный подход представляется нам как процесс развития и «приспособления» математических методов к разным научным дисциплинам, в том числе к педагогике. Наиболее приемлемыми математическими методами в педагогической науке являются: методы первичной обработки данных, корреляционный анализ, регрессионный анализ, дисперсионный анализ, кластерный анализ, методы математического моделирования, методы математического программирования, сетевые методы, методы проверки значимости и достоверности экспериментальных результатов, каждый из которых имеет свое функциональное назначение.
    В своей работе мы выделяем три уровня применения математических методов в социально-педагогических науках: во-первых, обработка данных математическими методами; во-вторых, математическое моделирование различных объектов изучения, которое требует от любой науки четких определений, логической строгости, количественно выраженных законов; в-третьих, срастание конкретной науки с математикой, когда она формулируется языком последней (например, математическая психология). Анализируя психолого-педагогическую, математическую и методическую литературу, мы отмечаем, что особенности применения математических методов в педагогике связаны с особенностями той области, которой занимается педагогическая наука. При выявлении объективных закономерностей образовательного процесса совершенно невозможно устранить сильное влияние посторонних факторов (случайных величин).
    Многие факторы просто неизвестны, а значительная часть факторов, влияющих на исход педагогических действий, недоступна прямому изучению.

9

     Раскрытие тенденций развития образования, выявление противоречий позволили выделить следующие направления применения математических методов в педагогике:
     -     изучение проблемы обучения и воспитания, объединенных индивидуальным подходом;
    -     изучение процесса обучения (структуры, форм, методов);
     -     изучение факторов, связанных с формированием личностно-профессиональных качеств обучаемых; изучение педагогической деятельности, в том числе повышения квалификации, и др.
    Данные направления представлены на рис. 1.

Рис. 1. Основные направления применения математических методов в педагогике

     В области методологии современных педагогических исследований с применением математических методов выявлена следующая тенденция - участие математических методов в проектировании культурообразующего образовательного пространства, способствующего личностно-профессиональному становлению субъектов образовательного процесса.
     В настоящее время возможности реализации формальнологического подхода в педагогике недостаточно изучены. Для многих научно-практических задач реализация этого подхода требует структурно-количественного анализа, эффективным средством которого является математическое моделирование.

10

Объектом математического моделирования является учебная (образовательная) информация, которая рассматривается не только как система знаний, но и система, поддающаяся оценке с помощью количественных и качественных критериев с точки зрения личностного развития. Отмечено, что без системноструктурного представления информации, без ее конкретизации невозможен анализ ее роли в образовательном процессе.
    Разработанный алгоритм информационно-математического моделирования, включающий качественный и количественный анализ исследуемой структуры объекта, трансформацию качественных характеристик в количественные, экспериментальную и логическую проверку данных, построение полной математической модели объекта, позволяет построить критериальный аппарат оценки подачи учебной информации, дающий возможность более полно использовать ее развивающий потенциал.
    Особенности использования математических методов в образовательном процессе заключается в высшей степени сложности самих процессов. Каково бы ни было математическое представление педагогического объекта, оно весьма приблизительно, условно и требует основательных доказательств своей адекватности. Сложность при попытке математического описания и анализа составляют представление и описание различных субъективных факторов, таких как мотивация, цели, система ценностей, поэтому часто не уделяется должного внимания тому, что нельзя непосредственно наблюдать и измерить [4]. Следствием этого может являться неуместное, продиктованное не столько объективной необходимостью в математическом представлении определенного педагогического объекта или явления, сколько желанием успеть за модой, использование математических методов.
    Причем именно специалисты в данной области отмечают, что использование математических методов в социальных и гуманитарных научных областях сопряжено со значительными

11

трудностями. Главная сложность заключается в необходимости качественного описания педагогических процессов или явлений. Если пренебречь этим, появляется опасность бесплодного увлечения формулами и математическим аппаратом, за которыми исчезает настоящее содержание рассматриваемых процессов или явлений [5].
    Фактически можно говорить об опасности однобокого подхода к сложнейшим, многофакторным объектам или явлениям педагогического порядка. На возможность использовать методы точных наук в социальных и гуманитарных научных областях только с учетом специфики объектов или явлений, соответствующей научной области, указывают многие крупные ученые. Так, по данному вопросу академик Ю.А. Митропольский замечает: «Применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стоит никакого реального содержания » [6]. Таким образом, использование математического аппарата в педагогической теории и практике ограничено особенностями гуманитарной сферы, несмотря на то что изначально она достаточно далека от математики.
    А.Н. Колмогоров в своей работе «Математика в ее историческом развитии» ясно представляет роль математического аппарата в развитии различных наук, объясняя при этом их специфику [7]. Независимо от процесса собственного развития, математика органически должна сливаться с другими науками. Процесс математизации науки начинается тогда, когда ей недостает собственного языка, с которого начиналось ее развитие. Например, физика ощутила необходимость в математическом аппарате в эпоху И. Ньютона, так как нельзя было изложить классическую механику, не прибегая к математическому аппарату.
    С прошлого века необходимость математизации наметилась в экономике, позднее - с середины нашего века - к ней присоединились социология, психология, педагогика, лингвистика и др.

12