Исследование корреляционного приемника

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени  Н.Э. БАУМАНА

А.С. Косолапов, А.И. Сенин

 ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО
ПРИЕМНИКА

Методические указания к лабораторной работе
по курсу «Статистическая радиотехника»

Под редакцией А.И. Сенина

М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 621.396
ББК  32.84
          К71

Рецензент  Е.А. Скороходов

Косолапов А.С., Сенин А.И.
Исследование корреляционного приемника: Методические указания к лабораторной работе по курсу «Статистическая радиотехника» / Под ред. А.И. Сенина.  – М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2006.  – 16 с.: ил.

ISBN 5-7038-2817-1
Приведены необходимые теоретические сведения об оптимальных обнаружителях и различителях сигналов корреляционного типа, описана лабораторная установка для экспериментального исследования корреляционного приемника.
Для студентов 3-го курса специальности «Радиоэлектронные системы
и устройства».
Ил. 5.

УДК 621.396
                                                                                                            ББК 32.84

ISBN 5-7038-2817-1                                                   © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

К71

Цель работы – изучение корреляционного метода приема сигналов и исследование помехоустойчивости корреляционного приемника.

ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ

1. Ознакомиться с теоретическим материалом по учебному пособию «Информационные технологии в радиотехнических системах» авторов В.А. Васина, И.Б. Власова, Ю.М. Егорова и других
под редакцией И.Б. Федорова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 766 с.: ил.  (Сер. Информатика в техническом университете)  и по данным методическим указаниям.
2. Изучить лабораторную установку по настоящему руководству.
3. Выполнить работу в указанном порядке.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Корреляционный метод, используемый для обработки сигналов, непосредственно вытекает из вероятностного метода рассмотрения проблемы передачи информации. Начало применению
корреляционного метода положено работами А.Н. Колмогорова,
В.А. Котельникова, Н. Винера и других ученых.
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала  ( ),
s t  все параметры
которого известны, на фоне гауссовского аддитивного шума со
спектральной плотностью в полосе пропускания приемника 
,f
∆
равной 
0.
N
Пусть сигнал на входе приемника имеет вид

( )
( )
( ),
u t
s t
n t
= λ
+

где λ  – случайная величина, принимающая значение 1 или 0 с вероятностями p  и  1
p
−
 соответственно. Задача заключается в том,
чтобы по принятому сигналу 
( )
u t  решить, присутствует или нет
полезный сигнал ( )
s t  на входе приемника.

Можно показать, что оптимальный обнаружитель должен вы
числять отношение функций правдоподобия 
1

0

(
)
( )
(
)
W u H
l u
W u H
=
 и

сравнивать его с некоторым порогом 0,
l
 значение которого зависит от выбранного критерия:
в случае использования критерия Байеса

01
0
10

(1
);
П
p
l
П
p
−
=

в случае критерия идеального наблюдателя

0
1
;
p
l
p
−
=

в случае критерия максимального правдоподобия

0
1;
l =

в случае критерия Неймана–Пирсона

{
}
(
)
0
0
0
0
0
( )
.
l
c
p l u
c
H
=
≥
= α

Здесь 
1
(
)
W u H
 и  
0
(
)
W u H
 – функции правдоподобия при справедливости гипотез 
1
H  (полезный сигнал присутствует) и 
0
H  (полезный сигнал отсутствует); 
01
П
 и 
10
П
 – функции потерь при
принятии ошибочных решений в пользу гипотез 
0
H и 
1
H  соответ
ственно; запись 
{
}
0
0
0
( )
p l u
c
H
≥
= α  означает вероятность того,
что отношение функций правдоподобия при условии справедливости гипотезы 
0
H не меньше значения 
0;
с
 
0
1
α < – некоторая наперед заданная величина.
Нетрудно показать, что для рассматриваемого случая логарифм
отношения функций правдоподобия

                      

0
0 0

2
ln ( )
( ) ( )
,

T
E
l u
u t s t dt
N
N
=
+
∫
                           (1)

где Е – энергия сигнала; Т – его длительность.
Из выражения (1) следует, что оптимальный обнаружитель
должен вычислить интеграл

                              

0 0

2
( ) ( )

T
q
u t s t dt
N
=
∫
                                        (2)

и сравнить его значение с порогом 0
0
0
ln
.
z
l
E N
=
+
При превышении порога решение принимается в пользу гипотезы 
1,
H
 в противном случае – в пользу 
0.
H

Интеграл (2) называется корреляционным, так как является мерой взаимной корреляции между реализацией 
( )
u t  и ожидаемым
сигналом ( ).
s t  Соответственно устройство, вычисляющее выражение (2), называется корреляционным приемником.
Таким образом, оптимальный обнаружитель состоит из коррелятора и порогового устройства – ПУ (рис. 1). Коррелятор, в свою
очередь, состоит из перемножителя (X), интегратора и генератора
опорного сигнала (ГОС), представляющего собой копию сигнала

( ).
s t

Рис. 1. Оптимальный обнаружитель

Определим условные вероятности ложного обнаружения и
пропуска сигнала:

              
(
)

0

0
0
0
0
ln
,

z

E
p q
l
H
W q H
dq
N

∞
⎧
⎫
α =
≥
+
=
⎨
⎬
⎩
⎭ ∫
                   (3)

(
)

0

0
1
1
0
ln
,

z
E
p q
l
H
W q H
dq
N
−∞

⎧
⎫
β =
<
+
=
⎨
⎬
⎩
⎭
∫
                (4)

где 
1
(
)
W q H
 и 
0
(
)
W q H
– распределения напряжения на выходе
корреляционного приемника при справедливости гипотез 
1
H  и

0
H  соответственно.
Из (2) нетрудно понять, что

                 
(
)

2

0

0
0

1
exp
,
2
2
2
2

q
W q H
E
E
N
N

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
−
⎜
⎟
⋅
π⋅
⎜
⎟
⎝
⎠

                       (5)

                
(
)

2

0
1

0
0

2
1
exp
.
2
2
2
2

E
q
N
W q H
E
E
N
N

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
π⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

                 (6)

Используя (3)–(6), находим

0
0

0
2
0

ln
0
0
0

ln
1
exp
1
,
2
2
2
2
2
E
l
N

E
l
N
q
dq
E
E
E
N
N
N

∞

+

⎛
⎞
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
α =
−
= − Φ⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
π⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∫

0
0

2
ln
0
0
0

0
0
0

2
ln
1
exp
.
2
2
2
2
2

E
l
N
E
E
q
l
N
N
dq
E
E
E
N
N
N

+

−∞

⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜
⎟
β =
−
= Φ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⋅
π⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

∫

Здесь 

2
1
( )
exp
2
2

x
z
x
dz

−∞

⎛
⎞
Φ
=
−
⎜
⎟
⎜
⎟
π
⎝
⎠
∫
 – интеграл вероятности.

На рис. 2 представлены графики распределения величин

1
(
),
W q H
 
0
(
)
W q H
 для случая наличия и отсутствия полезного
сигнала. Площади заштрихованных соответствующих участков
под кривыми распределения равны  соответственно вероятностям
α  и .β

Рассмотрим теперь задачу различения двух полностью известных сигналов 0( )
s
t  и 1( ).
s t  Сигнал на входе приемника можно записать в виде

1
0
( )
( )
(1
)
( )
( ),
u t
s t
s
t
n t
= λ ⋅
+
− λ ⋅
+

где λ  – случайная величина, принимающая значение 1 или 0 с вероятностями p  и  1
p
−
 соответственно; ( )
n t  – «белый» гауссовский шум с односторонней спектральной плотностью 
0.
H
 Необходимо оптимальным образом по принятой реализации 
( )
u t
решить, какой из сигналов передавался, или, что то же самое, произвести выбор между гипотезой 
0
H  (присутствует сигнал 
0s ) и
альтернативной гипотезой 
1
H
 (присутствует сигнал 1s ).

Рис. 2. Графики распределения величин q при наличии и отсутствии
полезного сигнала

В качестве критерия оптимальности можно взять любой из ранее упоминавшихся критериев. Как правило, любые ошибки в
приеме символов в равной мере нежелательны, и потери, связанные с этими ошибками, одинаковы. По этой причине наиболее
употребительным является критерий идеального наблюдателя, согласно которому необходимо вычислить отношение функций

правдоподобия   
(
)

(
)

1

0

/
( )
/

W u H
l u
W u H
=
  и сравнить его значение с поро
гом  0
1
.
p
l
p
−
=

Решение принимается в пользу гипотезы 
1,
H
 если 
0
( )
,
l u
l
≥
 и в
пользу гипотезы 
0,
H
 если 
0
( )
.
l u
l
<

Для рассматриваемого случая нетрудно показать, что логарифм
отношения правдоподобия определяется как

[
]
1
0
1
0
0
0 0

2
ln ( )
( )
( )
( )
,

T
E
E
l u
u t
s t
s
t
dt
N
N
−
=
+
−
∫

где  
1
E  и 
0
E  – энергии сигналов 1( )
s t  и 0( )
s
t  соответственно (на
практике обычно 
1
0,
E
E
=
  
1/ 2).
p =

При этом решение принимается в пользу сигнала 1( ),
s t
 если

                             
[
]
1
0
0 0

2
( )
( )
( )
0.

T
q
u t
s t
s
t
dt
N
=
−
≥
∫
                         (7)

Выражение (7) определяет структуру оптимального различителя. Он состоит из двух корреляционных приемников, вычитающего и порогового устройств (рис. 3). Один из корреляционных приемников настроен на прием сигнала 1( ),
s t
 другой – на прием 0( ).
s
t
Опорные сигналы, вырабатываемые на приемной стороне, должны
быть синхронизированы с принятыми сигналами.

Рис. 3. Структурная схема оптимального различителя

Найдем среднюю вероятность ошибки для случая равновероятных сигналов

ош
1 (
),
2
p
=
α + β

где 

0

0
ln
(
)

l
W q H
dq

∞
α = ∫
 – условная вероятность принятия решения

о наличии сигнала 1s   в то время, когда в действительности пере
давался сигнал 
0;
s

0
ln

1
(
)

l
W q H
dq

−∞
β = ∫
 – условная вероятность

принятия решения о наличии сигнала s0  в то время, когда в действительности передавался сигнал s1.
Найдем вероятности α  и 
.β  Для этого определим сначала
плотности вероятности 
1
(
)
W q H
 и 
0
(
).
W q H
Рассмотрим случайную величину q  при наличии сигнала 1:
s

      
[
][
]
1
1
1
0
0 0

2
( )
( )
( )
( )

T
q
q
s t
n t
s t
s
t dt
N
=
=
+
−
∫
.                     (8)

Так как 
( )
n t – гауссовский шум, 
1s  и 
0s  – детерминированные
функции, а все операции, проводимые над ( )
n t  в (8), – линейные,
значит, случайная величина 
1
q  будет распределена по нормальному закону. Ее среднее значение

    
{ }
1
0

2 (1
) ,
s
E
R
M q
N

−
=

а дисперсия

2
1
0

4 (1
) ,
s

q

E
R
N

−
σ
=

где  
1
0
0

1
( )
( )

T

s
R
s t s
t dt
E
=
∫
 – коэффициент взаимной корреляции ме
жду сигналами  1( )
s t  и 0( ).
s
t
 Аналогично при наличии сигнала 
0s  величина 
0
q  будет распределена по нормальному закону со средним значением

 
{
}
0
0

2 (1
)
s
E
R
M q
N

−
= −

и дисперсией

 
0
2

0

4 (1
).
s

q

E
R
N

−
σ
=

Кривые плотности вероятности  
(
)
1
1
(
)
;
W q
W q H
=
 
0
(
)
W q
=

(
)
0
W q H
=
 изображены на рис. 4.

Рис. 4.  Кривые плотности вероятности

1
1
(
)
( /
);
W q
W q H
=
0
0
(
)
( /
)
W q
W q H
=

Теперь нетрудно определить среднюю вероятность ошибки:

(
)
(
)

0

ош
0
1
0

0

1
1
(
)
2
2

(1
)
1
.
s

p
W q H
dq
W q H
dq

E
R
N

∞

−∞

⎡
⎤

⎢
⎥
=
α +β =
+
=

⎢
⎥
⎣
⎦

⎡
⎤
−
= − Φ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

∫
∫
      

(9)

Из выражения (9) понятно, что вероятность ошибки зависит от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума и от коэффициента взаимной корреляции между сигналами 1( )
s t  и 0( ).
s
t
 С учетом того, что 
1
1
s
R
− ≤
≤ , максимальная помехоустойчивость системы, определяемая вероятностью ошибки,

 
ош
0

2
1
,
E
p
N
= − Φ