Выполнение домашнего задания № 2 по курсу «Электротехника и электроника» (тема «Расчет линейных цепей синусоидального тока»)

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

В.И. Волченсков 
 
 
ВЫПОЛНЕНИЕ  
ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ № 2  
ПО КУРСУ «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА  
И ЭЛЕКТРОНИКА»  
(ТЕМА «РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ  
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА») 
 
Методические указания  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2011 

УДК 621.319 
ББК 31.2 
В67 
Ре це нз е нт А.А. Мальцев 

 
Волченсков В.И. 
  
 
Выполнение домашнего задания № 2 по курсу «Электротехника и электроника» (тема «Расчет линейных цепей синусоидального тока») : метод. указания / В.И. Волченсков. — 
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 30, [2] с. : ил. 
 
Рассмотрены основные методы расчета цепей переменного тока, 
предусмотренные учебной программой. Представлены основные законы электротехники и методы расчета синусоидальных цепей, принятые обозначения электрических величин, используемые схемы замещения, электроизмерительные приборы. 
Для студентов факультетов РК, МТ, Э, СМ, ФН. 
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 621.319 
ББК 31.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

 В67 

Цель работы — изучение и освоение методов анализа электрических цепей однофазного синусоидального тока с использованием символического метода. 

1. СОДЕРЖАНИЕ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ. ВЫБОР  
ИСХОДНЫХ ДАННЫХ 

1. В соответствии с номером варианта домашнего задания нарисовать подробную схему с указанием отдельных элементов (R, 
L, C) и выписать исходные числовые данные из табл. П1, приведенной в приложении 1 методических указаний.  
2. Используя символический метод, для исходной схемы (рис. П1 
приложения 2) составить систему уравнений по законам Кирхгофа, 
подставить в нее числовые значения, соответствующие рассматриваемому варианту задания, и, используя компьютер, определить 
все токи в ветвях схемы. 
3. Записать уравнение баланса мощностей для исходной схемы, 
подставить известные числовые значения и оценить относительные погрешности расчета значений активной и реактивной мощностей. 
4. Рассчитать потенциалы всех точек в исходной схеме, приняв 
за нулевой потенциал нижнего узла схемы. Построить на одном 
графике (совмещенную) векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений для исходной схемы. Обозначить 
на ней напряжения, соответствующие всем элементам схемы. 
5. Определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра, 
указанных в исходной схеме. 
6. Используя метод эквивалентного генератора, определить ток I2 
в ветви с сопротивлением Z2 (см. рис. П1). Сопоставить полученное 
значение этого тока с результатами расчета предыдущим методом. 

7. Ввести в исходную схему дополнительный элемент Z5, обеспечивающий в ветви с сопротивлением Z2 режим резонанса напряжений. Используя метод эквивалентного генератора, определить 
ток и напряжения в ветви с сопротивлением Z2. Построить совмещенную векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений для используемой в этом пункте задания преобразованной схемы. 
8. Ввести в исходную схему дополнительную ветвь с сопротивлением Z6 параллельно ветви с сопротивлением Z2, чтобы обеспечить на рассматриваемом участке режим резонанса токов. Используя метод эквивалентного генератора, определить токи в 
сопротивлениях Z2 и Z6 и суммарный ток участка цепи 
6
2
7
I
I
I
+
=
. 
Построить совмещенную векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений для используемой в этом пункте 
задания преобразованной схемы. 

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ  
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ 

1. Исходная электрическая схема приведена в приложении 2 
(см. рис. П1). Числовые значения параметров схемы студент выбирает из табл. П1 приложения 1. Номер варианта домашнего задания соответствует номеру, под которым студент записан в журнале, находящемся у старосты группы. 
2. Расчетно-графическая работа выполняется на листах формата А4, желательно с использованием компьютера. Образец оформления титульного листа приведен в приложении 3. 
3. Перед выполнением очередного пункта задания необходимо 
дать заголовок и кратко описать ваши последующие действия. При 
выполнении вычислений следует привести расчетную формулу, 
подставить числовые значения всех величин, входящих в формулу, 
ответ с указанием единиц измерения в системе СИ, затем — конечные графики и векторные диаграммы в соответствии с условием домашнего задания. 
4. Используемые обозначения в формулах и на схемах должны 
соответствовать ГОСТу.  

5. Работу над ошибками студент выполняет на новой странице, 
не затрагивая уже проверенного преподавателем материала. Следует написать заголовок: «Работа над ошибками» и далее выполнять работу над ошибками, заново приводя исправленные рисунки, формулы и расчеты. 
6. Срок сдачи второго домашнего задания — 14-я неделя семестра. 
По указанию преподавателя отдельные пункты задания могут 
быть опущены. 

3. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 

3.1. Расчет электрической цепи  
с использованием законов Кирхгофа 

При расчете цепи переменного синусоидального тока можно 
воспользоваться законами Кирхгофа. Составить соответствующую 
систему уравнений можно либо для мгновенных значений токов и 
напряжений, либо в комплексной форме (табл. 1). 
 Таблица 1 

Тип уравнения 
Первый закон 
Кирхгофа 
Второй закон  
Кирхгофа 

Для мгновенных  
значений 
0
ki =
∑
 
k
k
u
e
=
∑
∑
 

В комплексной форме 
0
kI =
∑ 
k
k
U
E
=
∑
∑


 
Мгновенные значения токов и напряжений записывают в виде 
синусоидальных функций с их начальными фазами ψi и ψu: 

 
( )
sin(
);

( )
sin(
).

=
ω + ψ

=
ω + ψ

m
i

m
u

i t
I
t

u t
U
t
 

Дальнейшие рассуждения будем проводить с использованием конкретной схемы (рис. 1). Запишем систему уравнений по законам 
Кирхгофа для схемы на рис. 1 для мгновенных значений токов и 
напряжений: 

1
2
3

2
1
1
1
2
2
2
1

3
2
3
3
3
4
2
2
2
3

0;

1
0;

1
0.

−
−
=

+
+
+
−
=

+
+
−
−
=

∫

∫

i
i
i

di
i R
i dt i R
L
u
C
dt

di
di
i R
i dt
L
L
i R
C
dt
dt

 

Получили систему интегродифференциальных уравнений, записанных для синусоидально изменяющихся величин. Решать такую 
систему сложно. Значительно удобнее решать систему уравнений, 
записанных с использованием комплексных величин. Это позволяет свести решение дифференциальных уравнений, записанных для 
мгновенных значений токов и напряжений, к решению алгебраических уравнений, записанных в комплексной форме. 
 

 

Рис. 1. Электрическая схема с использованием 
мгновенных значений токов и напряжений 

 
Запишем систему уравнений для нашего примера с использованием комплексных величин. Предварительно перерисуем схему 
(см. рис. 1), введя в нее новые обозначения (рис. 2). 
Закон Ома в комплексной форме для каждого из элементов 
схемы имеет вид  
 
,
U
ZI
=


где U  и I  — комплексные значения напряжения и тока на участке 
цепи; Z  — комплексное сопротивление участка цепи, которое в 
каждом конкретном случае записывают согласно табл. 2. 

Таблица 2 
 

Элементы 
Мгновенные  
значения 
Векторная  
диаграмма 

Закон Ома  
в комплексной 
форме 
ϕ = ψu – ψi 

 
sin

sin

r
m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω
 
 
R
U
IR
=

ϕ = 0° 

 

sin

sin(
90 )

L
m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω −
°  
 
(
)
L
L
U
I jX
=

ϕ = 90° 

 

sin

sin(
90 )

С
m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω +
°  
 
(
)
C
C
U
I
jX
=
−

ϕ = –90° 

 

sin

sin(
)

m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω − ϕ  
 
(
)
L
U
I R
jX
=
+

0 < ϕ < 90° 

 
sin

sin(
)

m

m

u
U
t

i
I
t

=
ω

=
ω + ϕ  
 
(
)
C
U
I R
jX
=
−

–90° < ϕ < 0° 

7

Рис. 2. Электрическая схема с использованием 
комплексных величин  

 
Для составления системы уравнений по законам Кирхгофа необходимо предварительно задать положительные направления токов в ветвях схемы. 
Первый закон Кирхгофа формулируется так. 
Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле 
электрической цепи равна нулю: 

 
0.
kI
±
=
∑


Правило знаков: токи, направленные к узлу, берутся со знаком 
плюс, от узла — со знаком минус. 
Число уравнений, составляемое по первому закону Кирхгофа, 
на единицу меньше, чем число узлов в схеме. 
Второй закон Кирхгофа формулируется так. 
Алгебраическая сумма комплексных значений напряжений в 
замкнутом контуре равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС в этом контуре: 

 
.
k
k
U
E
±
=
±
∑
∑


Правило знаков: выбираем направление обхода контура (по ходу часовой стрелки или против хода). Если напряжение (или ЭДС) 
совпадает с направлением обхода контура, то значение берется со 
знаком плюс. Если напряжение (или ЭДС) направлено навстречу 
обходу контура, то — со знаком минус. 

Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, 
равно числу независимых контуров в схеме. Общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, 
должно равняться числу неизвестных (обычно — токов). 
Система уравнений, записанная по законам Кирхгофа в комплексной форме, для схемы на рис. 2 будет такой: 

 

1
2
3

1
1
1
1
2
2
2
2

3
3
3
3
3
4
2
2
2
2

0;

(
)
(
)
0;

(
)
(
)
(
)
0.

−
−
=

+
−
+
+
−
=

+
−
+
−
−
=

C
L

C
L
L

I
I
I

I R
I
jX
I R
I
jX
U

I R
I
jX
I
jX
I
jX
I R

  
(2) 

Используя исходные данные, вычисляем все реактивные сопротивления:  

 
1
1
1 (
);
=
ω
C
X
C
  
2
2;
= ω
L
X
L   
3
3
1 (
);
=
ω
C
X
C
  
4
4,
= ω
L
X
L  

где 
2
314
ω = π =
f
 с–1, так как 
50
=
f
 Гц. 
Подставляем известные значения сопротивлений и напряжения 
источника Uв систему уравнений (2) и решаем ее. Получаем значения токов 
1
2
3
,
,
I
I
I
и, выбрав масштаб, строим векторную диаграмму токов на комплексной плоскости (рис. 3). 
 

 
Рис. 3. Векторная диаграмма токов 

3.2. Составление уравнения баланса мощностей 

Для проверки правильности решения задачи в электротехнике 
обычно используют метод составления уравнения баланса мощностей. Комплексная мощность, отдаваемая источниками в электри

ческую цепь 
ист,
S
 должна быть равна комплексной мощности, по
требляемой приемниками 
прием :
S
 

 
ист
прием.
=
S
S
 

При этом должны выполняться раздельно равенства активных 
мощностей  

 
ист
прием
=
P
P
  

и реактивных мощностей 

 
ист
прием.
=
Q
Q
 

Мощность источников в нашем примере рассчитываем в комплексной форме: 

 
ист
ист
ист
.
S
U I
P
jQ
∗
=
=
+
∑ 

Здесь для расчета комплексной мощности 
ист
S
 используем ком
плексно-сопряженное значение тока ;I

∗

 S, P, Q — полная, активная 
и реактивная мощности, измеряемые, соответственно В⋅А, Вт, 
ВАр. 
Для приемников вычисляем раздельно активную мощность 

 
2
прием
P
I R
=∑
 

и реактивную мощность 

 
2
2
прием
.
L
C
Q
I X
I X
=
−
∑
∑
 

При выполнении реальных расчетов значения мощности источников и приемников могут несколько различаться. Точность 
выполненного расчета схемы оценивают с помощью относительной 
погрешности при вычислении баланса активных мощностей 

 

ист
прием

ист
100%
P
Р
Р

S

−
δ =
⋅