Волны и направляющие структуры в электротехнике

 

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

В.Ф. Судаков  
 
 
 
ВОЛНЫ И НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ  
В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ  
 
 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия  
по курсу «Теоретические основы электротехники» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2010 

 

УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.211 
С50 
Ре це нзе нт ы:  
В.В. Каратаев, А.Б. Красовский 

 
Судаков В.Ф.  
  
 
       Волны и направляющие структуры в электротехнике : 
учеб. пособие по курсу «Теоретические основы электротехники» / В.Ф. Судаков. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2010. — 29, [3]с. : ил. 
 
Рассмотрены типы волн и направляющих структур дискретного и 
непрерывного типов, в которых волны могут существовать. Показана 
связь телеграфных уравнений с уравнениями Максвелла. Подробно 
изучены распределения комплексных амплитуд тока и напряжения 
внутри непрерывной одномерной направляющей структуры (длинной 
линии) и ее частотные характеристики. 
Для студентов 2-го и 3-го курсов приборостроительных специальностей.  
УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.211 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 
 

 

 
 
 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

С50

В пособии приведен анализ направляющих структур на примере консервативной направляющей цепи с сосредоточенными элементами, что объединяет теории сосредоточенных и распределенных направляющих цепей. Рассмотрение волн различных типов 
(бегущие, стоячие, смешанные) выделено в специальный раздел. 
Телеграфные уравнения представлены как следствие уравнений 
Максвелла. В режиме вынужденных колебаний изучена внутренняя структура токов и напряжений в длинной линии с нагрузками 
различных типов. 

1. ВОЛНЫ  

1.1 Одномерные волны и их уравнения  

Понятие волны было введено в общем курсе физики. Волна 
описывается функцией, зависящей от пространственной переменной и времени. В последующем будем отождествлять волну с описывающей ее функцией. Одномерными назовем волны, зависящие 
только от одной пространственной переменной z и времени t. Бегущая прямая волна описывается вещественной функцией вида 
( , )
(
).
S
z t
S z
t
υ
+
=
−
 Значение этой функции остается постоянным, 
если 
const.
z
t
υ
−
=
 Таким образом, каждое фиксированное значение функции бегущей волны (следовательно, и вся волна как 
«твердое тело») перемещается в положительном направлении оси z 
со скоростью υ. Волна, бегущая в отрицательном направлении оси 
z с той же скоростью, называется обратной и описывается функцией вида 
( , )
(
).
S
z t
S z
t
−
=
+υ
 Легко проверить, что для бегущих 
волн справедливы уравнения 

  
1
.
S
S

z
t

±
±
∂
∂
= ±
∂
∂
υ
 
(1.1) 

Наряду с бегущими волнами рассматривают также более сложные смешанные волны. Они представляют собой результат наложения (интерференции) двух бегущих волн с различными направлениями 
распространения: 
( , )
(
)
(
).
S z t
S
z
t
S
z
t
υ
υ
+
−
=
−
+
+
 
Если 
прямая и обратная волны в этом представлении одинаковы, то смешанная волна называется стоячей: 
0
0
( , )
(
)
(
).
S z t
S
z
t
S
z
t
=
−
+
+
υ
υ
 
Найдем уравнение для смешанной волны. В силу спра- 
ведливости 
уравнений 
(1.1) 
имеют 
место 
равенства 

(
)
1
(
)
S
S
S
S

z
t

+
−
+
−
∂
+
∂
−
= −
∂
∂
υ
, 
1
(
)
(
)
S
S
S
S
t
z

+
−
+
−
∂
+
∂
−
−
=
∂
∂
υ
. Продиффе
ренцируем первое из этих уравнений по z, а второе — по t. Сложим полученные результаты и получим уравнение второго порядка для смешанной волны S
S
S
+
−
=
+
: 

 

2
2

2
2
2
1
0.
S
S
z
t
∂
∂
−
=
∂
∂
υ
 
(1.2) 

Это уравнение называют волновым. Оно справедливо не только 
для смешанных волн общего вида, но и для их частных проявлений — стоячих и бегущих волн. 

1.2. Гармонические волны и их уравнения 

Бегущая волна является гармонической, если ее пространственно-временная зависимость имеет вид 

 
пр
об
( , )
cos(
)  или  
( , )
cos(
).
S
z t
S
kz
t
S
z t
S
kz
t
+
−
=
− ω
=
+ ω
 

При фиксированном моменте времени t обе волны описываются 
гармоническими функциями координаты, а при фиксированной координате — гармоническими функциями времени. Величину k называют волновым числом; оно играет ту же роль в пространственной 
зависимости, что и частота ω во временной. Период временного изменения функции 
2 / .
T = π ω  Период пространственного изменения 
функции называется длиной волны 
2 / .k
λ = π
 Гармоническая волна 
распространяется с фазовой скоростью 
/ ,
=
k
ω
υ
 так как 

[
]
( , )
cos
(
)
S
z t
k z
t
±
±
∼
υ
. Связь частоты с волновым числом называ

ется дисперсионным уравнением. Оно не всегда имеет такой простой 
(линейный) вид, как в рассматриваемом случае, где 
/
k = ω υ.  
Для гармонических бегущих волн удобно ввести комплексные 
амплитуды 
пр
об
,   
jkz
jkz
S
S e
S
S e
−
+
−
=
=
, тогда можно записать: 

( , )
Re(
).
j t
S
z t
S e ω
±
±
=
Для комплексных амплитуд из общих уравнений (1.1) нетрудно получить более простые уравнения вида 

 
.
dS
jkS

dz

±

±
=
∓
 
(1.3) 

Смешанная гармоническая волна является суперпозицией гармонических бегущих волн: 

 
 
пр
пр
об
об
( , )
cos(
)
cos(
).
S z t
S
kz
t
S
kz
t
=
− ω − ϕ
+
+ ω + ϕ
 

При равенстве амплитуд 
пр
об
ст /2
S
S
S
=
=
 и фазовых сдвигов 

пр
об
ϕ
= ϕ
= ϕ  смешанная волна становится стоячей. Ее можно опи
сать в более удобной форме:  

 
ст
( , )
cos
cos(
).
S z t
S
kz
t
=
ω + ϕ  

Отсюда следует, что для стоячей волны 
( , )
S z t  в точках 

(2
1) / 2
m
m
z
k
+
π
=
 с целочисленным индексом m в любой момент 

времени равна нулю. Эти точки называются узлами. Максимального значения Sст колебания могут достигать только в дискретном 
множестве точек 
/ ,
m
z
m
k
=
π
 называемых пучностями. У бегущей 
волны узлов и пучностей нет, в любой точке колебания имеют 
одинаковую амплитуду (от точки к точке изменяется только относительная фаза колебаний). Это основное различие бегущих и 
стоячих волн. 
Бегущая волна может быть представлена как суперпозиция 
двух стоячих волн:  

 
cos(
)
cos
cos
cos(
/ 2)cos(
/ 2).
S
kz
t
S
kz
t
S
kz
t
− ω
=
ω +
+ π
ω + π
 

Смешанную волну часто представляют как результат наложения стоячей и двух бегущих волн одинаковой амплитуды: 

[
]
пр
об
пр
об
( , )
(
)cos
cos
cos(
)
cos(
) .
2

S
S
S z t
S
S
kz
t
kz
t
kz
t
−
=
+
ω +
− ω
−
+ ω
 

В этом представлении отношение амплитуды бегущих волн к 
амплитуде стоячей волны называется коэффициентом бегущей 

волны: 

пр
об

пр
об
КБВ
S
S

S
S

−
=
+
. Если КБВ = 0, то смешанная волна являет
ся стоячей; если КБВ = 1, то смешанная волна представляет собой 
прямую бегущую волну, если КБВ = –1 — обратную бегущую волну. 
Для гармонической смешанной волны также целесообразно 
вводить комплексную амплитуду 
:
S
( , )
Re(
).
j t
S z t
Se− ω
=
Очевид
но, что 
.
S
S
S
+
−
=
+
При переходе к комплексным амплитудам 
волновое уравнение (1.2) превращается в более простое уравнение  

 

2
2
2
0.
d S
k S
dz
+
=

(1.4) 

2. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ 

2.1. Волны в дискретной направляющей структуре 

Каскадное соединение одинаковых четырехполюсников (ячеек) 
называется цепной схемой. Она одномерна, так как ячейки можно 
идентифицировать одним порядковым номером: 0
.
n
N
≤
≤
 Пусть 
каждая ячейка чисто реактивна и представляет собой простейший 
фильтр нижних частот (рис. 1).  
Цепная схема из (N + 1)-й ячейки также является фильтром 
нижних частот. Ее состояние характеризуется всеми индуктивными токами 
( )
ni t  и емкостными напряжениями 
( )
n
u t  (n — целое 
число, соответствующее номеру ячейки). Следовательно, токи и 
напряжения рассматриваются как функции двух переменных: времени и номера ячейки. Взаимные связи между токами и напряжениями нетрудно получить с помощью законов Кирхгофа для токов 
в каждом из узлов и для напряжений в каждом из независимых 
контуров (рис. 2): 

Рис. 1. Элементарная ячейка  
цепной схемы 
 
 

 
 
Рис. 2. Фрагмент цепной схемы с указанием токов и напряжений как функций времени 
 

 
1
1
1
;
.
n
n
n
n
n
n
di
du
L
u
u
C
i
i
dt
dt

−
−
−
=
−
=
−
 
(2.1) 

Пусть токи и напряжения изменяются во времени по гармоническому закону с частотой ω. Тогда можно использовать метод 
комплексных амплитуд, т. е. ввести в рассмотрение параметры 
,
nI

n
U. Из (2.1) для комплексных амплитуд получим алгебраические 
уравнения 

 
1
1
1
;
.
n
n
n
n
n
n
j LI
U
U
j CU
I
I
−
−
−
ω
=
−
ω
=
−

(2.2) 

Умножив первое из этих уравнений на jωC и подставив результат во второе из них, получим уравнение для токов 

 

2

1
1
2
0
2
,
n
n
n
n
I
I
I
I
−
+
ω
−
=
−
+
ω

(2.3) 

C 

0,5L
0,5L

in–1

С 
С 
С 
С 

L 
L 
L 
L 

un
un–1 
un+1

in 
in+1

где введен в рассмотрение параметр цепи 
2
0
1
LC
ω =
. 

Решение уравнения (2.3) будем искать в виде 
.
j n
nI
Ie γ
=
После 

подстановки этого выражения в (2.3) получим 

2

2
0
2
j
j
e
e
γ
− γ
ω
−
=
+
−
ω
. 

Согласно последнему уравнению, частота ω и постоянная распространения γ связаны выражением 
0
2
sin( / 2)
ω = ω
γ
. Поскольку 
частоты неотрицательны, в этом выражении берется знак модуля. 
На рис. 3 показана зависимость 
( )
ω γ  в пределах одного периода 
.
−π ≤ γ ≤ π  
 

 
Зависимость 
( )
ω γ  четная, поэтому обратная зависимость ( )
γ ω  
имеет две однозначные ветви: 
( ),
k
γ = ±
ω
 где 

 

0
( )
2arcsin
.
2
k
⎛
⎞
ω
ω =
⎜
⎟
ω
⎝
⎠
  
(2.4) 

Следовательно, возможны два закона изменения комплексных амплитуд в зависимости от номера ячейки 

 
( )
( )
( ) ;
jk
n
nI
I
e
+
+
ω
=

( )
( )
( ) .
jk
n
nI
I
e
−
−
−
ω
=
 
(2.5) 

Два полученных выше частных решения (2.5) являются уравнениями бегущих волн в дискретной направляющей структуре. 
Сумма выражений (2.5) в силу линейности цепи также описывает 

ω γ( )

γ

Рис. 3. Зависимость 
между частотой ω  
и постоянной γ 

допустимое распределение токов. Из (2.5) следует, что при увеличении номера ячейки на единицу фаза гармонических колебаний 
либо уменьшается, либо увеличивается (в зависимости от направления распространения волны) на величину ( )
k ω  (радиан на ячейку). Нарастание (убывание) линейно зависит от номера ячейки.  
Для полноты картины рассмотрим случай больших частот 

0
/(2
)
1
ω
ω
> . Аргумент функции арксинуса в выражении (2.4) превышает единицу, в результате чего арксинус становится комплексной величиной. Следовательно, рассмотренные выше частные решения не только получают фазовый сдвиг при переходе от ячейки к 
ячейке, но и затухают. Резистивных потерь в цепи нет, и затухание 
объясняется фильтрующими свойствами ячеек. Изменение емкостных напряжений аналогично изменению индуктивных токов. 

2.2. Среда распространения и распределенные  
направляющие структуры 

Свободное пространство рассматривается как среда, характеризуемая в каждой точке диэлектрической постоянной ε (аналог 
емкости элемента объема в терминах теории цепей), магнитной 
постоянной μ (аналог индуктивности элемента объема в терминах 
теории цепей) и проводимостью σ (величина тепловых потерь в 
элементе объема). Впредь будем считать величины ε, μ, σ одинаковыми для всех точек пространства. Характеристиками электромагнитного поля являются векторы электрической и магнитной 
напряженностей E
и 
.
H
 Наличие среды является причиной изменения электромагнитного поля с конечной скоростью в пространстве и во времени. 
В дальнейшем ограничимся рассмотрением одномерных сред 
распространения, протяженных только в одном направлении  
(измерении). Поперечные размеры такой структуры считаются 
достаточно малыми. Для краткости назовем ее непрерывной направляющей структурой. Такая структура формируется металлическими образующими. Примерами непрерывной направляющей 
структуры являются полая труба с любой формой поперечного сечения, два цилиндрических провода или два вложенных друг в 
друга соосных цилиндра (коаксиальный кабель). Другими слова

ми, направляющая структура представляет собой заполненный 
веществом цилиндр с металлическими образующими и произвольным поперечным сечением малого размера. 

2.3. Уравнения Максвелла  
для линейно поляризованных плоских полей 

Изменения электромагнитного поля во времени и в пространстве в среде без потерь описываются уравнениями Максвелла: 

 
;
,
E
H
H
E
t
t
∂
∂
∇×
= ε
∇×
= −μ
∂
∂



где ∇ — оператор пространственного дифференцирования в декартовой 
системе 
координат, 
представляющий 
собой 
вектор 

,
,

x
y
z
⎛
⎞
∂
∂
∂
∇ = ⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
. Значок × означает векторное произведение. Ко
ординаты x, y относятся к поперечному сечению структуры, а координата z — к ее оси. В направляющей структуре поле (приближенно) поляризовано в поперечном сечении (например, вдоль оси Ox), и 
в каждом сечении пространственно постоянно, т. е. зависит только 

от координаты z. Это означает, что 
0,0,

z

⎛
⎞
∂
∇ = ⎜
⎟
∂
⎝
⎠
 и 
( , )
E t z =


( ,0,0),   
( , )
(0,
,0).
E
H t z
H
=
=
Описываемое данными уравнениями 
поле называется поперечно поляризованным и плоским. Для такого 
поля уравнения Максвелла сводятся к более простому виду 

  
;
H
E

z
t
∂
∂
−
= ε
∂
∂
   
.
E
H

z
t
∂
∂
= −μ
∂
∂
 
(2.6) 

Уравнения в частных производных (2.6) описывают изменение 
напряженностей 
( , )
E t z  и 
( , )
H t z  в направляющей структуре. Они 
аналогичны уравнениям (2.1) для токов и напряжений в цепной 
схеме. Однако следует помнить, что цепная схема дискретна (токи 
и напряжения зависят от дискретного номера ячейки), а направляющая структура непрерывна (напряженности зависят от непрерывной координаты z).