Волны и направляющие структуры в электротехнике

 

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

В.Ф. Судаков  
 
 
 
ВОЛНЫ И НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ  
В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ  
 
 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия  
по курсу «Теоретические основы электротехники» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2010 

 

УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.211 
С50 
Ре це нзе нт ы:  
В.В. Каратаев, А.Б. Красовский 

 
Судаков В.Ф.  
  
 
       Волны и направляющие структуры в электротехнике : 
учеб. пособие по курсу «Теоретические основы электротехники» / В.Ф. Судаков. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2010. — 29, [3]с. : ил. 
 
Рассмотрены типы волн и направляющих структур дискретного и 
непрерывного типов, в которых волны могут существовать. Показана 
связь телеграфных уравнений с уравнениями Максвелла. Подробно 
изучены распределения комплексных амплитуд тока и напряжения 
внутри непрерывной одномерной направляющей структуры (длинной 
линии) и ее частотные характеристики. 
Для студентов 2-го и 3-го курсов приборостроительных специальностей.  
УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.211 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 
 

 

 
 
 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

С50

В пособии приведен анализ направляющих структур на примере консервативной направляющей цепи с сосредоточенными элементами, что объединяет теории сосредоточенных и распределенных направляющих цепей. Рассмотрение волн различных типов 
(бегущие, стоячие, смешанные) выделено в специальный раздел. 
Телеграфные уравнения представлены как следствие уравнений 
Максвелла. В режиме вынужденных колебаний изучена внутренняя структура токов и напряжений в длинной линии с нагрузками 
различных типов. 

1. ВОЛНЫ  

1.1 Одномерные волны и их уравнения  

Понятие волны было введено в общем курсе физики. Волна 
описывается функцией, зависящей от пространственной переменной и времени. В последующем будем отождествлять волну с описывающей ее функцией. Одномерными назовем волны, зависящие 
только от одной пространственной переменной z и времени t. Бегущая прямая волна описывается вещественной функцией вида 
( , )
(
).
S
z t
S z
t
υ
+
=
−
 Значение этой функции остается постоянным, 
если 
const.
z
t
υ
−
=
 Таким образом, каждое фиксированное значение функции бегущей волны (следовательно, и вся волна как 
«твердое тело») перемещается в положительном направлении оси z 
со скоростью υ. Волна, бегущая в отрицательном направлении оси 
z с той же скоростью, называется обратной и описывается функцией вида 
( , )
(
).
S
z t
S z
t
−
=
+υ
 Легко проверить, что для бегущих 
волн справедливы уравнения 

  
1
.
S
S

z
t

±
±
∂
∂
= ±
∂
∂
υ
 
(1.1) 

Наряду с бегущими волнами рассматривают также более сложные смешанные волны. Они представляют собой результат наложения (интерференции) двух бегущих волн с различными направлениями 
распространения: 
( , )
(
)
(
).
S z t
S
z
t
S
z
t
υ
υ
+
−
=
−
+
+
 
Если 
прямая и обратная волны в этом представлении одинаковы, то смешанная волна называется стоячей: 
0
0
( , )
(
)
(
).
S z t
S
z
t
S
z
t
=
−
+
+
υ
υ
 
Найдем уравнение для смешанной волны. В силу спра- 
ведливости 
уравнений 
(1.1) 
имеют 
место 
равенства 

(
)
1
(
)
S
S
S
S

z
t

+
−
+
−
∂
+
∂
−
= −
∂
∂
υ
, 
1
(
)
(
)
S
S
S
S
t
z

+
−
+
−
∂
+
∂
−
−
=
∂
∂
υ
. Продиффе
ренцируем первое из этих уравнений по z, а второе — по t. Сложим полученные результаты и получим уравнение второго порядка для смешанной волны S
S
S
+
−
=
+
: 

 

2
2

2
2
2
1
0.
S
S
z
t
∂
∂
−
=
∂
∂
υ
 
(1.2) 

Это уравнение называют волновым. Оно справедливо не только 
для смешанных волн общего вида, но и для их частных проявлений — стоячих и бегущих волн. 

1.2. Гармонические волны и их уравнения 

Бегущая волна является гармонической, если ее пространственно-временная зависимость имеет вид 

 
пр
об
( , )
cos(
)  или  
( , )
cos(
).
S
z t
S
kz
t
S
z t
S
kz
t
+
−
=
− ω
=
+ ω
 

При фиксированном моменте времени t обе волны описываются 
гармоническими функциями координаты, а при фиксированной координате — гармоническими функциями времени. Величину k называют волновым числом; оно играет ту же роль в пространственной 
зависимости, что и частота ω во временной. Период временного изменения функции 
2 / .
T = π ω  Период пространственного изменения 
функции называется длиной волны 
2 / .k
λ = π
 Гармоническая волна 
распространяется с фазовой скоростью 
/ ,
=
k
ω
υ
 так как 

[
]
( , )
cos
(
)
S
z t
k z
t
±
±
∼
υ
. Связь частоты с волновым числом называ