Аналитические и компьютерные методы проектирования градиентных оптических систем

А.Л. Сушков

Аналитические и компьютерные 
методы проектирования 
градиентных оптических систем

Практикум

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5235-4

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019

С91

УДК 535.8(075.8)
ББК 22.34
        C91 

Издание доступно в электронном виде по адресу 
ebooks.bmstu.press/catalog/112/book2105.html

Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника» 
Кафедра «Лазерные и оптико-электронные системы»

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве практикума

Сушков, А. Л.
Аналитические и компьютерные методы проектирования 
градиентных оптических систем : практикум / А. Л. Сушков. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2019. —  
48, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5235-4

Пособие посвящено изучению свойств неоднородных оптических 
элементов. Представлена аналитическая методика расчета линейных, 
угловых и апертурных характеристик граданов, приведены формулы для 
расчета и анализа сферической аберрации третьего порядка и хроматической 
аберрации первого порядка линзовых элементов с радиальной  
и осевой неоднородностью показателя преломления. Рассмотрена  
методика синтеза линзового компонента с улучшенным исправлением 
сферохроматической аберрации за счет введения в показатель преломления 
линзы осевой неоднородности. 
Для студентов старших курсов, изучающих дисциплину «Проектирование 
оптических систем с градиентными элементами».

УДК 535.8(075.8) 
ББК 22.34

Предисловие

Издание подготовлено для студентов старших курсов, изучающих 
дисциплину «Проектирование оптических систем с градиентными 
элементами», которая входит в образовательную программу 
специалитета по направлению подготовки 12.05.01 «Электронные 
и оптико-электронные приборы и системы специального назначения».

В пособии рассматриваются:
 • параксиальные и хроматические свойства неоднородных 

оптических элементов;

 • аналитическая методика расчета линейных, угловых и апертурных 
характеристик граданов;

 • формулы для расчета и анализа сферической аберрации 

третьего порядка и хроматической аберрации первого порядка 
линзовых элементов с радиальной и осевой неоднородностью показателя 
преломления. 

В настоящем издании также рассмотрена методика синтеза 

линзового компонента с улучшенным исправлением сферохроматической 
аберрации за счет введения в показатель преломления 
линзы осевой неоднородности. 

При выполнении практических работ у студентов формируются 
соответствующие компетенции (способности), предусмотренные 
основной профессиональной образовательной программой согласно 
самостоятельно устанавливаемому образовательному стандарту:

 • 
рассчитывать параметры и характеристики лазерных и оптико- 
электронных приборов;

 • проводить математическое и компьютерное моделирование 

лазерных и оптико-электронных приборов и систем с использованием 
систем автоматизированного проектирования оптико-
электронных приборов;

 • проектировать детали и узлы лазерных и оптико-электронных 

приборов с применением компьютерных технологий.

Практикум включает три практические работы (ПР):
ПР1 — изучение параксиальных, апертурных, полевых и аберрационных 
свойств граданов; 

ПР2 — расчет хроматической аберрации положения и сферической 
аберрации третьего порядка неоднородных линз с различными 
типами распределения показателя преломления (РПП); 

ПР3 — синтез линзы с исправленной сферической и минимизированной 
сферохроматической аберрациями.
Цель и задача данного пособия:
цель — практическое освоение методики аналитического расчета 
габаритных и аберрационных характеристик элементов  
с радиальной и осевой неоднородностью ПП;
задача — изучение параксиальных, аберрационных и габаритных 
характеристик оптических элементов с неоднородным ПП.
После выполнения практических работ студенты получат  
навыки:

 • обоснования методики проектирования ОС визуального  
и телевизионного прибора эндоскопического типа с граданами  
в качестве базовых элементов;

 • использования неоднородных линзовых элементов при проектировании 
ОС;

 • владения методами компьютерного расчета и анализа ОС, 

включающей как однородные, так и градиентные элементы. 

Система оценки качества подготовки, выполнения и защиты 
результатов выполнения лабораторных работ. Оценивание качества 
работы каждого студента проводится преподавателем отдельно за 
подготовку к работе, ее выполнение и защиту. При этом принимаются 
во внимание роль студента в данной работе и сфера его 
ответственности.
Оценка качества выполненных практических работ проводится 
согласно принятой в МГТУ им. Н.Э. Баумана пятибалльной 
рейтинговой системе.
Перед началом практических работ студент должен ознакомиться 
с содержанием теоретической части и подготовить форму 
отчета.
Критерии оценки и защиты практической работы заключаются 
в следующем.
1. Оценка готовности студента к выполнению практических 

работ в виде теста при наличии заготовленной формы отчета  
(ответ в течение 15 минут, 3 вопроса, максимум — 2 балла): 

 • ответ на 3 вопроса на 15 мин — 2 балла;
 • ответ на 2 вопроса — 1 балл;
 • ответ на 1 вопрос — баллы не проставляются, студент к работе 
допускается.
При отсутствии заготовленной формы отчета или отсутствии 

ответов на вопросы студент к выполнению практических работ не 
допускается.
2. Качество оформления отчета (максимум — 1 балл):
 • отчет оформлен полностью с первой попытки — 1 балл;
 • отчет оформлен полностью после исправлений — 0 баллов;
 • отчет имеет существенные ошибки или не оформлен —  
0 баллов и не допускается к защите. Студенту, выполнившему 
лабораторную (или практическую) работу, предоставляется возможность 
исправить отчет и сдать его на проверку повторно.
3. Защита в форме тестирования (ответ в течение 15 минут,  
3 вопроса, максимум — 2 балла):

 • 3 правильных ответа на контрольные вопросы — 2 балла;
 • 2 правильных ответа на контрольные вопросы — 1 балл;
 • 1 правильный ответ или нет ответов — 0 баллов (при этом 

студенту разрешается пройти процедуру защиты повторно).
Практическое задание считается выполненным, если студент 

его защитил и получил в сумме не менее 3 баллов. 

Студенты, допущенные к защите, но не набравшие установленного 
минимума баллов, могут быть допущены к повторной 
защите в сроки, установленные кафедрой.

Введение

Расчет и проектирование оптической системы (ОС) с оптичес- 
кими элементами и неоднородным по объему стекла показателем 
преломления (ПП) требует знания аберрационных свойств простейших 
неоднородных оптических элементов. Получить информацию 
о первичных свойствах неоднородных оптических элементов 
можно с помощью использования аналитических формул, 
основанных на теории первичных монохроматических и хроматических 
аберраций.
Аналитический метод позволяет получить объективную информацию 
об аберрационных свойствах ОС и влиянии на аберрацию 
как конфигурации поверхностей линзы и ее толщины, так и функциональной 
зависимости ПП.
Существующие прикладные программы инженерных расчетов 

MathCAD, Maple, Mathematiсa повышают возможности разработчиков 
в решении задач, которые требуют больших временных  
и человеческих затрат, и позволяют проводить в сжатые сроки 
алгебраические вычисления и расчеты, связанные с численным 
интегрированием, а также представлять полученные результаты  
в графическом виде, что существенно повышает глубину и широту 
исследования.
Градиентная оптика — сравнительно новый, но перспективный 

раздел оптики. Благодаря современным компьютерным программам 
на этапе моделирования оптической системы стало возможным 
выполнение габаритного расчета и теоретической оценки 
качества изображения.
Вместе с тем часто необходимо проводить габаритный расчет 

системы с использованием аналитических формул, а также предварительную 
оценку качества оптической системы на основе теории 
аберраций третьего порядка. Это позволяет дать логическое 
обоснование полученного схемного и аберрационного решения. 
Данные положения в большой мере относятся к базовым элементам 
оптической системы: граданам, макро- и микролинзам с осевой 
и радиальной неоднородностью показателя преломления. 

Основные сокращения  
и применяемые обозначения

АД 
— апертурная диафрагма 

Вхзр 
— входной зрачок
КР 
— константа радиального распределения показателя 

преломления
ОРПП — осевое распределение показателя преломления
ОС 
— оптическая система
ПД 
— полевая диафрагма
ПП 
— показатель преломления
ППП — пакет прикладных программ
ПР 
— практическая работа
РПП 
— распределение показателя преломления
РРПП — радиальное распределение показателя преломления 
d 
— толщина линзы
d0 
— характеристическое значение линейной длины градана
d 
— линейная длина градана (d ≡ l )
Dзр 
— диаметр входного зрачка 

D′з  р 
— диаметр выходного зрачка 

 f ′ 
— фокусное расстояние градана

′f0  
— минимальное значение фокусного расстояния градана
G 
— коэффициент, используемый в сокращенной форме 

записи формульных выражений
mзр 
— высота луча на входном зрачке
n 
— показатель преломления
n0 
— величина ПП на входе луча в неоднородную среду 

с осевым РПП
nz 
— величина ПП на выходе луча из неоднородной среды 

с осевым РПП
R 
— радиус кривизны оптической поверхности
Rгр 
— радиус градана
s 
— расстояние от первой поверхности градана до предмета
s′ 
— расстояние от последней поверхности до изображения 

в прямом ходе лучей 

s′F 
— заднее вершинное фокусное расстояние
sp 
— положение входного зрачка
s′p 
— положение выходного зрачка
sH 
— положение передней главной плоскости
sH′ 
— положение задней главной плоскости
SI 
— коэффициент сферической аберрации линзы третьего 
порядка
SIхр 
— коэффициент хроматической аберрации положения 
линзы
t 
— константа радиального распределения показателя 
преломления (в тексте — константа распределения)
tgσ′ 
— тангенс выходного апертурного угла в пространстве 
изображений
tgσ 
— тангенс входного апертурного угла в пространстве 
предметов
tgω 
— тангенс полевого угла наклона главного луча в пространстве 
предметов
y 
— величина предмета
zАД 
— положение апертурной диафрагмы 
zПД 
— положение полевой диафрагмы
β0 
— линейное увеличение 
Δnλ1,λ2 
— дисперсия ПП при радиальном РПП 
Δn00λ1,λ2 
— дисперсия базового показателя преломления
Δn10λ1,λ2 
— дисперсия градиента
Δnzλ1,λ2 
— дисперсия показателя преломления на выходной 
поверхности линзы с осевым РПП
Δs′I  II 
— продольная сферическая аберрация линзы третьего 
порядка
Δs′х  р 
— продольная хроматическая аберрация линзы градана
Δtλ1,λ2 
— дисперсия константы радиального распределения 
показателя преломления

∆ ′sсф  
— продольная сферическая аберрация линзы
λ 
— длина волны света
ν1пов, v2пов — коэффициенты дисперсии на первой и второй поверхностях 
при ОРПП
ν00 
— коэффициент дисперсии на оси оптической системы
ν10 
— коэффициент дисперсии РРПП
vz 
— коэффициент дисперсии в конце неоднородной среды
vгр 
— коэффициент дисперсии градана при dt/dλ = 0
ρ1 
— кривизна первой поверхности
ρ2 
— кривизна второй поверхности
z 
— линейное расстояние

Практическая работа 1 
Определение параксиальных, апертурных  
и полевых характеристик граданов

Цель — приобретение навыка расчета характеристик граданов 
различных типов с учетом дисперсионных свойств неоднородных 
сред. 
Задача — расчет гауссовых параметров, а также первичных 
хроматических аберраций граданов различных типов и длины при 
заданном положении предмета. 
После выполнения работы студент приобретет навыки и умения, 
позволяющие проводить следующие операции.
1. Рассчитывать параметры градана в области Гаусса.
2. Оценивать предельные апертурные, полевые характеристики 
граданов, положения входного и выходного зрачков, плоскости 
апертурной (АД) и полевой (ПД) диафрагм. 
3. Оценивать дисперсионные характеристики радиально- 
неоднородных сред (существующих и перспективных). 

1.1. Дисперсионные формулы и константы градиентной среды

Для проведения расчетов воспользуемся дисперсионными 
формулами для показателя преломления n и константы распределения 
t.
Показатель преломления n и константа распределения t 
в функции длины волны света λ представляют следующими полиномами: 

 

n
B
C
λ

λ
( ) =
+
2 ,  t
K
K
K
λ

λ
λ
( ) =
+
+
0
1
2
2
4 .  
(1.1)

Здесь B C K
K
K
,
,
,
,
0
1
2  — константы. 

На рис. 1.1 приведены типичные графики n(λ) и t(λ) с нормальным 
ходом дисперсии показателя преломления (ПП) и константы 
радиального распределения показателя преломления (КР).
Используя формулы (1.1), можно, во-первых, рассчитать коэффициенты 
дисперсии среды с радиальным распределением показателя 
преломления (РРПП) ν00, ν10: 

 
v
n

n
n

00
00 0

00 1
00 2

1
=
−

−

λ

λ
λ

,  v
n

n
n

10
10 0

10 1
10 2
=
−

λ

λ
λ

,  
(1.2)

во-вторых, определить дисперсию КР t:

 
dt
t
n dn
n dn
n
= −
−








1
00
10
10
00

00
2
.  
(1.3)

Для конечных значений разностей в настоящей работе следует 
применять обозначения Δt, Δn10, Δn00. На основании формулы (1.3) 

0,4

0,4

0,5

0,5

0,6

0,6

1,63

1,147

1,65

1,149

1,67

n

t

мкм

мкм

а

б

Рис. 1.1. Дисперсионные зависимости  
показателя преломления n и константы 
радиального распределения показателя 
преломления:

а — показатель преломления; б — константа 
радиального распределения показателя 
преломления