Интерференция и дифракция частично когерентного света

Интерференция и дифракция  
частично когерентного света

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

А.М. Хорохоров

УДК 535.3 
ББК 32.87 
        Х81 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/112/book1759.html 

Факультет «Радиоэлектроника и лазерная техника» 
Кафедра «Лазерные и оптико-электронные системы» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Хорохоров, А. М. 
Интерференция и дифракция частично когерентного света : 
учебное пособие / А. М. Хорохоров. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 60, [4] с. : ил. 

 
ISBN 978-5-7038-4851-7 

 
Рассмотрены особенности интерференции и дифракции света от полихроматических источников. Введены понятия о пространственной и 
временной когерентности света, и определены комплексные функции, 
описывающие величины и степени когерентности. Особое внимание 
уделено практическому использованию теории частичной когерентности 
в фурье-спектроскопии, исследовании небесных тел и других научных и 
технических приложениях. Приведены примеры, иллюстрирующие особенности расчета интерференции и дифракции от частично когерентных 
источников. 
Для студентов, изучающих курсы «Физическая оптика», «Физика», 
«Теория оптико-электронных систем», «Физические основы лазеров», 
«Волновая и квантовая оптика» и другие дисциплины аналогичной 
направленности.  
 
УДК 535.3 
ББК 32.87 

  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 
  
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4851-7 
                         МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Х81 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата 
(направления «Оптотехника» и «Лазерная техника и лазерные 
технологии»), а также студентов специалитета, обучающихся по 
специальности «Электронные и оптико-электронные системы 
специального назначения». Материал пособия соответствует разделу 4 программы дисциплины «Основы оптики», которая входит 
в перечень дисциплин для указанных направлений подготовки. 
Основной целью настоящего пособия является формирование 
у студентов целостной системы знаний, умений и навыков, позволяющих уверенно ориентироваться в вопросах теории и практики интерференции и дифракции частично когерентного света.  
Пособие содержит пять глав и приложение. В первых двух 
главах даны понятия пространственной и временной когерентности полихроматических световых полей, а также аналитического 
сигнала, который является комплексным представлением волнового поля частично когерентного источника. В третьей главе на 
основе анализа интерференции волн от двух полихроматических 
источников излучения вводится комплексная функция частичной 
когерентности, характеризующая как пространственную, так и 
временную когерентность волновых полей. В четвертой и пятой 
главах пособия подробно рассмотрены теория и практика временной и пространственной когерентности соответственно.  
В конце учебного пособия для лучшего усвоения материала читателю предложено ответить на вопросы для самоконтроля. В приложении приведены методы решения конкретных задач. Все это 
позволит значительно повысить уровень знаний студентов, привить им необходимые умения и навыки для решения практических задач в последующей инженерной и научной деятельности.  
 

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

Взаимная интенсивность — функция, характеризующая 
пространственную когерентность светового поля. 
Временная когерентность — зависимость когерентности 
взаимодействующих пучков света от относительного времени 
запаздывания. 
Время когерентности — параметр, определяющий максимальное время запаздывания, при котором когерентность взаимодействующих пучков незначительна. 
Длина когерентности — расстояние, которое проходит свет 
за время когерентности. 
Звездный интерферометр Майкельсона — интерферометр, 
предназначенный для нахождения углового размера небесных 
тел, принцип действия которого основан на определении области 
пространственной когерентности земной поверхности, освещаемой исследуемой звездой. 
Интерферограмма фурье-спектрометра — переменный 
сигнал приемника излучения, образующийся при смещении одного из зеркал интерферометра Майкельсона. 
Когерентность света — взаимная согласованность протекания во времени световых колебаний в разных точках пространства и (или) времени, которая характеризует их способность к 
интерференции.  
Комплексная степень взаимной когерентности — нормированная функция, характеризующая пространственную и временную степень когерентности светового поля. 
Комплексная функция взаимной когерентности — функция, характеризующая пространственную и временную когерентность светового поля. 
Область когерентности — область пространства, в которой 
модуль степени взаимной когерентности в любых точках области 
больше нуля.  
Пространственная когерентность — зависимость когерентности в разных точках светового поля от координат точек. 
Степень взаимной интенсивности — нормированная функция, характеризующая пространственную степень когерентности 
светового поля. 
Фурье-спектроскопия — метод спектральных исследований, 
основанный на фурье-преобразовании интерферограммы. 
Частично когерентный свет — характеристика источников 
и светового поля, определяющая степень согласованности световых колебаний. 

ВВЕДЕНИЕ 

Во многих работах по физической оптике при рассмотрении интерференции и дифракции речь идет главным образом о точечных 
источниках, излучающих монохроматические волны определенной 
частоты. Свет от реального физического источника никогда не бывает строго монохроматическим, так как даже самая узкая спектральная линия обладает конечной шириной. Кроме того, физический источник имеет конечные размеры и состоит из огромного числа элементарных излучателей (атомов). Согласно теореме 
Фурье, возмущение, создаваемое таким источником, можно выразить в виде суммы строго монохроматических волн, т. е. бесконечно длинных волновых цугов. В теории, оперирующей монохроматическим светом, по существу рассматривается лишь одна 
компонента такого фурье-представления. 
В настоящее время разработана строгая теория частично когерентного света, т. е. взаимодействия волн от немонохроматических источников, имеющих конечные размеры. Эта теория основана на использовании преобразования Фурье, операции временного усреднения быстро осциллирующих функций и принципа 
суперпозиции интенсивностей для различных точек источника.  
В пособии изложены основы этой теории, позволяющей адекватно описать многие явления, наблюдаемые при интерференции  
и дифракции света от таких источников. Особое внимание уделено практическому использованию теории интерференции и дифракции частично когерентного света для анализа спектрального 
состава излучения источника и пространственной когерентности 
в различных точках волнового поля. 

1. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ  
И ВРЕМЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ 

В монохроматическом волновом поле амплитуда колебаний в 
любой точке P  постоянна, тогда как фаза линейно меняется со 
временем. 
Например, для вектора 

E  плоской волны 



0cos ω
,




E
E
t
kz
 

0
const


E
; φ — линейная функция времени, φ
ω


t
kz . 

В волновом поле реального источника света амплитуда и фаза постоянно меняются во времени. При этом комплексная  
амплитуда колебаний остается более или менее постоянной в 
течение промежутка времени τс , соизмеримого с величиной, 
обратно пропорциональной эффективной ширине спектра 
ν
 . 
Изменение разности фаз любых двух фурье-компонент в диапазоне 
ν
  за это время значительно меньше 2π . Поэтому сумма 
таких компонент представляет собой колебание, которое в течение времени 
сτ  может считаться аналогичным воздействию  
монохроматического источника со средней частотой ν  или 
средней длиной волны λ
/ ν
 c
. Однако для более длинных интервалов времени 
τ
1/
ν
 


c
t
 ситуация коренным образом меняется. Время τ
1/
ν


c
 называется временем когерентности,  

а расстояние 
2
τ
/
ν
λ /
λ



 

c
c
l
c
c
, которое проходит волна 
за это время, — длиной когерентности. 
Рассмотрим в окрестности точки P  две точки 
1P  и 
2P . Предположим, что эти точки находятся в вакууме, освещаются протяженным квазимонохроматическим источником, а расстояние от 
источника до точек 
1P  и 
2P  составляет много длин волн. Можно 
с уверенностью говорить, что при достаточной близости 
1P  и 
2P  
друг к другу флуктуации амплитуд и фаз колебаний в этих точках не будут независимы. Действительно, если 
1P  и 
2P  так 
близки друг к другу, что разность расстояний от любой точки S  

источника 
1
2
 

l
SP
SP  мала по сравнению со средней длиной 

волны λ , то разумно предположить, что между этими флуктуациями будет существовать некоторая корреляция даже при большем удалении 
1P  и 
2P  друг от друга при условии, что для всех 
точек источника указанная разность расстояний не превышает 
длину когерентности, т. е.    c
l
l . Таким образом, приходим к 
понятию области когерентности вокруг любой точки P  волнового поля. 
Для адекватного математического описания понятия корреляции колебаний в точках 
1P  и 
2P  волнового поля следует использовать физическое явление, которое непосредственно связано с 
наличием или отсутствием этой корреляции. В качестве такового 
естественно использовать явление интерференции вторичных 
волн, исходящих из точек 
1P  и 
2,
P  при этом степень корреляции 
будет тесно связана с контрастом интерференционных полос. 
Можно ожидать резких полос при сильной корреляции (например, когда свет приходит в 
1P  и 
2P  из очень маленького источника, испускающего излучение в узком спектральном интервале) и 
полного отсутствия полос при отсутствии корреляции (источник 
больших угловых размеров с широким спектральным диапазоном). Для описания предельных ситуаций использованы термины 
когерентный и некогерентный. В общем случае не реализуется 
ни одна из них и нужно говорить о частично когерентных колебаниях. 
 

2. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ  
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛИХРОМАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ 

В этой главе будет показано, каким образом можно представить колебания в комплексной форме, если известна вещественная 
функция, описывающая колебания в некоторой точке P волнового 
поля от полихроматического источника. При этом в случае, когда 
волновое поле создается монохроматическим источником излуче
ния частотой 
0,

 функция 
   
r
V
t  описывает действительный 
сигнал  в некоторой точке 
.
P  Комплексная форма этой функции 
 
V t  имеет вид 

 
   




0
0
0
0
cos ω
φ
cos 2π ν
φ
;
r
V
t
A
t
A
t




 
(2.1) 

 
 




0
0
0
0
ω
φ
2πν
φ ,




i
t
i
t
V t
Ae
Ae
 
(2.2) 

где A — амплитуда колебаний одного из векторов электромагнитного поля (в дальнейшем, как правило, электрического вектора 

E ); 
0
φ  — начальная фаза колебаний.  

Прежде всего отметим, что 
   
r
V
t  есть действительная часть 

функции 
 
V t . Определим теперь различие спектров Фурье этих 

функций. Для этого по формуле Эйлера 
 


1
cos
2




ix
ix
x
e
e
 

преобразуем сначала функцию (2.1) к виду 

 
   


0
0
0
0
φ
2πν
φ
2πν
2





r
i
i
t
i
i
t
A
V
t
e
e
e
e
 
(2.3) 

и выполним преобразование Фурье функции (2.3) 

 

   
   





0
0

2πν

φ
φ
0
0

ν

δ ν
ν
δ ν
ν
.
2
2

r
r
i
t

i
i

V
V
t e
dt

A
A
e
e


















 
(2.4)
 

Спектр этой функции представлен на рис. 2.1, а. Преобразование Фурье функции (2.2) имеет вид 

 
 
 


0
φ
2πν
0
δ ν
ν
.





 




i
i
t
V
V t e
dt
Ae
 
(2.5) 

График этой функции изображен на рис. 2.1, б. 
 

 
 

 
Рис. 2.1. Спектры функций 
   
r
V
t  (а) и 
 
V t  (б) 

Как следует из выражений (2.4) и (2.5), различие в спектрах 
действительного сигнала и его комплексного представления заключается в том, что в первом из них присутствуют как положительные, так и отрицательные частотные гармоники, в то время 

как во втором отрицательные спектральные гармоники отсутствуют, а амплитуда положительной гармоники в два раза больше соответствующей гармоники вещественного сигнала. 
Используем описанный алгоритм для нахождения комплексного представления сигнала от заданного полихроматического 

источника. Пусть 
   
r
V
t  — вещественная функция, описывающая колебания в некоторой точке P  полихроматического источника. Определим комплексное представление данной функции. 
Для этого сначала найдем ее фурье-образ: 

 
   
   
2πν
. 





  
 r
r
i
t
V
V
t e
dt  
(2.6) 

Следуя алгоритму, обнулим амплитудный спектр функции 
(2.6) в области отрицательных частот и удвоим его в области частот положительных. Это легко делается с помощью функции 

 
 

1 при 
0;

sign ν
0  при 
0;

1  при 
0.


 



 



 


 
(2.7) 

Фурье-образ комплексного представления функции 
( )
V t  
находится по формуле 

 
 
 


   
ν
1
sign ν
ν .



 r
V
V
 
(2.8) 

Само комплексное представление вещественного сигнала 
(аналитический сигнал) определяется путем обратного преобразования Фурье функции (2.8), т. е. 

 
 
   

 


   
   
 
 

2πν
2πν

0

2πν
1

ν
2
ν
ν
 

1
sign ν
sign ν
.





















 














r
i
t
i
t

r
r
r
i
t

V t
V
e
d
V
e
d

V
e
d
V
t
F
V

 

(2.9)