Гироскопические приборы. Конспект лекций

Гироскопические приборы

Конспект лекций 

С.А. Черников, Н.Н. Щеглова 

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

УДК 531.38(075.8) 
ББК 22.213 

Ч-49 

 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  

по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/177/book1718.html 

Факультет «Информатика и системы управления» 

Кафедра «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

 

 
 
Черников, С. А. 

 
 
Гироскопические приборы. Конспект лекций / С. А. Черников, 

Н. Н. Щеглова. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2018. — 59, [5] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4747-3 
 
Рассмотрены теоретические представления о свойствах трехстепен-

ных и двухстепенных гироскопов, о принципе действия гироскопических 
приборов, гиростабилизаторов на их основе и акселерометров, рассмотрены 
также датчики угловой скорости на новых физических принципах.  

Для студентов 3-го курса, обучающихся по специальности «Систе-

мы управления летательными аппаратами». 

 

УДК 531.38(075.8) 
ББК 22.213 

  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 

  
 Оформление. Издательство  

ISBN 978-5-7038-4747-3                                             МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 

Ч-49 

Предисловие 

Целью настоящего учебного пособия (конспекта лекций) является 
ознакомление с принципом действия, математическими 
моделями и методами синтеза гироскопических приборов и гиростабилизаторов 
на их основе с использованием теории автоматического 
управления. 
Конспект лекций по дисциплине «Гироскопические приборы» содержит 
два модуля: «Физические основы работы гироскопических 
приборов» и «Приборы и системы ориентации и стабилизации».  
В первом модуле изложены основные свойства гироскопов с 
двумя и тремя степенями свободы, показана физика этих свойств, 
выведены уравнения движения двухстепенного и трехстепенного 
гироскопов по принципу Даламбера и с помощью уравнений Ла-
гранжа 2-го рода, проанализированы полученные уравнения. Описан 
принцип построения измерителей угловой скорости и малого 
угла поворота основания с помощью двухстепенного гироскопа, а 
также приведен пример коррекции датчика угловой скорости.  
Во втором модуле рассмотрены приборы и системы ориентации 
и стабилизации, а именно: гироскопические приборы направления, 
курсовой гироскоп, акселерометры различных конструкций, 
вибрационные 
микромеханические 
гироскопы, 
динамически 
настраиваемые гироскопы, оптические гироскопы, а также силовые 
и индикаторные гиростабилизаторы, изложены принципы их 
работы, кинематические схемы, проведен анализ их устойчивости, 
продемонстрированы методы коррекции. Согласно учебному плану, 
каждая лекция рассчитана на два академических часа. 
В результате освоения материала, изложенного в конспекте 
лекций, студенты узнают основные свойства гироскопов, принцип 
действия 
гироскопических приборов 
и гиростабилизаторов, 
научатся составлять их дифференциальные уравнения движения и 
проводить анализ и синтез контуров обратной связи указанных 
устройств с применением методов теории автоматического регулирования, 
овладеют методами самостоятельного поиска и анализа 
информации по заданной теме, ее структурирования, выделения 
ключевых положений, формирования выводов и предложений, 
подготовки аналитических обзоров, отчетов и презентаций. 
В издании принята сквозная нумерация рисунков и формул. 

Введение 

Гироскопические приборы не утрачивают актуальности в 
настоящее время и применяются на любых подвижных объектах 
в тех случаях, когда требуется обеспечить полную автономность 
работы приборов и систем на их основе. Возможность полной 
автономности работы приборов обусловлена замечательным 
свойством свободного от внешних воздействий трехстепенного 
гироскопа сохранять неизменным направление вектора кинетического 
момента в инерциальном пространстве. То есть трехсте-
пенный свободный гироскоп представляет собой неподвижную 
инерциальную систему координат. На базе двухстепенных гироскопов 
могут быть построены датчики угловых скоростей, измеряющие 
абсолютную угловую скорость подвижных объектов, на 
которых они устанавливаются.  
Для решения задач ориентации и стабилизации двухстепен-
ные и трехстепенные гироскопы применяются в качестве чувствительных 
элементов силовых и индикаторных гиростабилизаторов, 
моделирующих подвижные и неподвижные системы координат 
на борту движущихся объектов любого назначения. Для  
моделирования подвижных систем координат в индикаторных гиростабилизаторах, 
построенных на базе трехстепенных гироскопов, 
используется второе свойство трехстепенного гироскопа — 
прецессия под действием внешнего управляющего момента.  
В силовых гиростабилизаторах гироскопический момент мгновенно 
парирует внешний возмущающий момент, при этом осуществляется 
стабилизация платформы без статической погрешности. 
Роль двигателя стабилизации и требования к каналу стабилизации 
в этом случае намного снижены по сравнению с индикаторным 
гиростабилизатором. Режим управления в силовом гиростабилизаторе 
осуществляется за счет силового воздействия двухстепенного 
гироскопа на платформу. 
Гироскопические приборы вместе с акселерометрами являются 
чувствительными элементами инерциальных навигационных 
систем. 
 

МОДУЛЬ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ  РАБОТЫ  
ГИРОСКОПИЧЕСКИХ  ПРИБОРОВ 

Лекция 1. Общие сведения о гироскопических приборах 

Дисциплина «Гироскопические приборы» является одной из 
инженерно-теоретических дисциплин, обеспечивающих подготовку 
специалистов по приборам и системам ориентации, стабилизации 
и навигации летательных аппаратов (ЛА). 
Применение гироскопических приборов в технике сводится к 
трем основным задачам: ориентации, навигации и стабилизации. 
Области применения приборов: морской флот, авиация, космос, 
наземный транспорт, оружие, подземные работы, промышленное 
производство, робототехника, фото- и видеоаппаратура, бытовая 
техника и игрушки. 
Большинство задач, решаемых гироскопическими системами, 
можно рассматривать как задачи систем автоматического управления. 
Пример — задача управления баллистической ракетой. 
Кроме задачи управления движением центра масс объекта (задачи 
навигации) существует задача ориентации и стабилизации 
объекта относительно центра масс. При решении этих задач к 
гироскопическим приборам предъявляются определенные тактико-
технические требования (точность, надежность, время готовности) 
и требования к массе и габаритам приборов. 
В связи с тем что в настоящее время интенсивно разрабатывается 
целый класс гироскопов на новых физических принципах, для 
многих из них неприменимо классическое определение гироскопа. 
Гироскоп определяется как устройство, содержащее материальный 
объект, который совершает быстрые периодические движения, и 
чувствительное вследствие этого к вращению в инерциальном 
пространстве. В современных инерциальных системах используются 
как классические гироскопические приборы, так и гироскопы 
на новых физических принципах, которые в своем большинстве 
представляют собой датчики угловой скорости (ДУС). 
Широкое применение гироскопических приборов в составе 
инерциальных систем и использование их в качестве самостоятельных 
приборов обусловлено уникальными свойствами быстро 
вращающегося ротора:  

а) сохранять направление вектора собственного кинетического 
момента неизменным в инерциальном пространстве при отсутствии 
внешних моментов;  
б) совершать особый вид движения — прецессию в случае 
действия внешних моментов.  
Использование указанных свойств позволяет построить ряд 
измерительных приборов, а также создать опорные системы координат, 
как подвижные, так и неподвижные в инерциальном 
пространстве, что обеспечивает автономность работы инерциальных 
систем. Для управления движением центра масс, например, 
ракеты и формирования команды на выключение двигательной 
установки должны измеряться составляющие ускорения или проекции 
скорости центра масс ракеты на связанные с ней оси или на 
оси, неизменно ориентированные в пространстве (например, параллельные 
осям стартовой системы координат). Эту задачу выполняют 
акселерометры или гироскопические интеграторы линейных 
ускорений. 

Лекция 2. Физические основы движения оси гироскопа 

Гироскоп представляет собой симметричное быстровращающееся 
твердое тело с одной неподвижной точкой (рис. 1). 
Такое движение твердого тела в механике называется сферическим. 
Изучение кинематических характеристик сферического 
движения твердого тела удобно осуществлять с помощью теоремы 
об изменении кинетического момента:  
 
Рис. 1. Гироскоп:

(
)




e
M F  — вектор момента внешней 
силы; 
еF
  — внешняя сила; А — точка 
приложения внешней силы; В — конец 
вектора кинетического момента; 
O
K
  — 
вектор кинетического момента относительно 
точки О; 

B
V  — вектор скорости 
конца вектора кинетического момента;  
l — плечо силы 

еF ; Ω  — угловая скорость 
собственного вращения твердого 
тела вокруг оси z; 
пр
ω
 — угловая  

               скорость прецессии 

(
),
O
e
dK
M F
dt





 
(1) 

где 
O
K

 — вектор кинетического момента относительно точки О; 

(
)



e
M F
 — вектор момента внешней силы.  
Производная вектора кинетического момента представляет 
собой по физическому смыслу линейную скорость конца вектора 
кинетического момента — точки В, т. е.  

 
0
.
B

B

dK
dR
V
dt
dt







 
(2) 

Сравнивая (1) и (2), получаем  

 
(
)
B
e
V
M F





 
(3) 

— теорему Резаля, которая гласит: скорость конца вектора кинетического 
момента механической системы относительно некоторого 
неподвижного центра геометрически равна главному моменту 
внешних сил, действующих на эту систему, относительно 
того же центра.  
Если точка В движется с линейной скоростью ,
V


 то это означает, 
что твердое тело вращается вокруг оси y  с угловой скоростью 
прецессии 
пр.

 Из кинематики известна векторная формула 

Эйлера:  

пр
,
B
B
V
R
 





 

откуда имеем 

пр
B
O
V
K
 





 

или с учетом (3) получаем правило прецессии оси гироскопа:  

пр
(
)
,
e
O
M F
K
 






 

т. е. при действии на ротор гироскопа внешних сил ось ротора 
начинает поворачиваться таким образом, чтобы совместить вектор 
кинетического момента с моментом внешних сил по кратчайшему 
пути. С учетом того, что угловые скорости прецессии 

гироскопа относительно осей х и y намного меньше угловой скорости   
собственного вращения ротора относительно оси z, 
можно записать 








2
2
2
2
2
2
э
э
p
,









  


x
y
z
x
y
z
K
K
K
K
J
J
J
I
H  

где 
э
J  — экваториальный момент инерции ротора гироскопа; 

p
zJ
 — полярный  момент инерции ротора гироскопа. 

Тогда правило прецессии гироскопа (уравнение Резаля или 

Жуковского) выглядит следующим образом: 
.
М
Н





  
Данный вид особого движения гироскопа — прецессия — обладает 
свойством безынерционности, т. е. прецессия прекращается 
мгновенно при исчезновении момента внешних сил. Это третье 
свойство трехстепенного гироскопа.  
Другим особым видом движения оси гироскопа является нутация — 
это колебания оси гироскопа с высокой частотой  

э

H
J
 
 

и малой амплитудой  

э
0
нут
,
J
A
H



 

где 
0
  — начальная угловая скорость вращения ротора вокруг 
оси прецессии.  
При наличии переносной угловой скорости вращения ротора 
  у каждой точки ротора появляется ускорение Кориолиса, определяемое 
формулой  
2
,
k
e
r
а
V
  




 

где относительная линейная скорость 
rV


 каждой точки вычисляется 
по известной формуле Эйлера  

,
r
V
r
 



  

где r  — радиус-вектор точки.  

Главный момент кориолисовых сил инерции ротора называется 
гироскопическим моментом. Гироскопический момент можно 
представить как момент гироскопической пары сил, с которой 
гироскоп действует на тела, принуждающие его прецессировать 
под действием момента внешних сил.  
Три степени свободы в пространстве ротору гироскопа обеспечивает 
карданов подвес, состоящий из двух рамок (наружный 
карданов подвес). Для повышения точности гироскопа центр масс 
ротора совмещают с центром карданова подвеса. Такой гироскоп 
называют астатическим. Принцип действия некоторых приборов (
гироскопический интегратор линейных ускорений, простой 
маятниковый гирокомпас) основан на специальном смещении 
центра масс ротора относительно центра подвеса. В этом случае 
гироскоп называется «тяжелым».  
Существуют двухстепенные гироскопы с одной рамкой карданова 
подвеса. Свойства двухстепенного гироскопа резко отличаются 
от свойств трехстепенного гироскопа. Вектор кинетического 
момента в этом случае не способен сохранять свое положение 
в инерциальном пространстве. При приложении внешних 
сил, создающих момент вокруг оси рамки, двухстепенный гироскоп 
ведет себя как обычное твердое тело. Если поместить двух-
степенный гироскоп на вращающееся основание, то возникает 
гироскопическая пара сил (рис. 2), стремящаяся сделать ось гироскопа 
параллельной вектору угловой скорости вращения основания, 
причем так, чтобы после совпадения направления этих осей 
 

 

Рис. 2. Гироскопический момент: 

отн

V
 — вектор относительной линейной 
скорости; 
пер

 — вектор перенос-

ной угловой скорости; 
ka  — вектор 
ускорения Кориолиса; 
и
F
  — вектор 

силы инерции Кориолиса; H



 — вектор 
кинетического 
момента 
гироскопа; 

г

М — 
вектор 
гироскопического  
                       момента 
 
оба вращения вокруг них имели одинаковое направление. Свойство 
оси двухстепенного гироскопа совмещаться с вектором переносной 
угловой скорости основания позволили создать такие 

приборы, как гирокомпас Фуко и гироширот Фуко. В первом 
случае вектор кинетического момента совмещается с северной 
проекцией вектора угловой скорости Земли и указывает на север. 
Для этого необходимо ось рамки ротора установить вертикально. 
Если ось рамки устанавливают в горизонтальной плоскости по 
линии восток — запад, то ось ротора гироскопа имеет возможность 
совместиться с самим вектором угловой скорости вращения 
земли. Угол между осью гироскопа и плоскостью горизонта оказывается 
равным географической широте места. 

Лекция 3. Вывод уравнений движения 
трехстепенного гироскопа 

В инженерной практике для вывода уравнений движения 
трехстепенного гироскопа в кардановом подвесе часто используют 
метод кинетостатики или принцип Даламбера для механической 
системы при сферическом движении:  

1
1
1
(
)
(
)
(Φ )
0,

n
n
n

O
k
O
k
O
k
k
k
k
M
F
M
R
M

















 

где 

1
(
)

n

O
k
k

M
F





 — главный момент активных сил относительно не-

подвижного центра О; 

1
(
)

n

O
k
k

M
R





 — главный момент сил реакции 

связей относительно неподвижного центра О; 

1
(
)

n

O
k
k
M









 — глав-

ный момент сил инерции относительно неподвижного центра О.  
Если для каждого твердого тела силы раскладывать не на активные 
и реакции связей, а на внешние и внутренние с учетом 
того, что главный момент внутренних сил равен нулю, то имеем  

1
1
(
)
(Φ )
0.

n
n
e
O
k
O
k
k
k
M
F
M













 

Поскольку главный момент сил инерции