Планирование температурных измерений для определения характеристик теплопереноса материалов тепловой защиты многоразовых космических аппаратов

Планирование температурных измерений 

для определения характеристик 
теплопереноса материалов 
тепловой защиты 
многоразовых космических аппаратов

Рекомендовано Федеральным учебно-методическим объединением в системе 
высшего образования по укрупненной группе специальностей и направлений 
подготовки  24.00.00 «Авиационная и ракетно-космическая техника»  
в качестве учебного пособия

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана

С.В. Резник, П.В. Просунцов

УДК 536.2:536.3 
ББК 31.31 
 Р34 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/121/book1748.html 

Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Ракетно-космические композитные конструкции» 

 
 

Рецензенты: 
д-р техн. наук профессор М.Ю. Лившиц, 
канд. физ.-мат. наук М.О. Забежайлов 
 
                Резник, С. В.  
                     Планирование температурных измерений для определения характеристик теплопереноса материалов тепловой 
защиты многоразовых космических аппаратов : учебное 
пособие / С. В. Резник, П. В. Просунцов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 42, [6] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-4802-9 
 
Представлены методы и алгоритмы планирования температурных 
измерений, предназначенных для последующего определения характеристик теплопереноса частично прозрачных пористых материалов. Приведены примеры использования алгоритмов решения задач, рассмотрены 
результаты их применения при планировании температурных измерений 
на этапе подготовки стендовых тепловых испытаний образцов теплозащитных материалов и элементов теплонагруженных конструкций.  
Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки специалистов «Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетнокосмических комплексов», бакалавров «Ракетные комплексы и космонавтика», магистров «Ракетные комплексы и космонавтика». 
 
УДК 536.2:536.3 
ББК 31.31 

  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018 
  
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4802-9                               МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Р34 

Предисловие 

В учебном пособии представлены методы и алгоритмы планирования температурных измерений, предназначенных для последующего определения характеристик теплопереноса частично прозрачных пористых материалов. Учебное пособие может быть  
рекомендовано для студентов, обучающихся по направлениям 
подготовки специалистов 24.05.01 «Проектирование, производство 
и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов», бакалавров — 24.03.01 «Ракетные комплексы и космонавтика», магистров — 24.04.01 «Ракетные комплексы и космонавтика», изучающих дисциплины «Теория и методы решения обратных задач»,  
а также «Испытания композитных материалов и конструкций», 
«Теплофизические процессы в композитных конструкциях», «Теплоперенос в композиционных материалах», «Математическое моделирование 
теплонагруженных 
композитных 
конструкций»,  
и аспирантов по специальностям: 05.07.01 «Аэродинамика и процессы теплообмена летательных аппаратов», 05.07.03 «Прочность 
и тепловые режимы летательных аппаратов», 05.07.07 «Контроль  
и испытание летательных аппаратов и их систем». 
Цель пособия — познакомить студентов с современными 
подходами и методами планирования температурных измерений, 
проводимых для определения характеристик теплопереноса материалов систем тепловой защиты многоразовых космических 
аппаратов, а также с построением алгоритмов решения задач. 
Изучение дисциплины «Теория и методы решения обратных 
задач» включает в себя два модуля и рассчитано на один семестр.  
Материал пособия относится к разделу 2.3 модуля 2: «Постановки и алгоритмы решения обратных задач», который посвящен 
вопросам планирования температурных измерений при проведении испытаний образцов материалов и элементов конструкций. 
Цель изучения указанного раздела заключается в обучении 
постановке и решению задачи оптимального планирования температурных измерений при проведении стендовых тепловых испытаний образцов теплозащитных материалов и элементов системы тепловой защиты. 
Пособие представляет собой логически завершенный раздел 
курса, для которого приводится набор планируемых результатов 
обучения, заданных программой дисциплины. 

После изучения раздела 2.3 «Планирование температурных 
измерений при проведении испытаний образцов материалов и 
элементов конструкций» модуля «Постановки и алгоритмы решения обратных задач» студенты смогут:  
 формулировать постановку задачи оптимального планирования температурных измерений; 
 разрабатывать алгоритм решения задачи оптимального планирования температурных измерений; 
 давать рекомендации по выбору размеров образца при проведении стендовых тепловых испытаний в целях определения 
характеристик теплопереноса; 
 понимать влияние основных параметров стендовых тепловых испытаний (толщины образца, уровня, темпа и продолжительности нагрева фронтальной поверхности и др.) на оптимальный план температурных измерений. 
Для изучения дисциплины требуется наличие знаний и навыков по математическому анализу, материаловедению, производству композитных конструкций, оптимизации композитных конструкций и технологий, термодинамике и теплопередаче, теплофизическим процессам в композиционных материалах. 
Кроме того, для понимания материала, изложенного в пособии, необходимы знания в области физики, термодинамики и 
теплопередачи, дифференциальных уравнений и частных производных. Считается, что читатель владеет материалом, изложенным в пособиях [1] и [2]. В начале изучения настоятельно рекомендуется для самоконтроля выполнить задания и ответить на 
следующие вопросы: 
1) изложить основные допущения диффузионного приближения для решения уравнения переноса излучения; 
2) записать двумерное нестационарное нелинейное уравнение 
теплопроводности с источниковым членом в декартовой системе 
координат; 
3) указать температурный интервал работы материалов системы тепловой защиты многоразовых космических аппаратов; 
4) описать особенности элементов системы тепловой защиты 
и возможные способы размещения в них датчиков температуры;  
5) объяснить принцип работы контактных датчиков температуры; 

6) указать типы термопар и температурные диапазоны их 
применения; 
7) дать определение случайных и систематических погрешностей измерения температуры; 
8) назвать технические приемы снижения методической погрешности измерения температуры контактными датчиками. 
Выполнение перечисленных заданий подготовит студента для 
грамотного и полноценного восприятия материала пособия, закрепит полученные знания по указанным дисциплинам и тематическим направлениям и послужит необходимым фундаментом 
для дальнейшего процесса обучения по выбранной профессии. 

1. ПОСТАНОВКА И АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 
ПЛАНИРОВАНИЯ  ИЗМЕРЕНИЙ 

Одна из задач стендовых тепловых испытаний (СТИ) элементов системы тепловой защиты заключается в получении (или 
уточнении) сведений о характеристиках теплопереноса материалов. Для этого в различных точках образца материала или элемента системы тепловой защиты (СТЗ) необходимо измерить 
температуру. Полученные экспериментальные данные о температуре будут использоваться для решения обратной задачи радиационно-кондуктивного теплообмена (РКТ) [1–3, 5, 6], или теплопроводности [3, 4, 7].  
Наиболее распространенным средством измерения температуры при проведении СТИ являются контактные датчики (термопары), позволяющие измерять температуру как на поверхности 
образца материала или элемента СТЗ, так и в его объеме.  
Примеры, приведенные в работе [2] на рис. 4.2 и 5.2, свидетельствуют о том, что определение характеристик теплопереноса 
теплозащитных материалов невозможно без проведения планирования температурных измерений. При этом точность решения 
обратной задачи существенно зависит от плана температурных 
измерений, который состоит в определении рационального количества и координат установки датчиков температуры.  
Установка датчиков температуры наугад снижает точность и 
устойчивость решения обратной задачи РКТ и может привести к 
ошибочным результатам. Значимость проблемы планирования 
температурных измерений возрастает с увеличением числа одновременно определяемых температурных зависимостей ввиду снижения обусловленности задачи. Еще более задача усложняется для 
многомерных процессов теплообмена, что объясняется резким 
увеличением количества вариантов плана измерений.  
Минимально необходимое количество датчиков и их пространственное расположение полностью определяются анализом условий существования и единственности решения обратной задачи. 
Для однозначного восстановления одной зависимости C(T) или 
(T) в уравнении теплопроводности достаточно провести измерение нестационарной температуры в одной точке, которая может 

находиться внутри образца при задании граничных условий первого рода на обеих поверхностях либо располагаться на одной из 
границ при задании условий второго рода.  
При одновременном восстановлении зависимостей C(T) и 
(T) для обеспечения единственности решения обратной задачи 
следует проводить нестационарные измерения в двух точках 
образца. Тогда хотя бы на одной из границ необходимо задать 
граничное условие второго рода, а плотность теплового пото- 
ка должна быть отличной от нуля.  
Если количество точек измерения превышает минимально 
необходимое, обратная задача становится переопределенной, а 
степень влияния отдельных датчиков на результаты решения 
зависит от их удаления от границ теплового воздействия.  
С увеличением количества датчиков повышается устойчивость решения обратной задачи, однако появляются проблемы, 
связанные с существенным нарушением целостности образца 
при установке датчиков (размер зоны установки может стать 
соизмеримым с общим размером образца) и взаимным влиянием 
отдельных датчиков.  
Оптимальный план измерения температуры должен удовлетворять условиям единственности решения обратной задачи и 
обеспечивать максимальную точность определения характеристик материалов. Поскольку при формулировке экстремальной 
задачи не удается построить критерий, непосредственно определяющий точность решения обратной задачи, то приходится использовать косвенные показатели качества эксперимента.  
Для параметризованной формы решения распространенным 
косвенным критерием является детерминант нормированной 
информационной матрицы Фишера [7, 8–10]. 
Оптимальным планом измерений  

*
1
1
2
2
3
3
{
,(
,
),(
,
),(
,
)...(
,
)},
t
t
t
N
N
N
x y
x
y
x
y
x
y
 
 

представляющим собой совокупность количества и координат 
установки датчиков температуры, считается план, для которого 
норма информационной матрицы Фишера, построенной из комбинаций функций чувствительности поля температур к различным 
параметрам оцениваемых функций, будет максимальной, т. е. 

 
*
arg max ( ( ));
 

F
 
(1.1) 

1
2
,
1
2
1
( )
,
,
1,
;


 




m
m
t

F
m
m
M
N
 
(1.2) 

 
1
1
1
2
,
1 0
(
,
, )
(
,
, )
,







 


 

f
t
N

m
m
m
n
n
m
n
n
n

x
y
x
y
d
 
(1.3) 

где   — план измерений; F  — информационная матрица Фишера; 
t
N  — количество датчиков температуры;   — элементы информационной матрицы; M  — суммарное количество параметров 
всех оцениваемых функций;  f  — продолжительность экспери
мента, с;  — функция чувствительности; 
,
,
1,
,

n
n
t
x
y
n
N  — координаты датчиков температуры, м. 
Для оценки нормы матрицы Фишера следует выбрать ее детерминант [3, 7]: 
 
*
max(det( ( )).
F
 

 
(1.4) 

Сложной задачей является построение алгоритма нахождения 
максимума нормы информационной матрицы. Для этого можно 
применить метод перебора, при котором датчик температуры последовательно помещается во все узлы разностной сетки и находится узел, в котором значение нормы информационной матрицы 
максимально. При решении одномерных обратных задач и небольшом количестве (2–3) датчиков температуры применение такого подхода оправданно. Однако при нахождении оптимальных 
планов измерений для многомерных процессов теплообмена или 
при увеличении количества датчиков температуры до 5–6 затраты 
вычислительных ресурсов становятся явно чрезмерными. 
Экономичнее с точки зрения использования вычислительных 
ресурсов, но сложнее с позиций построения алгоритма решения 
задачи планирования является метод проекции градиента. Для 
нахождения градиента решается вспомогательная сопряженная 
задача. Выбор метода проекции градиента оправдан при определении оптимальных параметров нагрева (плотность падающего теплового потока, время нагрева и др.) для проведения испытаний, на 
которые накладываются достаточно простые ограничения. В случае же поиска оптимальных мест установки датчиков температуры 
количество возможных ограничений существенно возрастает. 
Кроме естественных ограничений, связанных с размерами элемен

та СТЗ, могут возникать ограничения, вызванные необходимостью 
размещения датчиков температуры только в заданных слоях элемента или на границах слоев. В таком случае эффективность метода проекции градиента резко снижается. 
Рациональным выбором для организации вычислительного алгоритма максимизации нормы информационной матрицы является 
использование безградиентных алгоритмов типа метода деформируемого многогранника [11]. Такие алгоритмы позволяют организовать достаточно эффективный процесс поиска максимума нормы 
информационной матрицы и при этом обеспечить широкие возможности формулирования ограничений на план измерений. 
Задача вычисления функций чувствительности для одномерных процессов радиационно-кондуктивного теплообмена 
образца. Рассмотрим процесс РКТ в области 
,
  представляющей 
собой пластину (цилиндр) бесконечной протяженности, которая состоит из слоев 
(
1,4),


i
i
 ограниченных поверхностями раздела 

,
1,9


i i
 [1]. При этом слои 
1
  и 
2
  частично прозрачные, а слои 

3
  и 
4
  — непрозрачные. 
При вычислении функций чувствительности, как и в работе 
[2], для исходных уравнений, описывающих процесс РКТ [1], 
применяется поочередное варьирование отдельных параметров 
всех искомых характеристик материалов.  
Поэтому, считая, что аналогично работе [2] искомые зависимости теплофизических и оптических характеристик параметризуются на основе системы базисных функций 
1
1 ( ),
k T

 
2
2 ( ),
k
T

 

3
3 ( ),
k T

 
4
4 ( ),
k
T

 в качестве которых используются линейные или 
кубические В-сплайны, записываем их в виде 

 
 
 

 
 

1
1
2
2
1
2
1 1
2 1

3
3
4
4
3
4
3 1
4 1

( );
( );

( );
( ),

C

D

K
K
k
k
k
k

k
k

K
K
k
k
k
k

k
k

C T
C
T
T
T

D T
D
T
T
T































 
(1.5) 

где С — объемная теплоемкость, Дж/(м3·К);   — коэффициент 
теплопроводности, Вт/(м·К);   — коэффициент поглощения, м–1; 

D  — коэффициент диффузии излучения, м; 
1
1 ( ),
k T
 1 1,
;

C
k
K
 

2
2 ( ),
k
T
 
2
1,
;


k
K
 
3
3 ( ),
k
T
 
3
1,
;

D
k
K
 
4
4 ( ),
k
T
 
4
1,
,


k
K
 — 
базисные функции. 
Положим, что каждый из параметров 
1,
k
C
 
1 1,

C
k
K
, 

2,
2
1,
,



k
k
K
 
3,
3
1,
,

k
D
D
k
K
 
4, 4
1,



k
k
K  независимо от других получил единичное приращение.  
Для каждого параметра это приращение вызывает вариации 
полей температуры 
( , ),


k x
 
1,






C
D
k
K
K
K
K  и излуче
ния 
, ( , ),



k
x
 

k
 
1,
,






C
D
K
K
K
K
 которые определяют
ся как вариация поля температуры 
для частично прозрачных областей 












1,

1,

1

,
,

,

1
2

*
2
,

( )
( , )
( )
( , )
1

( )
( , )
( , , )
( , )

( )
( , )
( , , )
( , )
;

1,2;
;
]0,
];

( , , ) 4
( )
( ( , ));

(






















 

















 








 






 




 










T

i

T

i

i
k
i
k
m
m

i
k
k

i
k
k

f

i

k

k

C T
x
T
x
x
x
x
x

T
x
B
x
T
x
d

T U
x
B
x
T
x
d
Q

i
x

B
x
T
n
T B T x

Q




1,

2

(
)
4

( , )
) (
1)
,
1,
;

1
( , )
( ) (
1)
,
1,
;

;
0,
1,
;

( ) (
1)
( , )
( ,
)
,

1,

























 














 



























 
 





















c

C
D

i

C

k K
m
C
C
m

C
C
D

k
K
K
K

C
D
C
D

T x
T
i
k
K

T x
x
T
i
k
K
K
K
x
x
x

k
K
K
K
K
K

T
i
U
x
B
x T
d

k
K
K
K
K
K
K
K
 

(1.6)