Применение метода подконструкций для термопрочностного расчета камеры жидкостного ракетного двигателя

Московский государственный технический университет  

имени Н.Э. Баумана

Применение метода подконструкций  

для термопрочностного расчета камеры  

жидкостного ракетного двигателя

Методические указания к выполнению домашнего задания 

УДК 621.455
ББК 39.65
 
Г12

ISBN 978-5-7038-4678-0

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
© Оформление. Издательство 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Г12

 
 
Применение метода подконструкций для термопрочностного 
расчета камеры жидкостного ракетного двигателя. Методические указания к выполнению домашнего задания / [С. С. Гаврюшин и др.] — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 60, [4] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4678-0

Представлена методика термопрочностного расчета камеры жидкостного ракетного двигателя методом конечных элементов. Для получения детальной информации термопрочностного состояния опасных 
зон конструкции камеры ракетного двигателя используется метод подконструкций. Рассмотрен пример расчета с использованием программного комплекса ANSYS.
Издание предназначено для студентов факультета «Энергомашиностроение», обучающихся по специальности «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» при выполнении домашнего задания 
по курсу «Автоматизация проектирования ракетных двигателей».

УДК 621.455
ББК 39.65

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/203/book1652.html

Факультет «Энергомашиностроение»  
Кафедра «Ракетные двигатели»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Авторы:

С. С. Гаврюшин, О. В. Короткая,  
А. Р. Полянский, Д. А. Ягодников

Предисловие

В настоящей работе представлены основы теории и методика 
выполнения термопрочностного расчета камеры жидкостного ракетного двигателя с помощью метода конечных элементов. Для 
получения детальной информации термопрочностного состояния 
опасных зон конструкции камеры применен метод подконструкций. Рассмотрен пример расчета камеры с использованием программного комплекса ANSYS.
Данное пособие предназначено для студентов факультета 
«Энергомашиностроение» МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Проектирование авиационных и ракетных 
двигателей», и окажет им помощь при выполнении домашнего 
задания по курсу «Автоматизация проектирования ракетных двигателей».

Введение

Камера жидкостного ракетного двигателя (ЖРД) – это тонкостенная паяно-сварная конструкция, работающая при высоких 
температурных и силовых воздействиях [1, 2]. Для анализа прочности конструкции камеры были разработаны методики поверочных расчетов [3, 4], позволяющие оценить работоспособность 
камеры двигателя на различных режимах работы. При разработке 
новых ЖРД прочностные характеристики двигателя определяются 
в процессе испытаний на дорогостоящих огневых стендах, хотя к 
настоящему времени появилась возможность использовать для 
оценки напряженно-деформированного состояния конечно-элементные (КЭ) программные комплексы [5–7]. С помощью таких 
комплексов получают детальную информацию о термопрочностном 
состоянии камеры ракетного двигателя, что существенно уменьшает объемы холодных и огневых испытаний [8]. Однако прямая 
реализация полномасштабного КЭ-расчета приводит к необходимости использования громоздких конечно-элементных моделей, 
что требует применения суперкомпьютеров. Перспективными с 
точки зрения уменьшения трудоемкости расчета являются методы 
подконструкций и циклической симметрии, особенности применения которых и представлены в данных методических указаниях.

1. Основы теории и расчета термопрочностных задач.  
Метод конечных элементов

Наиболее эффективным и широко используемым численным 
методом решения инженерных задач является метод конечных 
элементов (МКЭ) – аппроксимация исследуемого тела дискретной 
моделью, представляющей совокупность элементов, соединенных 
в узловых точках. К этим точкам приводятся все виды нагрузок, 
действующих на систему. Параметры приведенной идеализированной системы определяются исходя из соответствующих вариацион- 
ных решений.

1.1. Напряженное состояние

В декартовой системе координат OXYZ, совпадающей с системой координат OX1X2X3 X
X
Y
X
Z
X
=
=
=
(
)
1
2
3
,
,
, рассмотрим трехмерное тело, ограниченное поверхностью S. Под действием внешних нагрузок в теле возникают внутренние силы, мерой которых 
являются напряжения, определяемые как силы, действующие на 
единицу площади в теле (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Составляющие напряжений, действующие на грани кубика

Для удобства в МКЭ используют матрично-векторную форму 
записи разрешающих уравнений. Напряженное состояние тела 
определяется шестью компонентами напряжений. Введем векторстолбец напряжений

 
σ

σ
σ

σ

τ

τ

τ

{ } =































x

y

z

xy

yz

zx

. 
(1.1)

Дифференциальные условия равновесия следующие:

∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+
=

∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
+
=

∂
∂
+ ∂

σ
τ
τ

τ
σ
τ

τ

x
xy
xz
x

yx
y
yz
y

zx

x
y
z
b

x
y
z
b

x

0

0

;

;

τ
σ
zy
z
z
y
z
b
∂
+ ∂
∂
+
=














0.

После введения матричного дифференциального оператора

R

x
y
z

y
x
z

z
y
x

[ ] =

∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

























0
0
0

0
0
0

0
0
0

уравнение равновесия можно представить в виде

 
R
b
[ ]{ }+{ } ={ }
σ
0 , 
(1.2)

где

  
b
b
b

b

x

y

z
{ } =












 – вектор объемных сил. 
(1.3)

Если известны напряжения σ
{ } в системе координат OX1X2X3, 
то с помощью формулы перехода

 
′
{ } =[ ]{ }
σ
σ
Р
 
(1.4)

можно найти напряжение 
′
{ }
σ
 в некоторой новой системе координат O X X X
′
′
′
′
1
2
3 , ориентация которой задается направляющими 
косинусами
 
l
x x
ij
i
j
=
′
(
)
cos
,
. 

Элемент Pijkl  матрицы перехода Р
[ ]

×
6 6

, связывающей напряжения 

′
σij  и σkl, определяется как

 
P
l
l
ijkl
ik
jl
=
. 
 (1.5)

1.2. Деформированное состояние

Вектор перемещений для деформированного состояния тела

 
u
u
u

u

x

y

z
{ } =











×
3 1

. 
(1.6)

Деформации связаны с перемещениями через формулы Коши:

 

εx
x
x
y
z
u
x
u
x
u
x
u
x
= ∂
∂
+
∂
∂



 + ∂
∂



 + ∂
∂
















1
2

2
2
2
;

εy
y
x
y
z
u
y
u
y
u
y
u
y
= ∂
∂
+
∂
∂





 + ∂
∂





 + ∂
∂


















1
2

2
2
2

;

εz
z
x
y
z
u
z
u
z
u
z
u
z
= ∂
∂
+
∂
∂



 + ∂
∂



 + ∂
∂














1
2

2
2
2


;

 

 

 

γ

γ

xy
x
y
x
x
y
y
z
z

yz

u
y
u
x
u
x
u
y
u
x
u
y
u
x
u
y
= ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂





;

= ∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂







= ∂

u
z
u
y
u
y
u
z
u
y
u
z
u
y
u
z

y
z
x
x
y
y
z
z

zx

;

γ
u
z
u
x
u
x
u
z
u
x
u
z
u
x
u
z

x
z
x
x
y
y
z
z

∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂



,

 

где ε, γ – продольная и угловая деформации соответственно.
Вектор-столбец деформаций

 
ε

ε
ε

ε

γ

γ

γ

{ } =































x

y

z

xy

yz

zx

  
(1.7)

можно представить как сумму линейной (относительно производ- 
ных от перемещений) и нелинейной составляющих ε
ε
ε
{ } ={ }+{ }
 ,  
где для линейных деформаций справедлива зависимость

 
ε
{ } =[ ] { }

×
×
×
6 1
6 3
3 1

R
u

T
, 
(1.8)

R

x

y

z

y
x

z
y

z
x

T
[ ] =

∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

−

0
0

0
0

0
0

0

0

0

матричный дифференциальный оператор.

В рамках рассматриваемой задачи полагаем нелинейные составляющие деформаций пренебрежимо малыми.

1.3. Связь между напряжениями и деформациями

Для упругого тела в соответствии с законом Гука напряжения 
связаны с деформациями линейными соотношениями:

σ

σ
σ

σ

τ

τ

τ

{ } =































=

x

y

z

xy

yz

zx

d
d
d
d
d
d
11
12
13
14
15
16

21
22
23
24
25
26

31
32
33
34
35
36

41
42
43
44
45
46

d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d51
52
53
54
55
56

61
62
63
64
65
66

d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d

x


























ε
ε

ε

γ

γ

γ

ε

y

z

xy

yz

zx

D































=[ ]{ } , (1.9)

где D
[ ] =

+
+
+













λ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
µ
µ
µ

2
0
0
0

2
0
0
0

2
0
0
0

0
0
0
0
0

0
0
0
0
0

0
0
0
0
0















 – матрица упругих  

 
 
 констант;

λ, μ – постоянные Ламе:  λ
ν

ν
ν
µ
ν
=
+
(
)
−
(
)
=
+
(
)
E
E
1
1
1 2
2
,
; Е – модуль 

Юнга; ν – коэффициент Пуассона.
Для анизотропного тела преобразование при смене системы 
координат проводится матрицей упругих констант 
′
[
]
D  в некото
рой системе координат с помощью формулы D
P
D
P

T
[ ] =[ ]
′
[
][ ] , 

где D
[ ]  есть матрица перехода из (1.4) с элементами (1.5).

1.4. Граничные условия

Напряженное состояние тела зависит от того, какие внешние 
нагрузки приложены к его границе. Поэтому, помимо условий 
равновесия внутри тела, напряжения должны удовлетворять условиям равновесия на его поверхности.

Введем вектор поверхностных усилий p
p
p

p

x

y

z
{ } =












, действующий 

на площадке с нормалью n
{ } , ориентация которой задается направляющими косинусами n
n x
x =
(
)
cos
,
, n
n y
y =
(
)
cos
,
, n
n z
z =
(
)
cos
,
.  
Этот вектор связан с напряжениями через формулу

p
p

p

n
n
n

n
n
n

n

x

y

z

x
x
xy
y
xz
z

yx
x
y
y
yz
z

zx
x
zy












=

+
+

+
+

+

σ
τ
τ

τ
σ
τ

τ
τ nn
n
y
z
z
+












σ

 

или в матричном виде p
C
{ } =[ ]{ }

×
×
×
3 1
3 6
6 1
σ , где

C

n
n
n
n
n
n

n
n
n

x
y
z

y
x
z

z
y
x
[ ] =
















0
0
0
0
0
0
0
0
0

 – матрица направляющих косину- 
    сов.

Если 
p
p
p

p

x

y

z

*

*

*

*
{ } =












 есть известный вектор поверхностных усилий, 

действующих на часть границы тела S2 , то из условий равновесия 
следует p
p
{ } ={ }
∗ .
Подставив (1.8) в (1.9) и (1.2), получим систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка 
R D R
u
b
T
[ ][ ][
]{ }+{ } = 0 . Кинематические граничные условия, заданные на части границы S1 : u
u
{ } ={
}
* , где 
u*
{
}  – заданные 

перемещения на границе S1.

1.5. Разрешающее уравнение МКЭ в форме метода 
перемещений

Полная энергия системы при статическом нагружении может 
быть представлена как сумма потенциальной энергии деформации 
тела и потенциала внешних сил. Энергия деформации линейноупругого тела определяется по формуле

 
U
dV
T

V
=
{ } { }
∫
1
2
ε
σ
, 

где ε{ }  – вектор-столбец деформаций (см. (1.7)); σ
{ } – векторстолбец напряжений (см. (1.1)).
Потенциал внешних сил численно равен удвоенной работе:

 
W
u
b dV
u
p dS

T

V

T

S
= − { } { }
− { } { }
∫
∫
,