Методы математического обоснования решений на применение сил и средств органов внутренних дел МВД России при ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций

Санкт-Петербургский университет Министерства внутренних дел 
Российской Федерации
Кафедра деятельности органов внутренних дел в особых условиях
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО 
ОБОСНОВАНИЯ РЕШЕНИЙ 
НА ПРИМЕНЕНИЕ СИЛ И СРЕДСТВ 
ОРГАНОВ ВНУТРЕННИХ ДЕЛ МВД РОССИИ 
ПРИ ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ 
ЧРЕЗВЫЧАЙНЫХ СИТУАЦИЙ
МОНОГРАФИЯ
Москва
ИНФРА-М
2024

УДК 355/359(075.4)
ББК 68.9
 
М54
А в т о р ы:
Мельничук В.А., кандидат военных наук, доцент кафедры деятельности органов внутренних дел в особых условиях Санкт-Петербургского университета Министерства внутренних дел Российской Федерации;
Горелов С.А., кандидат психологических наук, начальник кафедры деятельности органов внутренних дел в особых условиях Санкт-Петербургского университета Министерства внутренних дел Российской Федерации;
Михайлов О.Г., заместитель начальника кафедры деятельности органов внутренних дел в особых условиях Санкт-Петербургского университета Министерства внутренних дел Российской Федерации;
Бородавко Л.Т., доктор педагогических наук, доцент, профессор кафедры физической подготовки и прикладных единоборств Санкт-Петербургского университета Министерства внутренних дел Российской Федерации;
Фетисов А.В., кандидат военных наук, доцент, профессор кафедры тактики 
служебно-боевого применения подразделений Санкт-Петербургского военного 
ордена Жукова института войск национальной гвардии Российской Федерации
Р е ц е н з е н т ы:
Малышев И.И., доктор военных наук, профессор, профессор кафедры военнонаучных исследований Санкт-Петербургского военного ордена Жукова института войск национальной гвардии Российской Федерации;
Ачкасов Н.Б., доктор военных наук, профессор, профессор кафедры военно- 
научных исследований Военной орденов Жукова и Ленина Краснознаменной 
академии связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного Министерства обороны Российской Федерации;
Яшин С.В., кандидат юридических наук, доцент, доцент кафедры деятельности 
органов внутренних дел в особых условиях Санкт-Петербургского университета 
Министерства внутренних дел Российской Федерации
 
М54  
Методы математического обоснования решений на применение 
сил и средств органов внутренних дел МВД России при ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций : монография / В.А. Мельничук, С.А. Горелов, О.Г. Михайлов [и др.]. — Москва : ИНФРА-М, 
2024. — 163 с. — (Научная мысль). 
ISBN 978-5-16-019823-1 (print)
ISBN 978-5-16-112353-9 (online)
В монографии рассматриваются задачи, стоящие перед органами внутренних дел Министерства внутренних дел Российской Федерации при ликвидации 
последствий чрезвычайных ситуаций, и исследуются приемы и методы теории 
исследования операций применительно к обоснованию решений на материально-техническое обеспечение привлекаемых сил и средств в условиях недостатка 
исходных данных о сложившейся обстановке.
Предназначена для специалистов в области управления силами и средствами 
при проведении специальных мероприятий в особых условиях.
УДК 355/359(075.4)
ББК 68.9
ISBN 978-5-16-019823-1 (print)
ISBN 978-5-16-112353-9 (online)
© Авторский коллектив, 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
6 
ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ 
И ОБЛАСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ . . ……………………………… 
10 
1.1. Задача линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10 
1.1.1.Предмет и область применения математического 
программирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
10 
1.1.2. Транспортная задача линейного программирования. . . . . . . 
15 
1.1.3. Задача о ранце. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . .  
18 
1.2. Элементы теории управления запасами. . . . . . . . . . . . . .  . . . .  
20 
1.2.1. Предмет и область применения теории управления 
запасами......………………………………………………………….. 
20 
1.2.2. Детерминированная система управления запасами  
с дефицитом……………………………………………………………. . 
22 
1.2.3. Вероятностная модель управления запасами.. . . . . . . . . . . . .  
27 
1.3. Задача векторной оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . 
28 
1.3.1. Предмет векторной оптимизации и область применения 
задач векторной оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
28 
1.3.2. О подходах к решению задачи векторной оптимизации. . .. .  
28 
1.4. Элементы теории игр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
31 
1.4.1. Предмет и область применения теории игр. . . . . . . . . . . . . . .  
31 
1.4.2. Матричные игры и понятие оптимальных стратегий для 
них……………………………………………………………………...  
34 
1.4.3. Бескоалиционные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 
36 
1.4.4. Игры с природой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
37 
1.4.5. Известен закон распределения использования стратегий 
«природой» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
38 
1.4.6. Игры при полной неопределенности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
41 
1.4.7. Кооперативные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
45 
1.5. Задача о кратчайшем расстоянии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
48 
1.5.1. Элементы теории графов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
48 
1.5.2. Задача о кратчайшем маршруте на смешанном графе. . . . . .  
51 
ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ  
И НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
55 
2.1. Историческая справка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
55 
2.2. Основные понятия теории нечетких множеств. . . . . . . . . . . . .  
56 
2.2.1. Понятие нечеткого множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
56 
2.2.2. Действия с нечеткими множествами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
58 
2.2.3. Нечеткие числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
61 
2.2.4. Принцип обобщения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
64 
2.2.5. Дефаззификация нечеткого множества. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
65 
2.3. Элементы нечеткой логики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
67 
2.3.1. Нечеткие высказывания и нечеткие логические операции. ..  
67 
2.3.2. Лингвистическая переменная. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
68 
 
3

2.3.3. Алгоритм нечеткого логического вывода и нечеткая база 
знаний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
68 
2.4. Нечеткие множества в задачах принятия решения. . . . . . . . . .  
78 
2.4.1. Нечеткая задача математического программирования. . . . . .  
78 
2.4.2. Нечеткая задача векторной оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . . 
80 
2.4.3. Кооперативные игры в нечетко определенной обстановке. .  
81 
ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ  
МНОЖЕСТВ И НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ  
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ . . . . . . . . .  
82 
3.1. Транспортная задача линейного программирования 
с дефицитом запасов материальных средств на складах. . . . . . . . .  
 
82 
3.1.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
82 
3.1.2. Математическая модель транспортной задачи с нечеткими 
потребностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
83 
3.1.3. Свойства оптимального плана задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
84 
3.1.4. Алгоритм отыскания оптимального плана. . . . . . . . . . . . . . . .  
86 
3.1.5. Пример решения транспортной задачи с нечеткими 
потребностями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
87 
3.1.6. Задача о доставке труб для газопровода «Сила Сибири». . .  
92 
3.1.7. Случай дефицита запасов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
97 
3.2. Задача о загрузке транспортного средства штучными 
грузами. . ……………………………………………………………... 
 
103 
3.2.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
103 
3.2.2. Математическая модель задачи о ранце. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
103 
3.2.3. Об одном свойстве оптимального плана задачи (3.26). . . . . .  
106 
3.2.4. Алгоритм решения задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
110 
3.2.5. Пример загрузки самолета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
111 
3.3. Нечеткие множества в теории управления запасами. . . . . . . . .  
113 
3.3.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
113 
3.3.2. Математическая модель при четком спросе. . . . . . . . . . . . . .  
113 
3.3.3. Математическая модель при нечетком спросе. . . . . . . . . . . .  
114 
3.3.4. Об одном свойстве оптимального плана задачи. . . . . . . . . . .  
118 
3.3.5. Алгоритм решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
118 
3.3.6. Решение задачи на примере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
119 
3.4. Задача по определению необходимого числа запасных 
деталей…………………………………………………………………  
 
123 
3.4.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
123 
3.4.2. Метод решения и пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
123 
3.5. Нечеткая задача векторной оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . . .  
125 
3.5.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
125 
3.5.2. Задачи с четким конечным множеством альтернатив. . . . . . .  
125 
3.5.3. Линейные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
127 
3.5.4. Общая задача. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
132 
3.5.5. Векторная оптимизация и алгоритм Мамдани. . . . . . . . . . . . .  
137 
 
4


 

3.6. Нечеткие множества в теории игр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
143 
3.6.1. Бескоалиционные игры двух лиц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
143 
3.6.2. Игры с природой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
145 
3.6.3. Кооперативные игры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
148 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………… 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
153 
155 
5


 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Одной из составных частей современной науки управления, несомненно, является набор количественных методов исследования сложных явлений 
и процессов. Ее принято называть теорией исследования операций. Количественные методы исследования придают процессу управления необходимую научную обоснованность, сводят до минимума элемент субъективности 
при выработке управленческих решений и дают непосредственную возможность в значительной степениной мере оптимизировать, как процесс 
управления, так и его результаты. 
На современном этапе цивилизационного развития в области исследования операций достигнуты ощутимые результаты. Однако большинство существующих математических методов, разработанных как инструмент исследования, оказываются эффективными при решении задач управления, 
лишь в условиях наличия полной информации об управляемом объекте. Если 
это не соблюдается, то количественные методы исследования не могут дать 
величину или набор величин для однозначной характеристики объекта либо 
для принятия оптимального управленческого решения. В этом случае результатом исследования является целый ряд характеристик или решений, определяемых переборами значений тех параметров, о которых информация отсутствовала или была неполной. 
В процессе решении различных управленческих задач, в том числе, и 
задач управления материально-техническим обеспечением сил и средств органов внутренних дел, МВД России необходимым этапом является сбор исходной информации, которая  в условиях чрезвычайной ситуации, не является полностью определенной, а носит приближенный, неточный характер. 
Поэтому организация эффективного материально-технического обеспечения сил и средств органов внутренних дел, МВД России, привлекаемых 
к ликвидации последствийчрезвычайной ситуации, является [1] одним из основных мероприятий, выполняемых в интересах планомерных действий со6


 

зданной группировки и представляет собой в таких условиях весьма актуальную задачу.  Следует так же учитывать, что организация и управленческое 
сопровождение материально-технического обеспечения проводятся в любых 
условиях обстановки для накопления и поддержания в качественном состоянии установленных запасов материально-технических средств, восполнения 
их расхода в группировке сил и средств, привлекаемой к ликвидации последствий чрезвычайной ситуации. 
Наиболее сложной в организации в таких условиях, является задача 
управления подвозом материально-технических средств, привлекаемым силам и средствам. Это является, как правило, следствием нарушения транспортного сообщения на автомобильных и железных дорогах в результате их 
разрушения или затруднения продвижения транспорта по ним (обильные 
осадки, гололед и т. д.). В настоящее время при управлении материальнотехническим обеспечением должностные лица, ответственные за снабжение 
привлекаемых сил и средств материальными средствами, проводят расчеты 
по выбору оптимальных вариантов их подвоза. 
Транспортная задача линейного программирования [2-4] при управлении материально-техническим обеспечением возникает в случаях, когда 
снабжение нескольких подразделений органов внутренних дел МВД России, 
участвующих в ликвидации последствий, осуществляется с нескольких складов, расположенных на больших удалениях от районов их действий, и требуется определить, какой объем материальных средств надо доставить с каждого склада в каждое подразделение.  
Задача о ранце [4, 5, 6] (задачи о загрузке, о рюкзаке) и ее модификации 
часто возникают при чрезвычайной ситуации и в других условиях, например, 
в экономике, прикладной математике, криптографии, военном деле и логистике для нахождения оптимальной загрузки транспорта (самолета, поезда, 
трюма корабля) или склада. В общем виде задачу можно сформулировать 
так: «Из заданного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», 
требуется отобрать некое число предметов, таким образом, чтобы получить 
7


 

максимальную суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес. Среди прочих методов для ее решения можно 
использовать метод «ветвей и границ» или динамическое программирование 
[7, 8]. 
Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования 
практически любой системы необходимо создание запасов. В полной мере 
это относится и к силам и средствам органов внутренних дел МВД России, 
функционирующим, как в повседневном режиме, так и при привлечении ликвидации последствий чрезвычайной ситуации. 
Задача управления запасами [8-10] возникает принеобходимости создания запасов материальных ресурсов для удовлетворения спроса на заданном интервале времени. Однако часто спрос на видовой перечень и объемы 
материальных средств не являются полностью определенными. По этой причине в литературе рассматриваются модели снабжения с вероятностным 
спросом. В настоящей же работе применение математических методов определяется в условиях нечеткого спроса. 
В значительном числе случаев в процессе выработки управленческого 
решения применяется задача по выбору его оптимального варианта среди всех 
возможных. Если качество варианта решения на применения сил и средств оценивается с помощью только одного критерия эффективности, то решение такой 
задачи, хоть и будет технически сложным, но позволит выбрать вариант, для 
которого значение используемого критерия эффективности максимально или 
минимально (в заввисимости от условий задачи). В случаях использования нескольких критериев становится неопределенным само понятие оптимальности. 
То есть не ясно, какой вариант считать оптимальным. Это диктуется тем, что 
способ действий оптимальный по одним критериям может не являться таковым 
по другим. Задачи такого типа называются «задачами векторной (многокритериальной) оптимизации» [11, 12]. 
Кроме перечисленных, в работе рассматриваются задачи, возникающие 
в процессе управления сложными техническими системами. Исследуются 
8


 

также вопросы использования теории игр [2, 13] для решения задач управления материально-техническим обеспечением.  
В указанных ранее источниках предполагается, что исходная информация в рассматриваемых задачах однозначно определена или носит вероятностный характер. Однако в рассматриваемой обстановке исходные данные 
часто определены нечетко. Одним из направлений, позволяющих преодолеть 
такие условия, является применение методов теории нечетких множеств. 
Предлагаемая работа содержит три главы. В первой речь идет об известных моделях исследования операций. Первый раздел посвящен задаче 
линейного программирования, в частности, транспортной задаче. Во втором 
рассматриваются некоторые модели теории управления запасами. Третий 
раздел связан с задачей векторной оптимизации, а в четвертом рассматриваются элементы теории игр. В в последнем - задача о кратчайшем расстоянии 
на транспортной сети. 
Вторая глава содержит необходимую в дальнейшем информацию по 
теории нечетких множеств и нечеткой логике, использование которых для решения рассмотренных в первой главе задач и составляет содержание третьей 
главы. Основополагающая работа Заде «Fuzzy Sets» [14] была опубликована 
в 1965 году. К настоящему времени число работ, посвященных многообразным аспектам этой теории, измеряется сотнями и тысячами.   
В представленной работе также рассматриваются несколько математических моделей с нечеткой исходной информацией, использование которых 
может оказаться полезным при решении задач управления материальнотехническим обеспечением.  
 
9


 

ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ 
И ОБЛАСТИ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 
 
1.1. Задача линейного программирования 
 
1.1.1. Предмет и область применения математического 
программирования 
 
Предметом математического программирования являются методы 
анализа и решения определенных классов задач по выбору наилучшего варианта действий из всех возможных вариантов. Принято, что возможный вариант называется допустимым планом, а план, являющийся решением задачи, - 
оптимальны. 
Основоположником математической теории, получившей название 
«Математическое программирование», является отечественный математик 
Л.В. Канторович (1912-1986)  [15, 16] . Первые результаты, посвященные 
рассматриваемой проблеме, были опубликованы в 1939 году [15]. С тех пор 
математическое программирование развивалось весьма бурно и, к настоящему времени, превратилось в разветвленную математическую дисциплину. Интерес, который проявляется к нему со стороны исследователей объясняется 
стремлением найти наилучший вариант использования имеющихся сил и 
средств, которых всегда не хватает. Задачи такого рода возникают и при решении вопросов материально-технического обеспечения сил и средств различных силовых структур. Формирования ВНГ РФ при привлечении к ликвидации последствиий чрезвычайной ситуации так же имеют ограниченные 
ресурсы (горючего, автомобильной техники, времени, и т.д) для решения поставленных задач. Естественно, что существенным способом повышения эффективности применения сил и средств является рационализация использования указанных ресурсов, а в идеале - оптимальное их использование. Добиться этого помогут оптимизационные модели, важную роль в исследовании 
которых и играет математическое программирование. 
10