Обработка стрельб

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.П. Казаковцев, В.Д. Жилейкин

ОБРАБОТКА СТРЕЛЬБ

Методические указания к лабораторным работам

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2009

УДК 311.2
ББК 22.172
К14

К14

Рецензент В.В. Зеленцов

Казаковцев В.П., Жилейкин В.Д.
Обработка стрельб: Метод. указания к лабораторным работам. – 
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 27 с.: ил.

Рассмотрены особенности применения методов математической
статистики для обработки результатов ограниченного числа опытных
данных, полученных в процессе проведения стрельб.
Для студентов 4-го и старших курсов, обучающихся по специальности «
Динамика полета и управление движением ЛА».

УДК 311.2
ББК 22.172

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

1. ОСОБЕННОСТИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ
ОГРАНИЧЕННОГО ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙ

Одним из методов определения характеристик рассеивания
траекторий летательных аппаратов (ЛА) является проведение
опытных стрельб [1]. Подготовка и организация стрельб, высокая 
стоимость самих ЛА существенно ограничивают возможность
получения необходимого статистического материала достаточного
объема. В связи с этим характеристики рассеивания приходится
определять по ограниченному числу опытов (испытаний) и находить 
средние статистические значения или оценки, содержащие
некоторый элемент случайности.
В дальнейшем оценки таких величин будем обозначать черточкой 
сверху. Например, ˉ
Mx — оценка математического ожидания,
ˉDx — оценка дисперсии случайной величины X.
Получаемые оценки должны по возможности иметь минимальные 
относительные ошибки и удовлетворять следующим требованиям.

1. Оценка должна быть состоятельной, т. е. с ростом числа испытаний 
приближаться (сходиться по вероятности) к своему точному 
значению.
2. При использовании оценки вместо точного значения не
должно быть систематической ошибки в сторону завышения или
занижения. Другими словами, необходимо, чтобы математическое
ожидание оценки числовой характеристики равнялось точному
значению данной характеристики. Такая оценка называется несмещенной.

3. Оценка должна обладать наименьшей дисперсией, т. е. быть
эффективной.
Получим математические выражения оценок числовых характеристик 
системы двух случайных величин.

3

Пусть в результате проведенных n испытаний системы двух
случайных величин X, Z получены следующие значения (x1, z1);
(x2, z2); . . . (xn, zn). Требуется найти оценки математических ожиданий 
Mx, Mz, дисперсий Dx, Dz и корреляционного момента Kxz,
которые соответствовали бы рассмотренным выше требованиям.
В качестве оценки математического ожидания может быть взята 
формула для среднего арифметического. Например, для случайной 
величины X

ˉ
Mx =

n
i=1
xi

n
.
(1)

Согласно закону больших чисел с ростом числа n величина
ˉ
Mx сходится по вероятности к точному значению математического
ожидания Mx. Следовательно, оценка ˉ
Mx является состоятельной.
Выражение для математического ожидания оценки ˉ
Mx имеет
вид

M
ˉ
Mx
=

n
i=1
Mxi

n
= Mx.
(2)

Таким образом, оценка математического ожидания удовлетворяет 
второму требованию и является несмещенной.
Дисперсия оценки математического ожидания случайной величины 
X
D
ˉ
Mx
= 1
nDx.
(3)

Для нормального закона распределения случайной величины
X полученное значение дисперсии будет минимально возможным,
следовательно, оценка ˉ
Mx будет являться также и эффективной.
Заметим, что для других законов распределения формула (1) не
всегда справедлива.
Аналогично может быть записана формула для оценки математического 
ожидания случайной величины Z:

ˉ
Mz =

n
i=1
zi

n
.
(4)

4

Для оценки дисперсии случайной величины Х воспользуемся
зависимостью

D∗
x =

n
i=1
(xi − ˉ
Mx)2

n
.
(5)

Проверим соответствие формулы (5) требованию состоятельности 
оценки дисперсии. Выразим величину D∗
x через второй начальный 
момент. Для этого представим формулу (5) в виде

D∗
x =

n
i=1
x2

i

n
− ˉ
M2
x.
(6)

Первое слагаемое уравнения (6) является средним арифметическим 
случайной величины X2, и при n опытах оно сходится по
вероятности ко второму начальному моменту случайной величины
α2 [x]. Второе слагаемое сходится по вероятности к M2
x. Таким
образом, окончательно имеем

D∗
x = α2 [x] − M2
x = Dx.
(7)

Следовательно, оценка дисперсии случайной величины X по
формуле (5) является состоятельной. Проверим формулу (5) на
требование по несмещенности оценки дисперсии. Преобразуем
уравнение (6), подставив в него выражение (1):

D∗
x =

n
i=1
x2

i

n
−









n
i=1
xi

n









2

=

n
i=1
x2

i

n
−

n
i=1
x2

i

n2
− 2

i<j
xixj

n2
=

= n − 1
n2

n
i=1
x2
i − 2

i<j
xixj

n2
.
(8)

Найдем математическое ожидание оценки дисперсии случайной 
величины X:

M [D∗
x] = n − 1
n2

n
i=1
M
x2
i
− 2
n2
i<j
M [xixj].
(9)

5

Выберем начало координат в точке точного значения математического 
ожидания случайной величины. В этом случае:

M
x2
i
= M
ox
2
i

= Dx,

n
i=1
M
x2
i
= nDx;

M [xixj] = M
oxi
oxj
= Kxixj = 0,

(10)

где
oxi = xi − Mx,
oxj = xj − Mx — центрированные значения
случайной величины X.
С учетом полученных соотношений имеем

M [D∗
x] = n − 1
n
Dx.
(11)

Из формулы (11) следует, что оценка дисперсии случайной величины, 
рассчитываемая по уравнению (5), не будет несмещенной.
Чтобы ликвидировать получаемое смещение, достаточно умножить 
величину D∗
x в формуле (5) на множитель
n
n − 1. Таким

образом, окончательный вариант формулы для расчета оценки дисперсии 
случайной величины X, отвечающей требованию состоятельности 
и несмещенности, имеет вид

ˉDx =

n
i=1
(xi − ˉ
Mx)2

n − 1
.
(12)

Полученное выражение (12) для нормального закона распределения 
будет асимптотически эффективным. При увеличении числа
опытов n отношение дисперсии оценки к минимально возможной
неограниченно приближается к единице.
Аналогично может быть записана формула для оценки дисперсии 
случайной величины Z:

ˉDz =

n
i=1
(zi − ˉ
Mz)2

n − 1
.
(13)

Формула для оценки корреляционного момента ˉKxz системы
двух случайных величин X и Z имеет вид

6

ˉKxz =

n
i=1
(xi − ˉ
Mx)(zi − ˉ
Mz)

n − 1
.
(14)

При обработке результатов стрельбы определяют положение
главных осей рассеивания, для которых корреляционный момент
равен нулю. В этом случае по оценкам дисперсий ˉDx, ˉDz и корреляционного 
момента ˉKxz находят угол поворота главных осей
рассеивания α. Получим формулу для угла α.
Введем новую систему координат 0ξη. В этой системе случайная 
точка с координатами
ox,
oz будет иметь координаты
ξ =
ox sin α +
oz cos α,
(15)

η =
ox cos α −
oz sin α.
(16)

Получим формулу для корреляционного момента случайных
величин ξ и η, принимая Mξ = M η = 0:

Kξη = M[(ξ − Mξ)(η − Mη)] = M[
ox
2] sin α cos α+

+ M[
ox
oz](cos2 α − sin2 α) − M[
oz
2] sin α cos α =

= −1
2 sin 2α(Dz − Dx) + Kxz cos 2α.
(17)

Согласно свойству главных осей рассеивания
Kξη = 0.
(18)

Из выражений (17) и (18) получим

tg 2α =
2Kxz
Dz − Dx
.
(19)

С помощью теоремы о дисперсии линейных функций найдем
оценки дисперсий для координат ξ и η. Из формул (15) и (16)
находим
Dξ = Dx sin2 α + Dz cos2 α + 2Kxz sin α cos α,
(20)

Dη = Dx cos2 α + Dz sin2 α − 2Kxz sin α cos α.
(21)

Переходя к оценкам величин, можем записать:
ˉDξ = ˉDx sin2 α + ˉDz cos2 α + ˉKxz sin 2α,
(22)
ˉDη = ˉDx cos2 α + ˉDz sin2 α − ˉKxz sin 2α.
(23)

7

Значения оценок получены для ограниченного числа опытов.
Для определения точности и надежности результатов рассчитывают 
доверительные интервалы и доверительные вероятности.
В качестве примера рассмотрим понятие доверительного интервала 
для некоторой величины a, несмещенная оценка которой
равна ˉa. Выберем достаточно большую вероятность β (0,8 или
0,95). Будем считать, что событие с вероятностью β является практически 
достоверным.
Найдем величину ε, для которой вероятность расхождения
между точным значением a и ее оценкой ˉa, меньшей выбранной
величины ε, будет равна β:

p(|ˉa − a| < ε) = β.
(24)

В этом случае ошибки в определении a, которые по абсолютной
величине больше ε, будут появляться с очень малой вероятностью
(1 − β).
Представим выражение (24) в ином виде:

p(ˉa − ε < a < ˉa + ε) = β.
(25)

Как следует из уравнения (25), неизвестное значение величины
a с вероятностью β попадает в интервал

Iβ = (ˉa − ε; ˉa + ε).
(26)

Другими словами, интервал Iβ с вероятностью β накрывает истинное 
значение величины a. В этом случае вероятность β называется 
доверительной вероятностью, а интервал Iβ — доверительным
интервалом.
Как правило, нахождение границ доверительного интервала
бывает затруднено из-за незнания закона распределения случайной
величины, числовую характеристику a которой мы определяем.
Рассмотрим способ определения доверительного интервала для
математического ожидания случайной величины Х .
Как следует из центральной предельной теоремы [2], закон распределения 
оценки математического ожидания независимой случайной 
величины
ˉ
Mx при достаточно большом числе опытов n
близок к нормальному.
Найдем величину εМ , для которой справедливо выражение

p(
ˉ
Mx − M
< εM) = β.
(27)

8

Выразим вероятность β через функцию Лапласа Φ(x):

β = Φ
εM
σM

√
2

,
(28)

где σM =

Dx
n — среднее квадратичное отклонение оценки ˉ
Mx.

Теоретическое значение дисперсии Dx неизвестно, поэтому
при оценке границ доверительного интервала можно воспользоваться 
ее оценкой ˉDx, тогда

σM =

ˉDx
n .
(29)

Используя уравнение (28), находим

εM = σM

√
2Φ−1(β).
(30)

Введем обозначение

tβ =

√
2Φ−1(β).
(31)

В приложении приведена табл. П1 зависимости параметра tβ
от доверительной вероятности β.
Таким образом, окончательно формула оценки границ доверительного 
интервала для математического ожидания случайной
величины Х имеет вид

εMx = tβ

ˉDx
n ,
(32)

(Iβ)Mx = ( ˉ
Mx − εMx;
ˉ
Mx + εMx).
(33)

Рассмотрим схему определения доверительного интервала для
дисперсии случайной величины Х с известными оценками математического 
ожидания ˉ
Mx и дисперсии ˉDx.
Как ясно из формулы (12), оценка дисперсии представляет со-

бой сумму n случайных величин типа (xi − ˉ
Mx)2

n − 1
, которые не
являются независимыми вследствие того, что в каждую из них
входит оценка математического ожидания. В соответствии с центральной 
предельной теоремой с увеличением n закон распределения 
их суммы приближается к нормальному.

9

Характеристики этого закона будут определяться следующим
образом. Математическое ожидание дисперсии ˉDx:

M ˉD = Dx.
(34)

Дисперсия ˉD ˉD:

D ˉD = 1
n μ4 −
n − 3
n(n − 1)D2
x,
(35)

где μ4 — четвертый центральный момент случайной величины Х .
Вместо теоретического значения дисперсии Dx в уравнении
(35) можно пользоваться ее оценкой ˉDx.
Серьезные трудности возникают при определении величины
μ4. Ее можно было бы определить, используя результаты обработки 
опытных данных. Однако для ограниченного числа испытаний
такая оценка дает слишком большие погрешности. Воспользуемся
формулой связи четвертого центрального момента случайной величины 
μ4 с дисперсией Dx для нормального закона распределения
случайной величины Х :

μ4 = 3D2
x.
(36)

Подставляя формулу (36) в уравнение (35) и заменяя значение
дисперсии ее оценкой, получаем

D ˉD =
2
n − 1
ˉD2
x,
(37)

σ ˉD =

2
n − 1
ˉDx.
(38)

Оценка границ доверительного интервала для дисперсии случайной 
величины Х может быть получена с помощью следующих
формул:

εDx = tβ

2
n − 1
ˉDx,
(39)

(Iβ)Dx = ( ˉDx − εDx; ˉDx + εDx).
(40)

Как известно, наиболее полную информацию о случайной величине 
дает закон распределения. Поэтому одной из задач при
проведении испытаний является установление этого закона, для

10