Определение характеристик теплопереноса материалов тепловой защиты многоразовых космических аппаратов по результатам тепловых испытаний

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

С.В. Резник, П.В. Просунцов 

Определение характеристик  
теплопереноса материалов тепловой защиты 
многоразовых космических аппаратов  
по результатам тепловых испытаний 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов  
Российской Федерации по университетскому политехническому  
образованию в качестве учебного пособия для студентов  
высших учебных заведений, обучающихся по специальности  
24.05.01 «Проектирование, производство и эксплуатация ракет  
и ракетно-космических комплексов», направлениям подготовки  
24.03.01 «Ракетные комплексы и космонавтика» (уровень бакалавриата) 
и 24.04.01 «Ракетные комплексы и космонавтика»  
(уровень магистратуры) 

 
 
 
 

УДК 536.2:536.33 
ББК 31.31 
 
Р34 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/121/book1393.html 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Ракетно-космические композитные » 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

Рецензенты:  
д-р техн. наук, профессор А.В. Ненарокомов; 
д-р физ.-мат. наук, профессор Г.В. Кузнецов 

Резник, С. В. 
Р34  
Определение характеристик теплопереноса материалов 
тепловой защиты многоразовых космических аппаратов по 
результатам тепловых испытаний / С. В. Резник, П. В. Просунцов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2015. — 86, [4] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4350-5 
Представлены постановки, расчетные схемы и алгоритмы решения 
одно- и двумерных задач радиационно-кондуктивного теплообмена для 
определения характеристик теплопереноса материалов тепловой защиты. 
Приведены примеры использования данных алгоритмов. 
Для студентов, обучающихся по направлениям подготовки специалистов «Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетнокосмических комплексов», бакалавров «Ракетные комплексы и космонавтика», магистров «Ракетные комплексы и космонавтика», изучающих 
дисциплины «Испытания композитных материалов и конструкций», «Теплофизические процессы в композитных конструкциях», «Теория и методы 
решения обратных задач», «Планирование и обработка результатов тепловых испытаний» и аспирантов по специальностям «Аэродинамика и процессы теплообмена летательных аппаратов» и «Контроль и испытание летательных аппаратов и их систем». 

 
   УДК 536.2:536.33 
 
   ББК 31.31 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4350-5 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

Предисловие 

В учебном пособии представлены методы определения характеристик теплопереноса частично прозрачных пористых материалов, опирающиеся на аппарат обратных задач комбинированного 
теплообмена. Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки специалистов 24.05.01 
«Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетнокосмических комплексов», бакалавров 24.03.01 «Ракетные комплексы и космонавтика», магистров 24.04.01 «Ракетные комплексы и космонавтика», изучающих дисциплины «Испытания композитных материалов и конструкций», «Теплофизические процессы 
в композитных конструкциях», «Теория и методы решения обратных задач», «Планирование и обработка результатов тепловых испытаний», а также аспирантов по специальностям 05.07.01 «Аэродинамика и процессы теплообмена летательных аппаратов» и 
05.07.07 «Контроль и испытание летательных аппаратов и их систем». 
Целью пособия является освоение методов определения характеристик теплопереноса пористых частично прозрачных материалов системы тепловой защиты, основанных на обработке данных 
тепловых испытаний и опирающихся на использование аппарата 
обратных задач теплообмена.  
Для понимания материала, изложенного в пособии, необходимы знания в области физики, термодинамики и теплопередачи, 
дифференциальных уравнений в частных производных. Считается, 
что читатель ознакомился с учебным пособием «Математическое 
моделирование комбинированного теплообмена в пористых материалах тепловой защиты многоразовых космических аппаратов» 
[1]. До начала изучения данного курса рекомендуется для самоконтроля выполнить следующие задания: 

1) изложите основные допущения диффузионного приближения для решения уравнения переноса излучения; 
2) запишите двумерное нестационарное нелинейное уравнение 
теплопроводности с источниковым членом в декартовой системе 
координат; 
3) запишите двумерное нелинейное уравнение переноса излучения в диффузионном приближении для частично прозрачной 
области в декартовой системе координат; 
4) приведите граничное условие уравнения переноса излучения 
в диффузионном приближении для непрозрачной стенки; 
5) приведите граничное условие уравнения переноса излучения 
в диффузионном приближении для частично прозрачной стенки; 
6) запишите одномерное нестационарное нелинейное уравнение теплопроводности для плоского слоя. Объясните физический 
смысл входящих в него величин; 
7) запишите одномерное нелинейное уравнение теплопроводности для многослойной плоской стенки для случаев идеального  
и неидеального теплового контакта слоев. 

Введение 

В процессе проведения стендовых тепловых испытаний (СТИ) 
регистрируются данные о значениях тепловых величин — температур и тепловых потоков в ряде точек элементов системы тепловой защиты (СТЗ) или образцов материалов. На основании этих 
данных требуется определить характеристики теплопереноса материалов СТЗ. Задача нахождения температурных зависимостей 
теплофизических и оптических характеристик материалов по экспериментальным данным относится к классу коэффициентных обратных задач (ОЗ) теплообмена [2, 3]. 
Основы теории и методов решения ОЗ заложены в трудах отечественных математиков — А.Н. Тихонова, М.М. Лавреньева, 
В.А. Морозова, А.М. Денисова и др. [4–7]. 
При классификации ОЗ теплообмена принято учитывать доминирующий механизм передачи тепловой энергии (теплопроводность, излучение, конвекция или комбинация нескольких механизмов). 
Большой вклад в создание современных методов решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ) внесли О.М. Алифанов, 
Е.А. Артюхин, 
В.М. Юдин, 
Л.А. Коздоба, 
П.Г. Круковский, 
Ю.М. Мацевитый, А.В. Ненарокомов, Д.Ф. Симбирский, Дж. Бек, 
К. Вудбери, И. Жарни, Дж. Дуликравич, Д. Мурио, А. Эмери, 
М.Н. Оцисик и др. [2, 3, 8–15]. 
Независимо от них, в приложении к задачам оптики атмосферы и океана, астрофизики, томографии, разрабатывались методы 
решения обратных задач переноса излучения (ОЗПИ) в поглощающих и рассеивающих средах. К ним примыкают обратные 
задачи радиационного теплообмена (ОЗРТ) в диатермических 
(лучепрозрачных) средах, заполняющих камеры сгорания энергетических установок и рабочие пространства технологических, а 
также испытательных установок радиационного нагрева. Среди 

многочисленных работ в этой области следует отметить труды 
Ю.А. Суринова, Н.А. Рубцова, В.А. Петрова, С.В. Степанова, 
А.П. Иванова, Н. Маккормика [16–22]. 
Методы решения ОЗ комбинированного — радиационнокондуктивного теплообмена (РКТ), характерного для частично прозрачных материалов (стекол, кристаллов, жидкостей, полимеров и 
композитов, в том числе пористых теплоизоляционных материалов), пока развиты значительно слабее из-за сложности математических моделей и алгоритмов их решения. Математические модели 
РКТ, описывающие взаимосвязь и взаимное влияние температурных полей и полей излучения с помощью уравнений теплопроводности и переноса излучения, подробно изложены в пособии [1].  
Пионерные исследования области ОЗ РКТ выполнены А.А. Менем, 
О.А. Сергеевым, Р. Вискантой, М.Н. Оцисиком и авторами данного 
пособия [23–27]. За последние годы это направление исследований 
получило заметное развитие в трудах отечественных и зарубежных 
специалистов (Ши Лю Чжао, К. Дарьябейджи, С. Мишра, А. Сильва 
Нето [28–32]). 
Очевидно, что ОЗ РКТ являются более общими по сравнению с 
ОЗ, в которых учитывается один механизм переноса энергии (ОЗТ, 
ОЗПИ, ОЗРТ и т. д.). В математическом «равноправии» уравнений 
теплопроводности и переноса излучения заложены новые, еще  
мало изученные возможности перекрестной идентификации параметров комбинированного теплообмена. Речь идет об идентификации параметров, входящих в уравнение переноса излучения 
(коэффициенты поглощения, рассеивания, показатель преломления и др.), по измерениям температуры или об идентификации параметров, связанных с теплофизическими характеристиками, по 
измерениям интенсивности теплового излучения. 
Данное пособие посвящено вопросам идентификации параметров математических моделей РКТ, связанным с определением характеристик теплопереноса в пористых материалах тепловой защиты, посредством решения коэффициентных ОЗ РКТ. Одним из 
общих признаков всех рассматриваемых ОЗ является экстремальная постановка, при которой поиск одного или нескольких параметров теплообмена осуществляется в результате минимизации 
квадратичных функций (функционалов) рассогласования расчетных и экспериментальных значений тепловых величин. 

1. Общая постановка и алгоритм решения  
обратной задачи  
радиационно-кондуктивного теплообмена 

Общая постановка обратной задачи радиационно-кондуктивного теплообмена и ее разновидности. Пусть в некоторых 
пространственных точках замкнутой излучающей системы 
, ,
i
x
 

1, 3;
1,
,
t
i
N
 

 в заданные моменты времени 
,
j

 
0,
,
j
N

 про
водятся измерения тепловых величин (например, температуры 
,
e
iT
 
интенсивности излучения 
, ,
t
v i
I
 плотности падающего теплового 

потока 
, )
e
w i
q
 по отдельности или в сочетаниях. Вся совокупность 

экспериментально измеренных величин составляет вектор {
}.
e
iF
 
Требуется по этой информации для заданных условий однозначности, известных в отдельных областях системы 
i
  и на отдельных 
участках поверхности 
,
i

 определить неизвестные условия однозначности для всех остальных элементов системы. 
Сформулированная задача является обратной, так как в ней для 
известной математической модели процесса требуется определить 
не полностью известные условия однозначности, выступающие 
причинными характеристиками по отношению к их следственным 
проявлениям — измеренным величинам {
}.
e
iF
  
Данная постановка ОЗ обобщает целый ряд ретроспективных, 
граничных, геометрических и коэффициентных обратных задач 
РКТ.  
Так, в ее рамки укладываются задачи идентификации характеристик теплопереноса частично прозрачных и непрозрачных сред, 
заполняющих области 
.i
  Эти задачи относятся к коэффициентным обратным задачам РКТ, так как искомые величины входят в 
уравнения математической модели РКТ в качестве коэффициентов.  

Граничные обратные задачи могут состоять в определении оптических характеристик участков поверхности 
i
  или плотности 
тепловых потоков на границах отдельных элементов.  
Задачи определения геометрических размеров участков поверхности 
,
i

 положения границ раздела отдельных областей 
,
i
  
координат локализованных источников или стоков теплоты являются геометрическими обратными задачами РКТ.  
Восстановление начальных значений тепловых величин F0 составляет содержание ретроспективных обратных задач РКТ. 
Экстремальная постановка обратной задачи радиационнокондуктивного теплообмена. Математическая модель процесса 
РКТ в замкнутой излучающей системе соответствует нелинейному 
уравнению 

  
( )
;
e
A

u u
f
   
:
,
A U
F

 
(1.1) 

где 
т
1
[
, ...,
, ...,
] ,
,
1,
,
j
N
j
j
u
u
u
u
U
j
N



u
 — вектор положительных непрерывных величин, подлежащих определению; 

f e
 
т
1
[
,...,
,...,
] ,

e
e
e
i
M
f
f
f
 
,
e
i
if
F

 
1,
,
i
M

 — вектор характеристик 
наблюдаемого процесса — величин, заданных по условию задачи; 

1
...
;
N
U
U
U



 
1
...
M
F
F
F



 — гильбертовы пространства 
решений. Для определенности можно положить 
2,
j
U
L

 
1,
;
j
N

 

2,
iF
L

 
1,
.
i
M

 
Последовательность 
1
{ }N
u
 в общем случае образована физически разнородными величинами типа функций (T), C(T), k(T), 
σ(T) и различными постоянными параметрами, такими как , f 
и т. п. Последовательность характеристик наблюдаемого процесса
1
{
}
e M
f
 может включать, например, измерения температуры 
( )
iT x  в 
1
M  точках с координатами 
1
1, ...,
M
x
x
x

 и интенсивности  
излучения I или плотности падающего теплового потока 
,
e
w i
q
  
в 
2
M  точках с координатами 
2
1, ...,
,
M
x
x
x

 
1
2,
M
M
M


 причем координаты x этих измерений могут и не совпадать, 

1
2
[ , ]:
...
.
m
x
a b
a
x
x
x
b






 
В уравнении (1.1) A — вполне непрерывный оператор, порождаемый задачей РКТ и связывающий вектор известных условий 
однозначности 
ef
 с вектором искомых величин .u  

С учетом необходимости определения из решения ОЗ набора 
разнородных величин 
1
{
}
e
N
u
 и наличия ансамбля измерений 

1
{
}
e M
f
 (1.1) можно переписать в виде 

  


( )
,
e
i
i
A

u u
f
 
(1.2) 

где  




т

1
1
1
1
( )
(
)
(
)
, ...,
(
)
,

N
N
N

ij
j
j
j
j
j
Mj
j
j
i
j
j
j
A
A u
A
u
A
u







 







u u
u
u
u
  

:
,
1,
,
1,
.
ij
j
j
A
U
F
i
M
j
N



 

В рамках фундаментальной теории регулярных методов решения некорректных задач [4, 5] чрезвычайно плодотворной оказалась идея определения 
iu  из условий согласованности расчетных и 
экспериментальных значений изучаемого явления, непосредственно приводящая к экстремальной постановке ОЗ: 

  




arginf
,
,
,
,
c
e
F
i
x
D



u
f
u
f
u

 
(1.3) 

где 
F
  — невязка между 
cf  и 
e
if  в F; 
j
D
U

 — некоторое замкнутое множество, содержащее точное решение. 
С учетом 
( )
c
A

f
u u  формула (1.3), записанная для квадратической метрики (соответствующей пространству L 2), примет вид 

  


2
arginf
( ) ,
.
e
F A


u
u u f
 
(1.4) 

Следовательно, искомое решение u  может быть найдено из 
условия минимизации целевого функционала невязки  

  
 
arginf
,
J

u
u
 
(1.5) 

где  

2
1
( )
;
2

e

F
J
A


u
u u
f
 

2
F

 — норма в пространстве 
2.
F
L

 

Для оптимизации функционала 
( )
J u  используются градиентные методы, а число итераций выбирается из условия согласования уровня погрешности входных данных 
ef  и погрешности аппроксимации A с помощью Ah [5]. При интегральной оценке всех 
возможных погрешностей уровнем 

  логично принимать за ис

комое решение вектор ,u  соответствующий -й
s
 итерации, при которой 

  
( )
,
J

 
u
 
(1.6) 

т. е. 

  



2
inf
( )
.
S
S
e

F
A




 
u
u
u u
f


 
(1.7) 

Далее рассмотрим наиболее ответственные этапы построения 
итерационного алгоритма решения ОЗ: параметризацию искомых 
величин, выбор метода многомерной оптимизации, вычисление 
градиента целевого функционала, назначение условий прекращения вычислений (останова). 
Параметризация искомых величин. Параметризация искомых величин есть процесс их конечномерной аппроксимации типа 

  
 

1
,
1,
,

j
K

j
jk
jk
l
k
u
x
p
j
N






 
(1.8) 

где 


т
1,...,
k
p
p

p
 
— 
вектор 
искомых 
параметров; 

χ
 



т
1,...,
 
k
 — система заданных линейно независимых базисных 
функций; j — номер вида той или иной искомой величины 
( );
u x
 
Nl — заданное общее число видов таких величин; k — номер параметра соответствующего вида; Kj — заданное общее число таких 

параметров, 
1
.

l
N

j
j
K
K

 
 Здесь x  может иметь расширенное толко
вание, например, 

1
:
, , ,...,
,
[1, 3]
Ne
x T
x
 
 

 и, соответственно, 


1
( ):
( ),
( ), ( ),
(
),
[1, 3]
.
l
N

j
u x
T
q
k
T x



 

 

Для параметризации функций обычно применяют сплайнаппроксимацию, которая обладает по сравнению с полиномиальной рядом преимуществ: устойчивостью относительно локальных 
возмущений, хорошей сходимостью, возможностью описания 
функций с изломами и разрывами, простотой реализации на ЭВМ 
и др. Управляя количеством коэффициентов и порядком сплайна, 
можно получать разнообразные формы представления 
( ):
u x  сту