Основы теории космического полета. Часть 3. Теория малых возмущений и коррекция параметров орбит

Московский государственный технический университет 

имени Н. Э. Баумана 

В.В. Корянов, В.П. Казаковцев  

 
 
 

Основы теории космического полета 

Учебное пособие 

 

Часть 3 

Теория малых возмущений  

и коррекция параметров орбит 

 
 
  
 
 
 
 
 
 

УДК 629.78 
ББК 39.67 
         К70 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/73/book1260.html 

Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Динамика и управление полетом ракет 
и космических аппаратов» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
 
  
Корянов, В. В. 
Основы теории космического полета : учебное пособие /  
В. В. Корянов, В. П. Казаковцев. — Ч. 3 : Теория малых возмущений и коррекция параметров орбит. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 60, [4] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-4156-3 
 
Рассмотрены методы расчета изменения параметров орбиты при 
наличии малых возмущений в некоторой ее точке, а также технические 
возможности коррекции параметров орбиты для различных типов коррекции, условия выбора момента оптимальной коррекции на номинальной траектории с учетом оптимизации корректирующего импульса. 
Для студентов старших курсов технических вузов, изучающих 
дисциплину «Теория космического полета». 
УДК 629.78 
 ББК 39.67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4156-3                              
 
      МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

К70 

Предисловие 

В первой части учебного пособия были рассмотрены основные 
характеристики невозмущенного движения космических аппаратов 
(КА), т. е. движения КА как материальной точки относительно одного центрального поля тяготения. Однако в реальных условиях в 
окрестности Земли КА притягивается не только Землей, но и другими 
небесными телами, и в первую очередь Луной и Солнцем. Также существуют и другие возмущающие факторы, вызывающие отклонения 
значений параметров траектории КА от их значений при невозмущенном движении. Во второй части учебного пособия рассмотрено 
движение КА и других объектов под действием естественных возмущений. В третьей части учебного пособия изложены методы расчета 
изменения параметров орбиты при наличии малых возмущений в некоторой ее точке, рассмотрены технические возможности коррекции 
параметров орбиты для различных типов коррекции, а также условия 
выбора момента оптимальной коррекции на номинальной траектории. Авторы обратили особое внимание на получение конечных 
формул и алгоритмов, позволяющих инженеру быстро рассчитать 
параметры новой орбиты, оценить энергетические затраты на проведение соответствующей космической операции. 
Известно, что параметры реальной орбиты всегда отличаются 
от их расчетных значений. Поэтому после запуска КА на орбиту 
приходится проводить коррекцию ее  параметров, для чего необходимо решать задачи, связанные с коррекцией траектории КА, 
выбором требуемых корректируемых параметров типа коррекции, 
определением области рассеивания корректируемых параметров и 
оценкой величины запасов топлива на коррекцию, а также знать 
основные аналитические методы расчета элементов матриц изохронных и изопозиционных частных производных.  
Целью данного учебного пособия является формирование у студентов навыков использования полученных алгоритмов и методик 
расчетов для определения влияния малых возмущений на отклонения параметров орбиты; выбора необходимых корректируемых параметров и определения момента оптимальной коррекции параметров орбиты по критерию минимального расхода топлива. 

Глава 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 

В процессе определения траектории КА, а также непосредственно при его движении по орбите, возникают случаи необходимости быстрого расчета параметров маловозмущенной траектории. Например, по результатам измерений параметров орбиты КА 
получены их точные значения, но они несколько отличаютсяя oт 
заданных параметров опорной орбиты. Требуется дать быстрый 
прогноз траектории движения КА по полученным отклонениям 
параметров орбиты. В этом случае расчет траектории КА проводится методами теории малых возмущений. 

1.1. Основные положения теории малых возмущений 

Рассмотрим основные положения теории малых возмущений. 
Допустим, имеем некоторую невозмущенную (опорную) орбиту 
КА. Обозначим 
0
x  вектор фазовых координат КА в некоторой 
начальной точке орбиты (рис. 1.1); x — вектор фазовых координат 
КА в некоторой текущей точке орбиты с угловой дальностью   по 
отношению к начальной точке. Представим, что в момент прохождения КА нулевой точки орбиты вектор фазовых координат получил возмущения 
0,
x
 следовательно, орбита КА займет новое — 
возмущенное — положение. 
 
Рис. 1.1. Схема расположения точек 
возмущенной орбиты КА, адекватных заданной точке невозмущенной  
                       орбиты:  
1 — возмущенная орбита; 2 — невозмущенная орбита; Bφ — точка изопозиционного отклонения; Bt — точка изохронного отклонения; Bk — точка изопараметрического отклонения;  — угловая 
дальность; x0 — вектор фазовых координат в начальной точке орбиты; x — вектор фазовых координат в текущей точке 
орбиты; r0 — радиус начальной орбиты;  
          r — радиус текущей орбиты

В теории малых возмущений ставится задача отыскания отклонений вектора фазового состояния в текущей точке орбиты под 
действием возмущений параметров орбиты в начальной точке. 
Разложим в ряд Тейлора функциональную зависимость i-го элемента фазового вектора в текущей точке относительно его невозмущенного значения по отклонениям фазового вектора в начальной точке: 

 

2

2
2
0
0
0
1
1
0

1
...
2

1, 2, ...,
;
1, 2, ...,

n
n
i
i
i
j
j
j
j
j
j

x
x
x
x
x
x
x

j
n i
n




















 
(1.1) 

Отклонения 
ix
   и  
0 ,
j
x

 как правило, малы. Например, для 
круговой орбиты ИСЗ, радиус которой равен 6700 км, а скорость 
7800 м/с, отклонения радиуса в начальной и текущей точках составляют порядка 1…10 км, а отклонения скорости 1…5 м/с. Относительная величина возмущений  —  порядка 10‒3. 
Таким образом, в рамках теории малых возмущений мы имеем 
дело действительно с малыми отклонениями параметров орбиты, 
поэтому при расчетах обычно используют только первый член 
формулы (1.1): 

 

0
0
1
,

n
i
i
j
j
j

x
x
x
x








  
(1.2) 

где 

0

i

j

x
x


 — частная производная изменения i-го текущего пара
метра орбиты КА при единичном изменении j-го параметра орбиты в начальной точке. 
При решении различных задач в рамках теории малых возмущений прежде всего необходимо знать матрицу частных производных на изменения текущих параметров орбиты КА по изменениям начальных параметров орбиты. 
Анализируя практические задачи, встречающиеся при космических полетах, можно заметить, что на возмущенной орбите КА 
приходится выбирать различные точки, соответствующие текущей 
точке невозмущенной орбиты. Например, при рассмотрении задачи возмущенного движения КА, предназначенного для подхода  
к другому КА, требуется синхронизация движений обоих КА по 
времени. В этом случае на возмущенной орбите текущей точке 

невозмущенной орбиты будет соответствовать точка, время движения до которой от подачи начального возмущения равно времени движения КА от момента подачи возмущения до текущей точки 
невозмущенной орбиты. 
В настоящее время в рамках теории малых возмущений рассматривают следующие отклонения (см. рис. 1.1): 
– изопозиционное отклонение B  текущей точки, характеризующееся постоянной угловой дальностью 
const;
 
 
– изохронное отклонение 
tB  текущей точки, характеризующееся постоянным временем движения 
const;
t 
 
– изопараметрическое отклонение 
k
B текущей точки, характеризующееся постоянным значением выбранного параметра текущей точки 
const.
kx 
  
На рис. 1.1 в качестве изопараметрического отклонения показана точка 
,
k
B
 характеризующаяся постоянным значением радиуса орбиты 
const.
r 
 
Рассмотрение возмущений параметров орбиты КА в каждом из 
этих случаев требует знания соответствующих матриц частных 

производных 
,
i

oj

x
x










 которые называются изопозиционными, 

изохронными или изопараметрическими. 
В рамках линейной теории малых возмущений, обусловленной 
небольшими отклонениями параметров движения КА, боковое и 
продольное возмущенные движения независимы. Соответствующие частные производные равны нулю. Однако в отдельных случаях, когда получающиеся отклонения параметров орбиты велики, 
необходимо учитывать взаимную связь продольного и бокового 
движений. 
Наиболее часто в задачах космической баллистики встречаются случаи изопозиционного и изохронного возмущенных движений КА. 

1.2. Продольное возмущенное движение  
космического аппарата 

Для выбора параметров орбиты при продольном движении КА 
будем использовать орбитальную прямоугольную систему координат 
Ornz, начало которой (точка О) совпадает с центром масс КА.  

Ось Or направлена по радиус-вектору точки невозмущенной орбиты, 
ось Оn — перпендикулярна радиус-вектору, лежит в плоскости орбиты и направлена в сторону движения КА, ось Oz направлена по нормали к плоскости орбиты.  
В этом случае матрица частных производных продольного 
возмущенного движения КА может быть записана следующим образом: 

 

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0

,
,
,
,
,
,
,

r
n

r
r
r
n

r
r
r
r
r
n

r
r

n
n
n
n

r
r

r
r
r
r
r
n
V
V

n
n
n
n
r
n
V
V
r n V
V
U
V
V
V
V
r
n
V
V
r
n
V
V

V
V
V
V
r
n
V
V










































































 
(1.3) 

где 
,
r
n
V V  — компоненты скорости движения КА по осям Or и On; 
r, n — координаты положения КА на орбите. 

Изопозиционное продольное возмущенное движение 

Для получения матрицы изопозиционных частных производных продольного возмущенного движения введем некоторую 
вспомогательную функцию: 

 
1 .
u
r

 
(1.4) 

Вспомним, что уравнение траектории КА при невозмущенном 

движении записывается следующим образом: 
1
cos ( )
p
r
e
 
  или 

1
1
cos ( ),
e
r
p
p


  где  — угол истинной аномалии, отсчитывае
мый от перигея орбиты до текущей точки. В качестве переменной 
необходимо знать угол от точки подачи начальных возмущений до 
текущей точки орбиты, следовательно, уравнение (1.4) будет 
иметь вид