Модели турбулентности в расчетах обтекания летательных аппаратов

Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана 

 

П.А. Чернуха 

 

Модели турбулентности в расчетах обтекания  

летательных аппаратов 

 

Учебное пособие 

 

Под редакцией доктора технических наук, 

профессора В.Т. Калугина 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

УДК 533.6.011 
ББК  39.52 
 Ч-49
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/73/book1225.html 
 
Факультет «Специальное машиностроение» 
Кафедра «Динамика и управление полетом ракет 
и космических аппаратов» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским  
советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
 
Рецензенты: 
канд. техн. наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана Г.А. Щеглов; 
д-р техн. наук, профессор МГТУ гражданской авиации В.Г. Ципенко 
 
 
 
Чернуха, П. А. 

Ч-49 
Модели турбулентности в расчетах обтекания летатель
ных аппаратов : учебное пособие / П. А. Чернуха ; под ред.  
В. Т. Калугина. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. 
Баумана, 2015. — 32, [4] с. : ил.

 
 
ISBN 978-5-7038-4095-5  
В  пособии рассмотрены подходы к численному описанию турбу
лентных течений. Приведены базовые представления об общей структуре пограничного слоя и структуре пристеночной области. Описан 
каскадный процесс передачи энергии и представлены основные свойства турбулентного течения. Большое внимание уделено алгебраическим, а также одно- и двухпараметрическим моделям, широко применяемым при моделировании течений с использованием осредненных 
уравнений сохранения. 
Для студентов и аспирантов, обучающихся по специальностям, 
связанным с проектированием летательных аппаратов различного 
назначения. 

 
 
 
 
УДК 533.6.011 
                     ББК 39.52 
 
                                                                          
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
                                                                          
 Оформление. Издательство 

ISBN 978-5-7038-4095-5                                      
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

Предисловие 

Большинство задач аэродинамики тесно связано с внешним обтеканием тел и требует получения распределенных и интегральных (силовых и моментных) характеристик, а также визуализации 
структуры течения. Современное состояние экспериментальных 
методов позволяет достаточно быстро и с большой степенью точности получать аэродинамические характеристики исследуемого 
объекта. Однако для полного исследования наряду с силовыми и 
моментными характеристиками необходимо наличие информации 
о структуре обтекания. Это особенно важно при исследовании нового или усовершенствованного объекта или метода управления 
(например управляющих устройств). Визуализационные методы, 
доступные в настоящее время, позволяют получать трехмерное 
поле течения в одной или нескольких плоскостях с большой разрешающей способностью. Проведение подобных исследований 
является емким процессом и требует применения дорогостоящего 
экспериментального оборудования, а также продолжительного 
подготовительного этапа эксперимента и долгосрочной обработки 
полученных результатов.  
Использование численных методов в аэродинамике позволяет 
получить наиболее полную картину обтекания, а также выявить 
влияние отдельных элементов конструкции на значения аэродинамических характеристик и траекторию движения летательного аппарата (ЛА). В качестве примера использования численного моделирования как равноценного метода исследования можно привести 
результаты работы Флорендо и др. [1], проводимой на теле вращения большого удлинения с изогнутыми тормозными элементами, 
расположенными вблизи кормового среза. Полученные при натурных и весовых испытаниях данные свидетельствовали о наличии 
подъемной силы, направленной к аппарату-носителю. Также было 
установлено конусообразное поведение тела вращения с тормоз

ными элементами. Численное моделирование с использованием 
модели DES (detached eddy simulation) позволило выявить причину 
такого поведения, заключенную в несимметричном срыве вихрей с 
боковых плоскостей каждого тормозного элемента. Данный эффект был устранен за счет применения перфорированных тормозных устройств.  
Поскольку класс численно решаемых аэродинамических задач 
достаточно широк, для получения корректного результата расчетов первоначально необходимо определить модель течения газа 
(двумерное или трехмерное течение, отрывное или безотрывное, 
сжимаемое или несжимаемое)  и предполагаемую структуру обтекания (безотрывное или отрывное течение, сопровождающееся 
полным или локальным отрывом потока). Важно грамотно подобрать модель турбулентности и расчетную область, поскольку 
входящие в выбранную модель турбулентности константы получены в результате ее калибровки, т. е. экспериментальным путем. 
Это означает, что та или иная модель турбулентности может быть 
применима только к определенному классу решаемых задач.  
 Еще одной сложностью применения численных методов является зависимость решения от параметров расчетной области (размеров и количества ячеек в наиболее характерных областях, 
например в пределах пограничного слоя). Так, например, трехмерное сверхзвуковое обтекание тела вращения под нулевым углом 
атаки характеризуется нарастанием пограничного слоя на боковой 
поверхности и областью отрывного течения за кормовым срезом. 
Как показали результаты сравнительного анализа численного моделирования с использованием уравнений RANS и DES и модели 
турбулентности Спаларта — Аллмарса, представленные в [2], отрывная структура течения за кормовым срезом зависит от вида 
моделирования, а также от количества ячеек расчетной области в 
пределах пограничного слоя на боковой поверхности и в донном 
следе.  
 Рассмотренные в настоящем учебном пособии модели турбулентности относят к наиболее широко используемым моделям, 
позволяющим разрешать осредненную по Рейнольдсу систему 
уравнений сохранения. Пособие охватывает базовые аспекты моделей турбулентности, начиная от гипотез и предположений, лежащих в их основе, и заканчивая общим представлением о построении самих моделей.  

1. ИСХОДНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ 

В основе численного моделирования лежат уравнения сохранения аэрогазодинамики, записываемые для вязкого сжимаемого 
или несжимаемого газа (в зависимости от скорости движения аппарата) в форме, применительно к отдельно взятой ячейке расчетной области. Для вязкого сжимаемого газа уравнения неразрывности и количества движения в дифференциальной форме имеют 
следующий вид:  

(
)
0
j

j

u
t
x

 
 



;                                      (1) 

(
)
(
)
jk
k
j k
jk

j
j
j

u
p
u u
t
x
x
x


 




 






.                   (2) 

Для несжимаемого газа плотностью ρ
const

 уравнения (1), 
(2) могут быть записаны так:  

0
j

j

u
x




;                                             (3) 

(
)
1
1
(
)
jk
k
j k
jk

j
j
j

u
p
u u
t
x
x
x






 




 
 
,                   (4) 

где p — давление; 
(
)
j
k
jk
k
j

u
u

x
x




 



 — касательное напряжение; 

2
2
3

j
k
kk
k
j

u
u
x
x



 




 — нормальное напряжение;  — коэффици
ент динамической вязкости; 
jk

 — символ Кронекера. Индексы j и 
k принимают обозначения, соответствующие проекциям на оси x, y 
и z. Так, например, проекция вектора скорости 


;
;
j
x
y
z
u
u u
u

 на 

оси координат


; ;
.
jx
x y z

 
Уравнения (1), (2) или (3), (4) при известном значении касательного напряжения 
jk

совместно с уравнениями энергии и состояния представляют собой замкнутую систему уравнений для 

расчета кинематических и газодинамических параметров потока. 
Основной задачей в численном моделировании является соответствующее представление тензора касательных напряжений 
,
jk

 
которое в свою очередь сводится к определению коэффициента 
турбулентной вязкости 
.t  
Прежде чем приступить к описанию наиболее распространенных подходов к определению тензора 
,
jk

 рассмотрим основополагающие свойства турбулентности и принципы, используемые в 
основе моделей турбулентности. 
 
2. СВОЙСТВА ТУРБУЛЕНТНОСТИ. КАСКАДНЫЙ 
ПРОЦЕСС ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ В ТУРБУЛЕНТНОМ 
ТЕЧЕНИИ. КОЛМОГОРОВСКИЕ МАСШТАБЫ 
ТУРБУЛЕНТНОСТИ 

К основным характеристикам, присущим турбулентности, 
можно отнести следующие: 
•  иррегулярность, что делает невозможным описание этого явления в виде функции времени и координат; 
•  ассоциативность с вихревым движением газа и непрерывность; 
•  формирование на больших числах Рейнольдса и свойство 
континуума, т. е. явление турбулентности удовлетворяет условию, 
когда линейный размер мелкомасштабных вихрей существенно 
превосходит длину пробега молекул. 
Попытки «упорядочения» турбулентности и ее описания в виде 
иерархического процесса передачи энергии были предприняты 
Леонардо да Винчи. Позже описание каскадного процесса передачи энергии в турбулентном течении было дано Ричардсоном: «The 
small eddies are almost numberless, and large things are rotated only by 
large eddies and not by small ones, and small things are turned by both 
small eddies and large…» («Малые вихревые структуры практически бесчисленны. Большие элементы течения приводятся во вращательное движение только большими вихревыми структурами, в 
то время как движение малых элементов течения происходит под 
воздействием как больших, так и малых вихрей…»). Схематически 
каскадный процесс передачи энергии может быть представлен в 

виде, приведенном на рис. 1. При больших числах Рейнольдса силы вязкости превосходят силы инерции, что способствует интенсивному перемешиванию потоков, движущихся с различными 
скоростями. Этот процесс может быть рассмотрен как процесс аккумуляции энергии из внешнего потока большими вихрями или, 
иными словами, как процесс генерации энергии в турбулентном 
течении. Аккумулированная энергия последовательно передается 
от больших вихревых структур к более мелким, формирующимся в 
результате потери устойчивости более крупных вихревых структур. Процесс передачи энергии завершается на мелкомасштабных 
структурах вязкой диссипацией кинетической энергии в теплоту.  
 

Рис. 1. Каскадный процесс передачи энергии в турбулентном течении 

Существенный вклад в развитие данной теории в целом, и в 
частности в развитие теории мелкомасштабной турбулентности, 
был внесен А.Н. Колмогоровым. Важным шагом на пути к численному моделированию турбулентных течений явилась сформулированная им гипотеза о статистическом режиме мелкомасштабной 
турбулентности, т. е. ее универсальности (независимости от 
осредненного течения) и зависимости только от двух факторов: от 
средней скорости диссипации энергии ε и коэффициента кинематической вязкости ν. Исходя из данной гипотезы, а также теории 
размерности, А.Н. Колмогоровым были установлены граничные 
масштабы мельчайших вихрей, на которые еще оказывают влияние вязкостные эффекты:  

3
1/4
(
/ )
;
k
  

1/2
( / )
;
k   
1/4
(
)
.
k
  
 

Величина 
k
 , получившая название колмогоровского линейного 
масштаба турбулентности, определяет размеры мельчайших структур, а значения 
k  и 
k
  — соответственно временной и вязкостный 
масштабы. На рис. 2 показаны результаты измерений спектральной 
плотности энергии пульсаций 
1( )
E   для различных видов течений в 

зависимости 
от 
безразмерного 
волнового 
числа
/
k
    , 

3 1/4
1/
( /
)
.
k
k
 
   
 По оси ординат отложено безразмерное значе
ние спектральной плотности 
5 1/4
1( ) / (
)
.
E
 


 Малые значения   
соответствуют крупномаштабным вихревым структурам, а большие 
значения — мелкомаштабным вихрям. Как видно из представленного 
графика, крупномасштабные (энергосодержащие) структуры определяются видом течения и числом Рейнольдса, в то время как мелкомаштабные вихри, участвующие в диссипации, являются универсальными, т. е. не зависящими от вида течения.  

Рис. 2. Безразмерная спектральная плотность для различных видов течений: 
1 — пограничный слой; 2 — течение с продольным сдвигом; 3 — течение в тру- 
                   бе; 4 — след за цилиндром; 5 — приливно-отливной канал  

Прямолинейный участок (сплошная линия на рис. 2) получил 
название закона пяти третей, поскольку на этом участке спектральная плотность описывается уравнением  

2/3
5/3
1( )
,
E
С

 


 

в котором C — некоторая постоянная. 

3. ОБЩАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОДХОДОВ 
В ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ, РАЗРЕШАЮЩИХ 
УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ  

Основной проблемой моделирования турбулентных течений 
является численное представление уравнений Навье — Стокса в 
пределах расчетной области, позволяющей моделировать как 
крупномасштабные (энергосодержащие), так и мелкомасштабные 
(участвующие в диссипации) вихри. Для низкорейнольдсовых течений, когда диапазон шкал вихревых структур сравнительно невелик, структуру течения вблизи рассматриваемого тела можно 
получить с использованием прямого численного моделирования 
DNS (direct numerical simulation). Этот подход основан на прямом 
решении нестационарных уравнений Навье — Стокса совместно с 
уравнением неразрывности. Теоретически кинематические и газодинамические параметры потока, входящие в данные уравнения 
движения и неразрывности, являющиеся функцией координат и 
времени, могут быть получены в результате численного решения 
уравнений (1) и (2) при их соответствующей записи применительно к ячейкам расчетной области. Получаемая в результате DNS 
структура обтекания является наиболее приближенной к физической структуре течения, поскольку лежащие в ее основе уравнения 
решаются напрямую. Пространственное разрешение расчетной 
области, т. е. соотношение между наибольшим и наименьшим размерами ячеек, определяется отношением характерного размера L 
к наименьшему размеру вихрей, который соответствует колмогоровскому масштабу вихрей 
3
1/4
(
/ )
.
k
  

 Для одномерных тече
ний это отношение пропорционально 
3/4
/
Re
,
k
L
L  
 а для трех
мерных 
3
9/4
( /
)
Re
k
L
L 

 и, как видно, зависит от числа Рейнольдса. При увеличении ReL  (при больших скоростях движения 
объекта) диапазон шкал вихрей существенно возрастает, что повышает требования к пространственному разрешению, поскольку 
в потоке присутствуют более мелкомасштабные вихри, для разрешения которых необходима более мелкая сетка, в то время как 
общие размеры расчетной области должны быть достаточно большими, чтобы вместить крупномасштабные вихри. Увеличение количества ячеек неизбежно приводит к возрастанию машинного 
времени, затрачиваемого на расчет. Поэтому в настоящее время 

применение DNS возможно только для малых чисел ReL . Например, для наиболее типовых чисел Рейнольдса, сопровождающих 
движение летательного аппарата, количество ячеек расчетной области, необходимое для разрешения вихрей, удовлетворяющих 
колмогоровскому линейному масштабу турбулентности, составляет 
13
15
10 ...10 ,
N 
 что делает невозможным решение данной задачи 
с точки зрения вычислительных ресурсов.  
Широкий диапазон шкал вихревых структур, присущий большим числам Рейнольдса, характерным для большинства инженерных задач, приводит к необходимости представления турбулентного течения не в виде непосредственно поля течения, а в виде его 
аппроксимации. Это значит, что прямое решение нестационарных 
трехмерных уравнений Навье — Стокса заменяется специальным 
подходом. Наиболее распространенными являются подход RANS 
(Reynolds average Navier Stokes equations), заключающийся в представлении уравнений Навье — Стокса относительно осредненных 
и пульсационных параметров потока, и подход LES (large eddy 
simulation), заключающийся в прямом моделировании больших 
вихрей и отдельном моделировании влияния малых вихрей. 

Рис. 3. Подходы к моделированию турбулентных течений 

На рис. 3 представлены основные подходы, используемые в 
численном моделировании турбулентных течений.  
 
4. ПОДХОД RANS  

Согласно представлению Рейнольдса, мгновенные значения 
любых газодинамических параметров, входящих в уравнения (1), 
(2) или (3), (4), могут быть представлены в виде суммы осреднен