Основы теории космического полета. Часть 2. Возмущенное движение космических аппаратов

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

 
 
 
В.В. Корянов, В.П. Казаковцев 
 
 
 
Основы теории  
космического полета 
 
Учебное пособие 

Часть 2 
 
Возмущенное движение космических аппаратов 
 
 

 
 

УДК 629.78(075.8) 
ББК 22.6.39.67 
         К70 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/73/book363.html 

Факультет «Специальное машиностроение» 

Кафедра «Динамика и управление полетом ракет  
и космических аппаратов» 

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

Рецензенты:  
д-р техн. наук, профессор В.И. Лобачев, 
канд. техн. наук, доцент В.В. Зеленцов 
     
Корянов, В. В. 
Основы теории космического полета : учебное пособие /  
В. В. Корянов, В. П. Казаковцев. —  Ч. 2 : Возмущенное движение космических аппаратов. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 57, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4018-4 

Рассмотрены основные характеристики возмущенного движения космических аппаратов (КА), методы расчета параметров орбиты, вопросы влияния нецентральности полей тяготения Земли 
на орбиту КА. Проанализировано использование касательных и 
нормальных проекций возмущающего ускорения при решении 
дифференциальных уравнений оскулирующих элементов. Представлены математические модели прогнозирования движения КА. 
Для студентов старших курсов технических вузов, изучающих 
дисциплину «Теория космического полета». 
 
                                                                                                        
УДК 629.78(075.8) 
ББК 22.6.39.67 
 
 
 
                            
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4018-4                                  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 

К70 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В первой части учебного пособия В.В. Корянова, В.П. Казаковцева «Основы теории космического полета» (М.: Изд-во МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, 2013) были рассмотрены основные характеристики невозмущенного движения космических аппаратов (КА),  
т. е. движение КА как материальной точки относительно одного 
центрального поля тяготения. Однако описание и изучение орбит 
КА на основе решения задачи невозмущенного движения — лишь 
первый этап при определении действительного движения аппаратов. В реальных условиях невозмущенных орбит практически не 
существует. В окрестности Земли КА притягивается не только 
Землей, но и другими небесными телами, и в первую очередь Луной и Солнцем. Существуют и другие возмущающие факторы, вызывающие отклонения значений параметров траектории КА от 
значений при невозмущенном движении. 
Отклонения от вычисленных по математической модели невозмущенного движения значений параметров траектории КА являются следствием действия возмущений. Если при решении задач 
проектной баллистики возмущениями можно пренебречь, то при 
баллистико-навигационном обеспечении полетов необходимо учитывать реально действующие на КА возмущения. 
Во второй части учебного пособия рассмотрено движение КА 
и других объектов под действием естественных возмущений.  
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ФАКТОРЫ  
И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА  
ПАРАМЕТРОВ ОРБИТЫ 

Возмущенное движение — это фактическое (истинное) движение КА под действием различных возмущающих сил. Изучение 
возмущенного движения позволяет определить реальные параметры траектории КА. Для этого необходимо иметь математическое 
описание различных возмущающих факторов, действующих на КА 
при его движении.  
Можно выделить две основные группы возмущающих факторов. 
1. Естественные, непрерывно действующие возмущающие 
факторы: 
– нецентральность поля тяготения Земли, в которой обычно 
выделяют сжатие Земли и гравитационные аномалии;  
– атмосфера Земли; 
– поля тяготения Луны и Солнца; 
– давление солнечного света. 
2. Искусственные кратковременные возмущающие факторы: 
– отклонение начальных условий полета КА; 
– корректирующие импульсы изменения скорости. 
В предлагаемом пособии будет рассмотрено влияние на орбиту КА только естественных возмущающих факторов. 
Дифференциальное уравнение возмущенного движения КА по 
орбите в векторной форме можно записать так: 

 
3
,
d
dt
r

 

V
r
F  
(1.1) 

где V, r — векторы скорости и радиуса движения КА; μ — гравитационный параметр Земли; F  — возмущающее ускорение, действующее на КА. 
При 
0

F
 (случай невозмущенного движения) уравнение (1.1) 
решают аналитически, получая конечные формулы. При этом раз

меры и форма орбиты, положение плоскости орбиты в пространстве, момент прохождения спутником перигея орбиты определяются кеплеровыми элементами ( — долгота восходящего узла;  
i — наклонение орбиты;   — аргумент перигея; p — параметр орбиты;  e — эксцентриситет;  — время прохождения КА через перигей 
орбиты), которые постоянны для заданной орбиты. При наличии возмущающих факторов кеплеровы элементы начинают медленно изменяться, и тогда их называют оскулирующими элементами. 
При определении параметров возмущенного движения КА используют три основных метода расчета: 
1) интегрирование системы дифференциальных уравнений 
возмущенного движения; 
2) метод оскулирующих элементов; 
3) метод малых возмущений. 
Метод определения параметров возмущенного движения КА с 
помощью интегрирования системы дифференциальных уравнений 
возмущенного движения позволяет решать практически любые 
задачи расчета движения КА.  
В общем виде дифференциальные уравнения возмущенного 
движения КА, например в проекциях на оси абсолютной геоцентрической экваториальной системы координат (АГЭСК), можно 
записать так: 

 
 

1
;
i

n
x
x
i

dV
F
dt



1
;
i

n
y
y
i

dV
F
dt


 

1
;
i

n
z
z
i

dV
F
dt


 
 

;
x
dx
V
dt 
  
;
y
dy
V
dt 
  
,
z
dz
V
dt 
 

где в правых частях первых трех уравнений представлены ускорения, обусловленные различными возмущающими факторами. Однако этот метод дает только численные результаты, не позволяя 
получить качественную картину влияния возмущающих факторов.  
Идея метода оскулирующих элементов заключается в том, что 
невозмущенное и возмущенное движения определяются одними и 
теми же формулами. При этом оскулирующие элементы рассматриваются не как константы, а как функции времени. 
Новые переменные  (t), ...,  (t) могут быть определены интегрированием системы дифференциальных уравнений оскулирующих элементов:  

(...),
,
d
f
dt
 

(...).
d
f
dt
 
 
(1.2) 

Уравнения (1.2) для возмущенного движения в конечном виде не 
интегрируются. Однако вследствие малости возмущающих сил 
изменение оскулирующих элементов невелико, и для решения системы уравнений применяют методы последовательных приближений. 
В момент времени t координаты спутника имеют одни и те же 
значения как для невозмущенного, так и для возмущенного движения. Оскулирующие элементы в этот момент соответствуют 
кеплеровым элементам , i, , p, e, . Таким образом, траектории 
возмущенного и невозмущенного движения соприкасаются. 
В любой другой момент времени можно найти такую невозмущенную траекторию, определяемую другими оскулирующими 
элементами, которая будет соприкасаться с траекторией возмущенного движения в другой точке. В небесной механике подобные 
соприкасающиеся траектории называют оскулирующими. Следовательно, при использовании метода оскулирующих элементов возмущенное движение рассматривается как непрерывно изменяющееся кеплеровское движение. Орбита в возмущенном движении является как бы огибающей оскулирующих орбит невозмущенного 
движения. 
Метод малых возмущений применяют для расчета параметров 
траектории при наличии кратковременных изменений элементов 
орбиты. По окончании действия возмущений параметры новой 
(возмущенной) орбиты определяют по основному уравнению теории малых возмущений: 

 
0
0
1
,

n
i
i
j
j
j

x
x
x
x








   
 

где 
0
,
i
j
x
x
 — параметры траектории соответственно в текущей 

точке и в точке действия возмущений; 
0
i
j
x
x


— частная производная изменения i-го элемента траектории при единичном изменении j-го элемента. 
 

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ  
ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ 

Из теории невозмущенного движения известно, что оскулирующие элементы , i, p определяются вектором интеграла площадей 
,


c
r
V а оскулирующие элементы  и e — вектором интеграла Лапласа. 
Продифференцируем по времени выражение для интеграла 
площадей, подставив из (1.1) величину 
:
d
dt
V
 

3
.
d
d
dt
dt
r





  
 




c
r
V
r
r
r
F  

Первый и второй члены этого уравнения равны нулю, как векторные произведения коллинеарных векторов. Тогда  

 
,
d
dt  
c
r
F  
 

или в проекциях на оси некоторой декартовой системы координат 

;
x
z
y
dc
yF
zF
dt 

 

 
;
y

x
z
dc
zF
xF
dt 

 
(2.1) 

.
z
Y
z
dc
xF
yF
dt 

 

Здесь x, y, z — координаты текущего положения КА; Fx, Fy, Fz — 
проекции возмущающих ускорений. 
Рассмотрим рис. 2.1, где показаны орбита КА, экваториальная 
плоскость и возмущающие ускорения S, T, W.  

Рис. 2.1. Кинетическая схема параметров орбиты с учетом возмущающих 
ускорений: 
S, T, W — соответственно радиальное, трансверсальное, бинормальное возмущающие ускорения; 
c
c
c
X Y Z  — инерциальная геоцентрическая система координат; 
xyz — система координат, связанная с плоскостью орбиты; u — угол между линией узлов и радиусом орбиты r (аргумент широты); dcx, dcy, dcz — приращения 
вектора интеграла площадей; di — изменение угла наклона орбиты; dΩ —
изменение долготы восходящего узла 
 
С учетом рисунка и в соответствии с уравнениями (2.1) запишем выражения для проекций вектора интеграла площадей 
:
d
dt
c
 

sin
0
x
dc
r
u W
dt 


 или 
sin
;
x
dc
r
u W dt



 

 
0
cos
y
dc
r
u W
dt 


 или 
cos
;
y
dc
r
u W dt
 


 
(2.2) 

cos (cos
sin
)
sin ( sin
cos
)
z
dc
r
u
u T
u S
r
u
u T
u S
rT
dt 









 

или 
.
z
dc
rTdt

 
В то же время по рис. 2.1 можно определить величины 
x
dc  и 

y
dc : 

 
sin
;
x
dc
c
i d

   
,
y
dc
cdi
 
   
(2.3) 

где c
p

  — модуль интеграла площадей. 
После логарифмирования и дифференцирования выражения 
модуля интеграла площадей имеем 

1
.
2
z
dc
dc
dp
p




 
 (2.4) 

Приравнивая формулы (2.2) выражениям (2.3) и (2.4), после преобразований получаем три дифференциальных уравнения трех 
оскулирующих элементов орбиты: 

sin
;
sin
d
r
uW
dt
i
p

 

 

 
cos
;
di
r
u W
dt
p




 
(2.5) 

2
.
dp
p
r
T
dt 


  

Аналогично путем интегрирования уравнений по времени и 
определения интеграла Лапласа найдем три дифференциальных 
уравнения трех других оскулирующих элементов:  

sin
1
cos
;
de
p
er
r
S
T
T
dt
p
p














 



  
 

1
cos
1
sin
ctg sin
;
d
p
r
er
S
T
i
u W
dt
e
p
p

















 



  (2.6) 

2
( sin
cos )
.
d
r
p
e
N
S
NT
dt
e
r










 

 

Здесь 

2
2
1
(2
cos )sin
3
(
) ,
1
p
N
e
e
t
e
r






 
 





 

где  — истинная аномалия. 
В результате получим замкнутую систему дифференциальных 
уравнений оскулирующих элементов, включающую уравнения 
(2.5) и (2.6). 
Предварительный анализ системы (2.5), (2.6) показывает следующее: 
– изменение положения плоскости орбиты, определяемое углами долготы линии узлов, и наклонение плоскости орбиты возможны лишь при действии бинормальных возмущений; 

– вариации параметра орбиты обусловлены действием только 
трансверсальных возмущений; 
– изменения параметра орбиты, эксцентриситета и времени 
прохождения спутником перицентра орбиты не зависят от бинормальных возмущений. 
Действие возмущений на движение КА проявляется различным образом. В зависимости от характера и результатов воздействия возмущения подразделяют на вековые и периодические. Вековыми называют такие возмущения, которые приводят к постоянному изменению элементов орбиты (с увеличением времени полета такие возмущения накапливаются).  
Обозначим буквой «Э» некоторый элемент орбиты КА. Вековое изменение этого элемента орбиты за один оборот КА будем 
помечать индексом «в»: 

2

в

0

Э
δЭ
.
d
du
du


 
 

Если рассматривается более длительный период движения КА, то 
добавляем к индексу соответствующее обозначение: Эв.сут, 
δЭв.год. 
К числу периодических относят возмущения, действие которых повторяется через определенный интервал времени. Например, при рассмотрении периодических отклонений элементов орбиты внутри одного оборота КА имеем 

0

Э
δЭ
, 0
2 .

u d
du
u
du


 

  

Периодические изменения можно представить в виде суммы 
гармоник: 



Э
1
δЭ
sin
,
j

n

j
j
j

A
m u
n





 

где 
,
j
j
m
n  — некоторые простые числа. 
При анализе периодических изменений элементов орбиты 
особое внимание будем обращать на амплитуды гармонических 
составляющих.