Основы теории космического полета. Часть 1. Системы координат, расчет времени, невозмущенное движение

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.В. Корянов, В.П. Казаковцев

Основы теории
космического полета

Часть 1

Системы координат, расчет времени,
невозмущенное движение

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
по курсу «Теория космического полета»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013

УДК 629.78 (075.8)
ББК 22.6.39.67
К70

К70

Рецензенты: В.И. Лобачев, В.В. Зеленцов

Корянов В. В.
Основы теории космического полета : учеб. пособие /
В. В. Корянов, В. П. Казаковцев. — Ч. 1: Системы координат, расчет времени, невозмущенное движение. — М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 62, [6] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3731-3
Рассмотрены основные характеристики невозмущенного движения
космических аппаратов.
Для студентов старших курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих
дисциплину «Теория космического полета».
УДК 629.78 (075.8)
ББК 22.6.39.67

ISBN 978-5-7038-3731-3
c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Запуск первого искусственного спутника Земли (ИСЗ), осуществленный 4 октября 1957 г., стал открытием новой эры в истории
человеческой цивилизации — космической. Последующие годы были ознаменованы нарастающими темпами проникновения человека в космос.
В связи с развитием космической техники, планами освоения
космического пространства, перспективами использования спутниковых систем различного назначения современный инженер
должен обладать знаниями основ динамики движения космических аппаратов (КА).
При решении многих задач космической баллистики достаточно наглядное и приемлемое по точности представление о движении КА можно получить, если учесть воздействие на него лишь
одного притягивающего тела (например, Земли для спутников этой
планеты) и пренебречь влиянием других небесных тел. Поскольку
масса КА ничтожна по сравнению с массой притягивающего тела,
можно рассматривать движение КА относительно притягивающего тела как движение материальной точки в поле тяготения тела,
не влияющей на тело.
Подобное движение КА как материальной точки относительно
одного центрального поля тяготения называется невозмущенным.
В учебном пособии рассмотрены основные характеристики невозмущенного движения КА.

Глава 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
В ТЕОРИИ КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА,
И РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ

1.1. Основные обозначения и системы небесных координат

Для определения пространственных координат движения КА,
а также для наблюдения за ними используют понятие небесной
сферы.
Небесная сфера — сфера произвольного радиуса с центром
в точке О, в которой находится наблюдатель (или в заданной точке). На точку O проектируются небесные светила (или КА).

Основные линии и точки на небесной сфере

В точке нахождения наблюдателя с помощью отвеса проведем вертикальную линию (см. штриховую вертикальную линию
на рис. 1.1). Получим следующие точки на небесной сфере (см.
рис. 1.1):
Z — зенит; это точка пересечения вертикальной штриховой
линии с небесной сферой над головой наблюдателя;
Z′ — надир; это точка, противоположная точке Z на вертикальной штриховой линии.
Истинный горизонт — плоскость, перпендикулярная вертикальной линии, проходящая через точку О по большому кругу. Эта
плоскость делит небесную среду на видимую сферу с точкой Z и
невидимую сферу с точкой Z′.
На рис. 1.1 символом Р обозначен Северный полюс мира как
точка пересечения оси мира с небесной сферой, символом Р′ —
Южный полюс мира (Южное полушарие); символами РР′ — ось

4

Рис. 1.1. Небесная сфера. Основные обозначения:
Р — Северный полюс мира; Р ′ — Южный полюс мира; С — южная точка небесного экватора; С ′ — северная точка небесного экватора; Z — зенит; Z′ — надир;
PP ′ — ось мира; B — широта наблюдателя; N — точка севера; S — точка юга; E —
точка востока; W — точка запада; O — точка, в которой находится наблюдатель

мира — прямая, проходящая через центр небесной сферы перпендикулярно оси вращения Земли.
Угол между осью мира РР′ и вертикальной линией ZZ′ равен
90o − В, где В — широта наблюдателя.
Точка востока от пересечения небесного экватора и истинного горизонта на рис. 1.1 обозначена символом Е, точка запада от
пересечения небесного экватора и истинного горизонта — символом W; точка севера — ближайшая точка к Северному полюсу Р —
символом N; точка юга — символом S; полуденная линия — пересечение плоскости небесного и истинного горизонта — символами
NS; южная точка небесного экватора — символом C; северная
точка небесного экватора — С ′.
Плоскость небесного экватора — плоскость, перпендикулярная
оси мира и проходящая через точку О.
Небесный экватор — большой круг небесной сферы при ее пересечении плоскостью небесного экватора.
Плоскость небесного меридиана — плоскость, проходящая через вертикальную линию ZZ′ и ось мира PP ′. Небесный мери
5

диан — большой круг небесной сферы при его пересечении плоскостью небесного меридиана.
Угловая скорость вращения Земли равна

ω3 = 2π
Tзв
= 7, 29211 ∙ 10−5 1
с.

Каждое светило 2 раза в сутки проходит через небесный меридиан. Момент прохождения светил через небесный меридиан
называют кульминацией.
Верхняя кульминация — это кульминация светила в видимом
полушарии. Нижняя кульминация — это кульминация светила в
невидимом полушарии.
Плоскость, в которой происходит видимое годичное движение
Солнца, называется плоскостью эклиптики. Эклиптика — большой
круг небесной сферы при ее пересечении плоскостью эклиптики.
Ось эклиптики ПП′ — линия, проходящая через точку О перпендикулярно плоскости эклиптики (рис. 1.2).
На рис. 1.2 символом ε обозначен угол между плоскостью эклиптики и плоскостью небесного экватора (или, другими словами,

Рис. 1.2. Взаимное расположение плоскости эклиптики и небесного экватора:
PP ′ — ось мира; ПП′ — ось эклиптики; γ — точка весеннего равноденствия;
Ω — точка осеннего равноденствия; ε — угол между плоскостью эклиптики и
плоскостью небесного экватора

6

угол между осью мира и осью эклиптики). Угол ε — медленно
изменяющаяся величина∗: ε ≈ 23◦26′.
Точка весеннего равноденствия γ — точка пересечения эклиптики с небесным экватором, где Солнце переходит из Южного
полушария в Северное полушарие. Точка осеннего равноденствия
Ω — точка пересечения эклиптики с небесным экватором, где Солнце переходит из Южного полушария в Северное полушарие.

Прецессия и нутация земной оси

Ось вращения Земли в космическом пространстве среди неподвижных звезд совершает сложное движение, состоящее из прецессии и нутации. Это движение обусловлено влиянием Солнца и
Луны, а также неравномерным распределением масс внутри Земли
(рис. 1.3).

Рис. 1.3. Прецессионное и нутационное движение земной оси:
ПП′ — ось эклиптики; Р — истинный Полюс мира; Рср — средний Полюс мира;
ε — угол наклона образующей конуса к оси эклиптики

∗ См. журнал «Астрономический ежегодник».
http://elibrary.ru/item.asp?id =16382609

7

Прецессия — это медленное движение земной оси, которая описывает конус за период приблизительно 26 000 лет. Образующая
данного конуса наклонена к оси эклиптики под постоянным углом
ε ≈ 23◦26′.
Нутация — малые колебания земной оси относительно ее среднего на данный момент положения с периодом 18,6 лет и амплитудой менее 18′′,4.
На рис. 1.3 символом Рср обозначен средний Полюс мира, определяемый только прецессионным движением земной оси. Средний
Полюс мира определяет плоскость среднего небесного экватора.
Истинный Полюс мира P определяется и прецессией, и нутацией.
Полюс мира определяет плоскость истинного небесного экватора.
За эклиптику в расчетах принимают среднегодовое положение
орбиты центра масс Земли при ее движении вокруг Солнца. Орбита
Земли является сложной пространственной кривой.

Истинная и средняя точки весеннего равноденствия

Допустим, что в некоторый момент времени зафиксированы
положения среднего и истинного небесного экватора. Точки пересечения среднего небесного экватора с эклиптикой называют средними точками весеннего и осеннего равноденствия (рис. 1.4). Точки
пересечения истинного небесного экватора с эклиптикой называют истинными точками весеннего и осеннего равноденствия. Дугу
γγ0 вдоль эклиптики (от истинной точки весеннего равноденствия
до средней точки весеннего равноденствия) называют нутацией по
долготе.
Вследствие прецессии земной оси точка весеннего равноденствия непрерывно смещается по эклиптике против годичного движения Солнца со средней скоростью 50′′,3 в год, что называется
предварением равноденствия.

Системы небесных координат

Систему небесных координат задают основным большим кругом небесной сферы с указанием на нем точки отсчета одной из
координат.

8

Рис. 1.4. Точка весеннего равноденствия:
γ — истинная точка весеннего равноденствия; γ0 — средняя точка весеннего
равноденствия; Сср — средняя южная точка небесного экватора; С ′
ср — средняя
северная точка небесного экватора; Сист — истинная южная точка небесного
экватора; С ′
ист — истинная северная точка небесного экватора

Рис. 1.5. Первая экваториальная система координат:
Р — Северный полюс мира; Р ′ — южный полюс мира; PP ′ — ось мира; p —
полярное расстояние; С — Южная точка небесного экватора; С ′ — северная точка
небесного экватора; δ — склонение светила; M — точка пересечения небесного
экватора и часового круга; σ — положение светила; t — часовой угол

Положение светила на небесной сфере определяется двумя
углами δ и t (рис. 1.5). Для этого на небесной сфере выбирается

9

основной круг с центром в центре небесной сферы. Перпендикулярно плоскости основного круга проводится линия до пересечения с небесной сферой. Точки пересечения соединяются часовым
кругом светила.
Выбирается точка отсчета на основном круге небесной сферы. Положение светил определяется либо углом, либо дугами. В
зависимости от выбора основного круга небесной сферы и точки отсчета получаются различные системы небесных координат:
первая экваториальная, вторая экваториальная, эклиптическая и
горизонтальная.

Первая экваториальная система координат

Основной круг — небесный экватор. Точка отсчета — южная
точка экватора (С) (см. рис. 1.5).
Большой круг РσМ Р′ называется часовым кругом светила
(или кругом склонения светила).
На рис. 1.5 символом σ обозначено положение светила на небесной сфере, символом δ — склонение светила (δ ∈ [−90◦; 90◦]);
символом p — полярное расстояние; символом t — часовой угол
(t ∈ [0◦; 360◦] или t ∈ [0h; 24h]), этот угол отсчитывается по направлению вращения небесной сферы.
От угловой меры к часовой переходят по таблицам, приведенным в журнале «Астрономический ежегодник»∗.
Склонение светила не зависит от времени и географического
положения наблюдателя (без учета прецессии и нутации земной
оси). Часовой угол зависит от времени (вследствие вращения Земли) и долготы наблюдателя.

Вторая экваториальная система координат

Основной круг — небесный экватор. Точка отсчета — точка
весеннего равноденствия (рис. 1.6).
Склонение светила δ ∈ [−90◦; 90◦].
Прямое восхождение светила α ∈ [0◦; 360◦] или α ∈ [0h; 24h],
оно отсчитывается против вращения небесной сферы.

∗ http://elibrary.ru\item.asp?id=16382609

10