Математические модели цифровых двойников

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования 

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

 

 
 
 
 
 
 

О. Г. Пенский 

 
 
 
 
 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 

ЦИФРОВЫХ ДВОЙНИКОВ 

 
 

Допущено методическим советомПермского государственного 

национального исследовательского университета в качестве учебного пособия для студентов, обучающихсяпо направлению подготовки магистров «Фундаментальная информатика и информационные технологии (направленность Открытые информационные 
системы)», и аспирантов направления подготовки «Информатика 
и 
вычислительная 
техника», 
профиль 
«Математическое 

моделирование». 

 

 
 
 
 

 

Пермь 2019 

УДК 519.86: 519.87 
ББК 22.18 

П253 

 

 

П253 

Пенский О. Г. 

Математические модели цифровых двойников: 

учеб. пособие / О. Г. Пенский; Перм. гос. нац. 
исслед. ун-т. – Пермь, 2019. − 157 с. 

ISBN 978-5-7944-3267-1 

 

Введены математически формализованные понятия эмоции, воспитания 

робота и другие основанные на них психологические параметры 
интеллектуальных машин. Введены безразмерные коэффициенты, характеризующие эмоциональную и информационную память робота, изучено 
влияние памяти робота на его поведение. Описано поведение групп 
роботов. Предложено правило принятия роботом альтернативного решения 
на основе эмоционального выбора. Описаны приложения моделей в 
психологии человеческого социума. 

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению 

подготовки магистров «Фундаментальная информатика и информационные 
технологии (направленность Открытые информационные системы)», и 
аспирантов направления подготовки «Информатика и вычислительная 
техника», профиль «Математическое моделирование». 

 
 

УДК 519.86: 519.87 

ББК 22.18 

 

Печатается по решению ученого совета 
механико-математического факультета  

Пермского государственного национального исследовательского университета 
 
Рецензенты: д-р техн. наук, заведующий кафедрой «Математическое 

обеспечение и применение ЭВМ» Пензенского 
государственного университета профессор П. П. Макарычев;  
д-р техн. наук, профессор кафедры «Автоматика 
и телемеханика» ПНИПУ С. Ф. Тюрин 

 
 

 
ISBN 978-5-7944-3267-1 

© ПГНИУ, 2019 
© Пенский О. Г., 2019

 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение .......................................................................................................... 5 
1. Определение эмоции робота ....................................................................... 8 
2. Воспитание робота .................................................................................... 13 
3. Параметры группы эмоциональных роботов ........................................... 22 
4. Дружба роботов ......................................................................................... 25 
5. Гипотеза о психологических установках роботов ................................... 27 
6. Эквивалентный воспитательный процесс ................................................ 31 

6.1. Математическая модель эквивалентного воспитательного  
процесса ....................................................................................................... 31 
6.2. Альтернатива целевой функции при совпадении тактов  
реального и эквивалентного воспитательного процессов......................... 34 
6.3. Обобщение на случай несовпадения тактов  реального и 
эквивалентного воспитательных процессов .............................................. 38 

7. Способ приближенного определения динамики изменения 
коэффициентов памяти на одном такте ....................................................... 39 
8. Математическая модель формирования равноценных  
групп роботов ................................................................................................ 40 
9. Алгоритм формирования равноценных групп роботов .......................... 43 
10. Применение правил векторной алгебры к исследованию 
эмоционального состояния группы роботов ............................................... 44 
11. О математической оценке величины достижения  поставленной 
перед роботом цели ....................................................................................... 48 

11.1. Правило вычисления величины достижения   
поставленной цели ...................................................................................... 48 
11.2. Алгоритм формирования равноценных групп  роботов по 
величине достижения поставленной цели ................................................. 53 

12. Математическая модель эмоциональных способностей робота ........... 53 
13. Работа и сила воли эмоционального робота .......................................... 57 
14. Математическая модель таланта ............................................................ 60 
15. Модель темперамента робота ................................................................. 63 

15.1. Описание модели ................................................................................ 63 
15.2. Программная реализация вычисления темперамента ...................... 65 
15.3. Верификация модели натурными экспериментами .......................... 66 
15.4. Темперамент группы роботов ............................................................ 67 

16. К исследованию динамики психологических процессов  
в группе роботов ........................................................................................... 67 
17. Правила и прогноз эмоционального выбора робота ............................. 70 
18. Математические модели восприимчивости робота  и человека к 
воспитанию .................................................................................................... 76 

19. Алгоритм и программная реализация измерения эмоций абонента 
мобильного телефона ................................................................................... 80 

19.1. Авторский алгоритм .......................................................................... 81 
19.2. Программная реализации алгоритма ................................................ 82 

20. Математические модели психологических характеристик  
робота с гармоническими эмоциями ........................................................... 85 
21. Математические модели гармонического воспитания робота ............. 88 

21.1. Математические модели робота с отсутствием памяти................... 88 
21.2. Математические модели робота с абсолютной памятью ................ 91 
21.3. Математические модели робота с неабсолютной памятью ............. 93 
21.4. Примеры оценки точности моделей ................................................. 97 

22. Математическая модель оценки достижения поставленной цели 
роботом с гармоническими эмоциями ........................................................ 97 
23. Обобщение правил эмоционального поведения робота на случай 
произвольного количества взаимодействующих с роботом игроков ........ 99 

23.1. Первое правило альтернативного выбора ........................................ 99 
23.2. Второе правило альтернативного выбора ...................................... 101 
23.3. Ортогональность векторов воспитания и эквивалентность  
правил альтернативного выбора .............................................................. 101 

24. Эмоциональный выбор и конфликт между роботами ........................ 102 
25. Математические модели «психических заболеваний» роботов ......... 103 
26. Модели комплексных эмоций роботов ............................................... 108 
27. Роботы с абсолютной памятью ............................................................ 111 
28. Алгоритм эмоциональных контактов в группе роботов..................... 115 
29. Математическая модель плана трансляции передач средств массовой 
информации ................................................................................................ 118 
30. Математическая модель интереса к проектам СМИ .......................... 123 

30.1. Формула интереса ............................................................................ 123 
30.2. Программа реализации модели ....................................................... 124 
30.3. Способ приближенного определения входных параметров  
модели и вычислительный эксперимент ................................................. 126 

31. Простейшие математические модели пропаганды и  
контрпропаганды ........................................................................................ 127 

31.1. Математическая модель одновременного воспитания  
группы субъектов ..................................................................................... 127 
31.2. Математическая модель групповой памяти ................................... 128 
31.3. Модель пропаганды и контрпропаганды ........................................ 129 

32. Математические модели индивидуальной психоэмоциональной 
адаптации к спортивным тренировкам детей-инвалидов по зрению ...... 131 
33. Аномальное воспитание робота ........................................................... 139 
34. Об информационных аспектах Е-существа......................................... 142 
Заключение ................................................................................................. 154 
Литература для углубленного изучения курса ......................................... 155 

ВВЕДЕНИЕ  

 

В середине ХХ в. появились научные работы, посвященные 

искусственному синтезированию разных аспектов психологии человека. 
Основоположниками такого направления стали не психологи, а кибернетики, биокибернетики и математики. Одним из основателей синтетической психологии является Валентино Брайтенберг, профессор Института 
биологической кибернетики им. Макса Планка в Тюбингене. Его подход 
заключается в том, что биологическое поведение легче синтезировать, чем 
анализировать. Используя элементарные механизмы с датчиками и электрические устройства, управляемые простейшими микросхемами, по его 
мнению, можно имитировать такие чувства, как любовь, агрессия, страх и др. 

В 1960–70-х годах почти всем казалось, что создание мыслящих и 

исполнительных роботов – дело ближайшего будущего. Однако скоро стало 
ясно, что даже самые простые физические действия, например: взять со 
стола кружку, ощутить препятствие в пространстве, спланировать маршрут 
и переместиться по нему, оказались для роботов весьма сложными 
задачами. 

Один из известнейших исследователей Родни Брукс из MIT 

предложил подход в области робототехники, радикально отличавшийся от 
остальных. Его вдохновили насекомые и другие существа с маленьким 
объемом мозга. Он решил создать архитектуру робота, выполняющего свои 
действия не на построении сложной внутренней модели окружающего 
пространства, а как непосредственную реакцию на возникающие внешние 
раздражители. Результаты оказались впечатляющими. Насекомоподобные 
типы роботов могли сделать почти все, на что были способны роботы, 
моделирующие внутреннюю модель окружающего пространства. При этом 
они обладали намного меньшими вычислительными мощностями. 

В конце 80-х годов сформировалось направление кибернетических 

исследований – «Искусственная жизнь» (Artificial Life). Основной мотивацией исследований искусственной жизни стало желание понять и 
смоделировать формальные принципы организации биологической жизни. 
Основное предположение «Искусственной жизни» состоит в том, что 
“логическая форма” организма может быть отделена от материальной 
основы его конструкции. 

Параллельно развивалось такое научное направление, как эволю
ционная нейрокибернетика. Одной из ее целей является понимание того, 
как зародилась логика на нашей планете. Ученые анализируют эволюцию 
наиболее 
нетривиальных 
«интеллектуальных» 
биокибернетических 

свойств «интеллектуальных изобретений» биологической эволюции (безусловных рефлексов, привыкания, условных рефлексов, цепей условных 
рефлексов). Исследователи пришли к выводу, что в результате такой 
эволюции возникла человеческая логика, обеспечивающая научное познание природы. 

Моделирование человекоподобной памяти всегда притягивало иссле
дователей. Однако до конца не выяснено, как именно функционирует 
человеческая память. Это привело к созданию множества моделей, которые 
внесли свой вклад в понимание сознания человека. 

Ученые отмечают, что память является необходимым условием для 

любой формы обучения. Это утверждение основано на точке зрения 
Бакстера и Брона: в основе познания лежит память.  

У биологических существ даже простое приобретение знаний – это 

уже форма обучения, так как достаточно сложно, если вообще возможно, 
определить, где заканчивается процесс запоминания и начинается процесс 
обучения. 

Несколько лет назад моделирование основных характеристик памяти 

человека позволило создать программы, которые запоминали информацию 
о событиях, извлекали из нее некоторые закономерности и правила, 
сохраняли полученные «умозаключения» в базу данных. 

Зарубежные и отечественные ученые разработали много разно
образных эвристических моделей психики и мышления человека. На их 
основе создана программа «Композитор» Рейтмана и Санчера, воспроизводящая в упрощенном виде творчество композитора; программа 
Гелентера, способная доказывать геометрические теоремы, и др. Однако 
все вышеперечисленные модели являются узкоспециализорованными. 

Нейробиологи предлагают множество теорий и моделей, которые 

могут за счет технических средств моделировать познавательные возможности памяти. Например, исследование человеческой памяти может 
быть разделено на несколько составляющих: строение нервных связей, 
скорость запоминания, объем запоминаемой информации. 

В последнее десятилетие под влиянием кибернетики во многих 

отраслях знания, в том числе и психологии, получил широкое распространение такой метод научного исследования, как математическое 
моделирование памяти робота. Для этого математики, кибернетики и 
робототехники обратились к исследованиям психологов в области памяти 
человека. 

Человеческая память работает благодаря трем процессам:  

1) декодирование информации, которая получена от рецепторов; 
2) сохранение информации в кратковременной или долго-временной 

памяти; 

3) поиск и извлечение (воспоминание) информации из памяти (если 

она не забыта); 

Существует несколько теорий эмоций человека, а также описаны нес
колько формальных математических моделей эмоций. Такие модели 
применяются для определения эмоций в виде, приемлемом для проектирования и создания роботов. 

Информационная теория эмоций П.В. Симонова говорит о том, что 

эмоции человека появляются от недостатка или избытка информации для 

удовлетворения потребности. Степень эмоционального напряжения в 
таком случае определяется силой потребности и величиной дефицита 
прагматической информации, необходимой для достижения цели. 

Модель KARO описывает качественную и количественную сторону 22 

видов эмоций: качественно описывает условия возникновения каждой 
эмоции, а количественно определяет интенсивность эмоции. Модель 
KARO базируется на основе формальной логики. 

Модель EMA основана на формальной логике, для описания эмоций 

использует такие переменные, как полезность, желательность, вероятность 
события. EMA отличается от KARO только выбором используемых 
переменных.  

Модель Affective Computing предоставляет возможность роботу 

распознавать эмоции человека по лицевому выражению и типичному 
поведению. Такая модель позволяет описать внешние выражения эмоций 
роботом. В модели Affective Computing применяются цепи Маркова для 
задания переходов из одного эмоционального состояния в другое. 

В модели Фоминых–Леонтьева эмоция – это числовая функция 

(имеющая смысл силы эмоции). 
Областью определения является 

некоторый набор параметров, который описывает ситуацию. Для каждого 
типа эмоций предлагается свой набор параметров. Для каждого агента 
(человека, животного, робота) и для каждой эмоции представляется возможным предложить свою функцию F , которая определяет силу эмоции в 
зависимости от величины аргументов. 

Преимущество существующих подходов в том, что они позволяют 

моделировать различные типы эмоций, на основе представленных знаний в 
различном виде. Можно описывать новые типы эмоций и новые типы 
эмоционального поведения роботов. Однако такие модели не универсальны. Они дают адекватные результаты только в рамках конкретных 
прикладных задач и не учитывают процесс поступления информации и 
знаний в робота. 

Настоящее учебное пособие описывает универсальные матема
тические модели эмоциональных роботов без привязки к конкретным 
типам эмоций. Предлагемая теория основана на методах математического 
анализа, линейной алгебры и оптимизации. 

Настоящее учебное пособие разработано на основе результатов 

исследований, изложенных в монографии О.Г. Пенского, Ю.А. Шарапова, 
Н.В. Ощепковой «Математические модели роботов с неабсолютной 
памятью и приложения моделей», изданной в Пермском государственном 
национальном исследовательском университете в 2018 году.  

 

 
 
 
 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭМОЦИИ РОБОТА 

 

Из теории психологии человека известно, что эмоции являются 

ответной реакцией организма на некий раздражитель-стимул. Для роботов 
этот стимул назовем сюжетом и дадим ему следующее определение. 

 
Пусть t – время. 
 
Определение 1.1. Функцию S(t) будем называть сюжетом, если она 

обладает следующими свойствами: 

1) область определения S(t): 


0
,
,0
*
*


t
t
t
, 
*t  
; 

2) S(t)>0 для любого 

,0 t*
t 
; 

3) S(t) – взаимнооднозначная функция; 
4) S(t) – ограниченная функция. 
 
Так как психологические свойства эмоций высших живых существ 

запутанны и неоднозначны, мы решили ввести отдельное математическое 
определение эмоции робота, отвлекаясь от реальных эмоций человека и в 
то же время аккумулируя в этом определении основные свойства эмоций 
человека и животных. Мы также абстрагируемся от содержательной 
стороны эмоций. 

 
Определение 1.2. Функцию f(t), удовлетворяющую соотношению 

( ( ), ) ( )
( )
a S t t S t
f t

, где a(s(t),t) – произвольная функция, назовем 

функцией внутренних переживаний робота.  

 
Будем говорить, что сюжет S(t) порождает внутренние переживания 

робота. 

 
Определение 1.3. Функцию внутренних переживаний робота 
M (t)
 

назовем эмоцией робота, если она удовлетворяет условиям: 

1. Область определения 
M (t)
:


 



0
0
0
0
0
,
,
T
t
T
t
t
. 

2. 
M (t)
 – дифференцируемая на 
)
,
(
t0 T0
, непрерывная и одноз
начная функция на 
t0, T0 
. 

3. 
0
)
( 0 
M t
и 
0
)
( 0 
M T
. 

4. В области определения существует единственная точка z , такая, 

что 
0
0,
T
z
t
z


 и 
0
( )

dt

dM z
. 

Предположим, что существует такое число J > 0, что для любых 

эмоций робота выполняется условие 
J
M t
( ) 
. 

Легко видеть что, например, функция 










t

t

P
M t
0
sin
( )

 для 

,0 t0 
t 
, 

P  const
 является эмоцией. 

 
Определение 1.4. Функцию 
M (t)


 назовем комплексной эмоцией, если 

ее можно представить в виде вектора, элементами которого являются 
эмоции, одновременно порожденные одним сюжетом. 

 
Мы не станем акцентировать внимание на содержательном характере 

эмоций и учтем лишь важное для нас: 

1. Эмоции имеют знак (положительный или отрицательный). 
2. Количество эмоций субъекта конечно. 
Исходя из п.2, можно сказать, что эмоциональное состояние робота 

описывается вектором эмоций  
M (t)


 с конечным количеством элементов, 

равным числу n: 


( )
( ),...,
( )
1
t
M
t
M
M t
n




. 

 
В дальнейшем, если говорим об эмоции одного вида, то опускаем 

соответствующий индекс, знак вектора и используем обозначение M(t). 

За нулевую эмоциональную отметку примем такое состояние робота, 

когда у него эмоции полностью отсутствуют. 

 
Очевидно, что в качестве сюжета могут выступать чисто внешние 

раздражители, например такие, о которых не содержится информации в 
памяти робота (см. рис. 1.1).  

В качестве сюжета, порождающего эмоции робота, также могут 

выступать раздражители, о которых информация частично содержится в 
памяти робота и частично поступает из внешней среды (см. рис. 1.2). 

И наконец, сюжетом может быть информация, полностью нахо
дящаяся в памяти робота. Этот случай соответствует, например тому, 
когда вызванное у робота воспоминание порождает эмоции (см. рис. 1.3). 

 
 
 
 
 
 
 
 

Память робота                                    Сюжет 
 

 

Рис. 1.1. Сюжет – чисто внешний раздражитель 

 
 
 
        Память робота                                     Сюжет 
 

 

Рис. 1.2. Сюжет – частично внешний раздражитель 

 
 
 
 
 
 
 

Память робота                                  Сюжет 
 
 

 

Рис. 1.3. Сюжет – чисто внутренний раздражитель 

 
Рисунки 1.2 и 1.3 частично соответствуют психологической теории 

С.Шехтера, согласно которой «на возникшее эмоциональное состояние 
помимо воспринимаемых стимулов и порождаемых ими телесных 
изменений оказывают воздействие прошлый опыт человека и оценка им 
наличной ситуации…» 

Обратим внимание на то, что при описании принадлежности сюжета 

к памяти робота мы употребляли слово «информация», которая, как 
известно, измеряется битами. Поэтому выдвинем следующую гипотезу: 
сюжет также  можно измерять битами информации.  

Очевидно то, что различные сюжеты могут порождать одну и ту же 

эмоцию робота, то есть нет взаимно однозначного соответствия между 
сюжетом и эмоцией. Сказанное иллюстрирует рис. 1.4. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Эмоция                                                   Сюжеты 
 
 
 
 

 

 

Рис. 1.4. Соответствие между сюжетами и эмоцией 

 
В свою очередь, один и тот же сюжет может спровоцировать  

различные эмоции робота (см. рис. 1.5). 

 
Аналогично плотности вещества в физике введем понятие удельной 

эмоции робота. 

 
Определение 1.5. Удельной a(S(t),t) эмоцией робота назовем эмоцию, 

приходящуюся на единицу сюжета.  

 
Очевидно, 
что 
удельная 
эмоция 
удовлетворяет 
соотношению 

.
)
(

( ( ), )
( ( ), )
t
S

M S t t
a S t t

 

Легко видеть, что знак эмоции 
( ( ), )
M S t t
 робота определяется знаком 

удельной эмоции a(S(t),t).