Теория множеств с самопринадлежностью и теория меры (основания и приложения)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»





В. Л. Чечулин




                Теория множеств с самопринадлежностью и теория меры (основания и приложения)




МОНОГРАФИЯ









Пермь 2017

УДК 519.50
ББК 22.10
     4 57

           Чечулин В. Л. Теория множеств с самопринадлежностью и 457 теория меры (основания и приложения) / В. Л. 4ечулин; Перм. гос.
      нац. исслед. ун-т. - Пермь, 2017. - 92 с.

           ISBN 978-5-7944-2926-8

   В книге описаны результаты теории множеств с самопринадлежностью, связанные с основаниями теории меры и имеющие приложения,— это результаты следующие по отношению к предыдущей монографии автора по данной теме.
   Подробно рассмотрена история попыток доказательств непротиворечивости математики (от оснований геометрии до теории множеств) и доказательство непротиворечивости теории множеств с самопринадлежностью; указано, что доказательство непротиворечивости имеется только для самоссылочных (непредикативных) теорий); описаны свойства и приложения непредикативности.
   Описана иерархия уровней бесконечности: конечные множества, счётные множества, недостижимые множества и множество всех множеств (которое не является недостижимым); указано, что эти уровни замкнуты, из конечных множеств конечными комбинациями получаются конечные, из счётных счётными и недостижимыми комбинациями — счётные, из недостижимых — недостижимые (мощность множества всех множеств не выразима мощностью упорядоченных структур).
   Указано на структурный изоморфизм цепи 10-деревьев (обозначений десятичных чисел), покрывающий структурный изоморфизм нити недостижимых последователей (точек на прямой),— что служит одним из оснований теории меры. Доказаны теоремы о счётной (конечной) вычислимости неподвижной точки, связывающие математику непрерывных величин и вычислительную математику.
   Описаны основания теории меры, необходимость эталона меры, его воспроизводимость и самоизмеримость. На этом основании очевидно строится классический математический анализ, теории дифференциала и интеграла (где бесконечно-малые величины — это убывающие до 0 переменные).
   Приложения результатов теории множеств с самопринадлежностью и теории меры относятся к теории управления, теории вероятностей, решению проблем обоснования математики.
   Книга предназначена для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов вузов, интересующихся основаниями и приложениями математики.
  (92 стр., 3 табл., 18 рис., библиография 131 наимен.)
УДК 519.50
ББК 22.10

Печатается по решению кафедры прикладной математики и информатики Пермского государственного национального исследовательского университета

Рецензенты: В .В. Морозенко, канд. физ.-мат. наук, доц. каф. «Информационные технологии в бизнесе» Пермского филиала ГУ ВШЭ; Т. А. Алабина, доц. каф. «Финансы и кредит» Кемеровского государственного университета, канд. экон. наук.


ISBN 978-5-7944-2926-8

© Чечулин В. Л., текст, вёрстка, оформление,2017
© ПГНИУ, подготовка к изданию, 2017

Chechulin V. L., Set theory with selfconsidering and measure theory (foundations and applications); Perm State University (Russia).— Perm, 2017.— 92 p.


   ISBN 978-5-7944-2926-8


     In the book it was described the results of the theory of sets with selfconsidering, connected to the bases of the theory of a measure and having appendices, its results was following to relation to the previous monograph of the author on a this subject.
     Explicitly history of attempts of proofs of consistency of mathematics (from the geometry bases to the theory of sets) and the proof of consistency of the theory of sets with selfconsidering was considered; it was specified that the proof of consistency was available only for self-referential (impredicative) theories); properties and applications of not predicativity were described.
     The hierarchy of levels of infinity was described: finite sets, countable sets, unattainable sets and a set of all sets (which isn't unattainable); it was specified that these levels are closed, from finite sets finite combinations turn out finite, from calculating —calculating and unattainable combinations — calculating, from unattainable — unattainable (power of a set of all sets not a described by the power of the arranged structures).
     It was specified the structural isomorphism of a circuit of 10-trees (designations of decimal numbers) covering a structural isomorphism of thread of unattainable followers (points on a straight line) — that serves one of the bases of the theory of a measure. Theorems of calculating (finite) computability of a fixed point, the connecting mathematics of the continuous values and calculus mathematics were proved.
     The bases of the theory of a measure, need of a standard of a measure, its reproducibility and selfmeasurability were described. On this base the classical mathematical analysis, theories of differential and integral was obviously built (where infinity-small values are decreasing to 0 variables).
     Applications of results of the theory of sets with selfconsidering and theories of a measure belong to the theory of control, probability theory, the solution of problems of reasons for mathematics.
     The book was intended for scientists, teachers, graduate students and students of the higher education institutions which are interested in the bases and applications of mathematics.
(92 p., 3 tab., 18 fig., bibliography 131 nomen.)

Printed by the decision of the applied mathematics and informatics department of the Perm State University (Russia)

Reviewers: V. V. Morozenko, docent of subfuculty «Information technologies in business» of Hihg economic school Perm filial (Russia), Candidate of Phisico-mathematical Sciences; T. A. Alabina Senior Lecturer in «Finance and Credit» Department of Kemerovo State University (Russia), Candidate of Economical Sciences.


ISBN 978-5-7944-2926-8

© Chechulin V. L., text, design, 2017
© PSU, preparation to the edition, 2017


Ключевые слова: теория множеств с самопринадлежностью, непротиворечивость теории, автомодельность теории, основания математики, теория меры, эталон меры, связь теории меры с классическим математическим анализом, теорема о размерности, теоремы Гёделя, счётная вычислимость неподвижной точки, отсутствие первой проблемы Гильберта, разрешение парадокса Банаха-Тарского, непредикативный вывод уравнения экономического равновесия.

Keywords: the theory of sets with selfconsidering, consistency of the theory, automodelness of the theory, foundations of the mathematics, the theory of a measure, a measure standard, communication of the theory of a measure with the classical mathematical analysis, the theorem of dimensionality, Godel theorems, calculating computability of a fixed point, absence of the first problem of Gilbert, permission of a paradox of Banakha-Tarsky, an impredicative output of the equation of economic equilibrium.

            Оглавление



   Оглавление................................................4
   Предисловие...............................................6
Часть 1. Методологические основания..........................7
   Глава 1. Методологические основания.......................7
     §  1. Онтологические основания построения теории меры...7
Часть 2. О непротиворечивости и непредикативности............9
   Глава 2. О непротиворечивости теории множеств.............9
     §2 . Обращение теоремы Гёделя о непротиворечивости......9
     §3 . Обращение теоремы Гёделя о неполноте..............10
     §4  . Исторические периоды развития доказательств непротиворечивости.....................................12
   Глава 3. Ещё о непредикативности.........................20
     §5 . О предикативности лямбда-исчисления...............20
     §6 . Самопринадлежность: около аксиомы фундирования....22
     §7  . Необходимость непредикативности в основаниях математики    28
     §8  . Об алгоритмической неопределимости вероятностной меры.32
     §9  . Об обосновании логического вывода................33
     §10  . Непредикативная полнота и предикативная неполнота теорий
      ......................................................36
Часть 3. Уровни бесконечного и порядковые структуры.........38
   Глава 4. Уровни бесконечного.............................38
     §11 .0 счётности последователей типа PN................38
     §12. О счётности множества подмножеств счётного множества..42
     §13 . Изоморфизм недостижимых последователей типа РО....44
     §14  . О недостижимой мощности множества подмножеств множества недостижимой мощности........................46
     §15  . Иерархия уровней бесконечности..................47
   Глава 5. Порядковые структуры............................48
     §16 . О счётномерных ориентированных пространствах.....48
     §17 . Структурный изоморфизм цепи п-деревьев и теория меры ..49
Часть 4. Теория меры........................................53
   Глава 6. Основания теории меры...........................53
     §18 . Теоремы об отделимости (сепарабельности).........53
     §19 . Порядковая числовая структура одномерия..........54
     §20 . Эталон меры и его необходимые свойства...........55
     §21 . Связь теории меры с классическим математическим анализом
      ......................................................57
Часть 5. Приложения результатов.............................58
   Глава 7. Счётная вычислимость неподвижной точки..........58
     §22 . К обоснованию вычислимости решения задачи управления 58

4

     §23 . О счётной (конечной) вычислимости неподвижной точки ...59
   Глава 8. Приложения к теории управления.................62
     §24 . Трёхмерность структуры задач управления.........62
     §25 . Трёхмерность задач управления и управление качеством ....64
     §26 . Дополнение: ещё раз о теореме о размерности.....66
     §27 . Приложения теоремы о размерности................70
   Глава 9. Решения отдельных математических проблем.......72
     §28 . Об однозначной невозможности первой проблемы Гильберта
.....................................................72
     §29 . К разрешению парадокса Банаха-Тарского..........75
   Глава 10. Непредикативный вывод модели равновесия экономики 78
     §30 . Непредикативный вывод основного логистического уравнения.............................................78
Заключение.................................................80
   Послесловие.............................................81
   Список литературы.......................................82
   Указатель имён..........................................90
   Предметный указатель....................................90

5

            Предисловие


     Эта книга является продолжением и в некотором смысле завершением предыдущей книги автора по основаниям математики «Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения)» [77], — знакомство с которой необходимо для понимания основного содержания данной книги.
     Части книги имеют содержательную завершённость: в первой части дополнительно, по отношению к [77], описываются методологические основания и ограничения теории множеств и теории меры. Во второй части изложены результаты, относящиеся к непротиворечивости и самоссылочности (непредикативности теории множеств). В третьей части даны описания порядковых структур, необходимых для теории меры. В четвёртой части приведены основания теории меры и их связь с классическим математическим анализом. В пятой части описаны приложения основных результатов.





     Автор благодарит А. А. Лопатина за идею обращения теоремы Гёделя о недоказуемости непротиворечивости, С. В. Русакова за предварительный просмотр рукописи §4 и высказанные конструктивные замечания.

6

Часть 1. Методологические основания
Глава 1. Методологические основания
§1. Онтологические основания построения теории меры
     Методологические основания описания оснований математики шире, чем упоминавшееся в [61] и [77] гносеологическое обоснование допустимости самопринадлежности множеств. Отчасти методологические основания описания структуры научного знания обозначены в [79], [95]; здесь же при описании теории множеств с самопринадлежностью и теории меры основания связаны с наличием 3-частной онтологической структуры:
iii) сознание (самосозерцательно), й) время (самотекуще) (во времени проходят логические рассуждения), i) материя (самопритягиваема¹).
     Между сознанием и временем (iii-м и ii-м онтологическими уровнями) наличествует естественный язык, обладающий самоописательно-стью (язык описывается посредством самого языка),— отсюда прозрачно вытекает наличие самоссылочных конструкций (в том числе самопринадлежности); теория множеств с самопринадлежностью обладает самоописательностью (см. [77, с. 32-33]).
     Между временем и материей (й-м и i-м онтологическими уровнями) наличествует техника, материально выражающая информацию, — техника, воспроизводимая человеком, посредством самой техники, т. е. тоже обладающая опосредованно свойством самоприменимости.
     В описании теории меры указанная онтологическая структура присутствует следующим образом:
iii) сознание (самосозерцательно), й) самоссылочные (непредикативные) логические конструкции,— доказательство непротиворечивости теории множеств,
i) материально выражаемый эталон меры (самоизмеримый и воспроизводимый, подробнее — в §20).
     Эталон меры (задающий количество и направление меры) находится в материальном мире, а логические построения теории меры его лишь используют при создании математических конструкций, направленных на описание материального мира и внесения в него (в мир) порядка.
     Время — нематериально, измеряется фактически не время, а мера равномерного (во времени) механического движения (стрелок часов и т. и.),— «эталон времени» — (это не эталон времени как такового),— это материальная мера равномерного движения.

¹ Подробнее о свойствах материи и нелокальности массы см. в [56], [97], [101].

7

     Сознание — нематериально, но относительные меры, касающиеся народонаселения и т. и. (% сытых, % голодных и т. д.) относятся к доле (количеству) материально (телесно) живущих людей.
     Таким образом, мерою (измерением) подменены содержания явления (наблюдаемые на среднем и верхнем онтологических уровнях: ii) времени, iii) сознания),— вместо них выступают бессодержательные формальные (численные) выражения, а формальные выражения уже не создают сознательного содержательного целеполагания (соответствующего системе ценностей), остаются (сами по себе в отрыве от сознательного содержания) мёртвыми и бездейственными. Таково основное ограничение теории меры, касается ли это экономики [68], [76], [87], социологии [80], [118] или психологии [92].

8

            Часть 2. О непротиворечивости и непредикативности


     Во второй части описаны результаты о непротиворечивости и непредикативности (самоссылочности) рассматриваемых теорий.
Глава 2. О непротиворечивости теории множеств
§2 . Обращение теоремы Гёделя о непротиворечивости
     В этом параграфе рассмотрено обращение теоремы Гёделя о недоказуемости непротиворечивости в предикативных формальных системах; показано, что непротиворечивость доказуема только для непредикативных (самоссылочных) теорий. В качестве примера такой теории выступает теория множеств с самопринадлежностью (непредикативная теория), для которой её непротиворечивость доказана средствами самой теории. Указано на нецелесообразность построения предикативных теорий ввиду недоказуемости их непротиворечивости. Изложено по [26].
     В основаниях математики хорошо известна теорема Гёделя о недоказуемости непротиворечивости формальной системы [44]. Теорема была доказана впервые (в первоначальной форме) К. Гёделем в 1931 году. Однако в рассуждениях Гёделя имелось неявное предположение,— им, а также следовавшими за ним другими математиками, рассматривались только предикативные формальные системы (предикативные теории), в которых не допускалось круга логических следований [88]², см. тж. §7.
     В более формальной записи предикативная теория Т - это такая теория, в которой имеется набор аксиом (схем аксиом) Ai и выводимые утверждения Ву
     (Aii, ■■■, Aiₙ, Bji,..., Bjₘ) |— Bjo,               (1)
причём при определённых правилах вывода общее свойство этих правил вывода по условию предикативности системы таково, что выводимое утверждение не содержится в том наборе утверждений, из которых оно выводится, не содержится в цепи вывода от аксиом до себя самого, т. е. в формуле (1),
     Bjo {Ац, ..., Aiₙ, Bji,..., Bjₘ},                   (2)
и утверждения, из которых выводимо Bjo невыводимы из него (т. е. по условию предикативности — отсутствие круга в выводе), неполучаемы с участием Bj₀,
     Do {Ац, ..., Ain, Bji,..., Bjₘ},
     VDₖ e Do, Bj₀ Dₖ.                                   (3)
Более подробно о предикативных теориях см. [77, с. 37-38].
     Для таких предикативных формальных теорий (систем) обобщён

² Хотя очевидно, что любая аксиома А; выводима из себя самой А;|= А; ,— здесь круг логического следования (самоссылочность) налицо.

9

ная формулировка теоремы Гёделя такова [77, с. 38]:
     Теорема 1 (теорема Гёделя, о недоказуемости непротиворечивости). В предикативной системе недоказуема её непротиворечивость.
     Доказательство приведено в [77, с. 38-39]. □
     Данная теорема выглядит как заключение вида «А, следовательно, В», А=>В, где А — это утверждение о предикативности формальной системы, а В — утверждение о недоказуемости её непротиворечивости.
     Как известно, по правилу modus tollens, импликация обратима: из А=>В следует ”В=>”А (не-В, следовательно, не-А). Применительно к указанной теореме её обращение выглядит следующим образом:
     Теорема 2 (о непредикативности непротиворечивой теории). Если в формальной системе доказана её непротиворечивость, то она непредикативна. □
     Пример непротиворечивой непредикативной теории — это теория множеств с самопринадлежностью. Доказательство непротиворечивости этой теории приведено в [77]. На основании приведённого примера объединение теорем 1 и 2 даёт следующее заключение:
     Теорема 3 (о непротиворечивости только непредикативных теорий). Доказательства непротиворечивости формальной системы имеют место только для непредикативных формальных систем.
     Доказательство очевидно. □
     Прикладной смысл теоремы 3 таков: детальная проработка предикативных формальных систем не имеет смысла ввиду того, что доказать их непротиворечивость невозможно. С другой стороны, поскольку непротиворечивость теорий доказуема для непредикативных формальных систем, то именно они подлежат обоснованному рассмотрению (в плане наличия доказательства их непротиворечивости). То есть если для теории доказана её непротиворечивость, то она подлежит дальнейшему рассмотрению.


            §3 . Обращение теоремы Гёделя о неполноте


     В третьем параграфе рассмотрено обращение теоремы Гёделя о неполноте предикативных формальных систем; показано, что полнота доказуема только для непредикативных (самоссылочных) теорий; однако и примера такой непредикативной теории с бесконечной областью объектов нет,— теория множеств с самопринадлежностью является неполной теорией, что содержательно совпадает с ограничениями о неразрешимости теорий (теоремой Чёрча-Россера о неразрешимости). Имеется частный результат о полноте непредикативной теории с конечным числом объектов — моделью лямбда-исчисления. Изложено по [109].
     В основаниях математики хорошо известна теорема Гёделя о неполноте формальной системы [44]. И эта теорема была доказана перво

10