Дистрибутивные групповые кольца и близкие к ним темы

А.А. Туганбаев 

ДИСТРИБУТИВНЫЕ  
ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА  
И БЛИЗКИЕ К НИМ ТЕМЫ 

Монография 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2024 

УДК 512.55 
ББК  22.144 
 Т81 

Т81    

       Туганбаев А.А. 
  Дистрибутивные групповые кольца и близкие к ним 
темы : монография / А.А. Туганбаев. — Москва : ФЛИНТА, 
2024. — 152 с. — ISBN 978-5-9765-5487-0. — Текст : электронный.

В данной книге изучаются инъективные и регулярные 
модули и кольца, а также групповые кольца и моноидные 
кольца моноидов с сокращениями и регулярных моноидов. 

УДК 512.55 
ББК  22.144 

ISBN 978-5-9765-5487-0 
 © Туганбаев А.А., 2024 
© Издательство «ФЛИНТА», 2024 

Содержание 
 
Введение ................................................................................ 
6 
 
1. Инъективные и близкие к ним модули ....................... 

 
15 

1.1. Предварительные сведения ........................................... 
15 
1.1.1. Системы образующих  
и ℵ-порожденные модули ...................................... 
 
15 
1.1.2. Свободные модули и их базисы ............................ 16 
1.1.3. Относительная проективность.  
Проективные модули ............................................. 
 
16 
1.1.4. Собственные и существенные подмодули.  
  Замкнутые подмодули и замыкания 
  подмодулей .............................................................. 

 
 
18 
1.1.5. Замыкания и дополнения ....................................... 19 
1.1.6. Несингулярные и сингулярные модули. 
  Сингулярный подмодуль. Идеал sg M .................. 
 
20 
1.1.7. Бимодули ................................................................. 21 
1.1.8. Редуцированнные, риккартовы и pf-кольца ......... 22 
1.1.9. Регулярные модули и кольца ................................ 
25 
1.1.10. Регулярные модули и кольца .............................. 
27 
1.1.11. Кольца частных по множествам Оре .................. 28 
1.1.12. Модули частных по множествам Оре ................ 
30 
1.2. Относительная инъективность ...................................... 
34 
1.2.1. Общие свойства X-инъективности ........................ 34 
1.2.2. Инъективные модули, I .......................................... 36 
1.2.3. Критерий Бэра инъективности .............................. 
37 
1.2.4. Делимые и p-инъективные модули ....................... 38 
1.2.5. Инъективные кообразующие ................................ 
39 
1.2.6. Инъективные модули II ......................................... 
41 
1.3. Квазинепрерывные модули.  
Инъективные оболочки ................................................. 
 
42 
1.3.1. Квазинепрерывные модули ................................... 
42 
1.3.2. Инъективные оболочки .......................................... 47 
 

1.4. Счетно инъективные и дистрибутивные модули ........ 
49 
1.4.1. Счетно инъективные и счетно алгебраически 
компактные модули ............................................... 
 
49 
1.4.2. Модули Безу и дистрибутивные модули ............. 
53 
1.4.3. Свойства дистрибутивных модулей ..................... 
58 
1.4.4. Свойства дистрибутивных колец .......................... 63 

 
2. Регулярные и строго регулярные групповые кольца ... 

 
68 
2.1. Групповые и моноидные кольца ................................... 
68 
2.1.1. Начальные свойства колец AG .............................. 
68 
2.1.2. AH-модуль AG, где H – подгруппа группы G ...... 
72 
2.1.3. Группа кватернионов, гамильтоновы  
и локально конечные группы ................................ 
 
74 

2.2. Моноиды с сокращениями ............................................. 77 
2.2.1. Начальные свойства моноидов с сокращениями .... 
77 
2.2.2. Свойства модуля AGAG ......................................... 
79 

 
3. Кольца многочленов и пирсовские слои .................... 

 
81 
3.1. Группа [[x−1, x]]A[[x, x−1]] и ее подгруппы ................ 81 
3.1.1. Определения и обозначения .................................. 
81 
3.1.2. Кольца A[[x, φ]], [[φ, x]]A, A[x, φ] и [φ, xA] ........... 83 
3.2. Кольца A[x, φ] ................................................................. 
84 
3.2.1. Начальные свойства колец A[x, φ] ........................ 
84 
3.2.2. Нормальные кольца A[x, φ] ....................................
87 
3.3. Конечно порожденные идеалы кольца A[x, φ] ............. 88 
3.3.1. Теорема Гильберта о базисе и главные идеалы ...... 88 
3.3.2. Центральные идемпотенты кольца A[x, φ] ........... 89 
3.3.3. Кольца [φ, x]A и A[x, φ], где A строго регулярно .... 
91 
3.3.4. Свойства колец [φ, x]A/xn[φ, x]A ........................... 
93 
3.3.5. Кольца Безу [φ, x]A/xn[φ, x]A ................................. 
97 
3.4. Кольца косых многочленов Лорана .............................. 99 
3.4.1. Свойства колец A[x, x−1, φ] и [φ, x−1, x]A ........... 
100 
3.4.2. Простые кольца A[x, x−1, φ] .................................. 104 

3.5. Пирсовские слои и максимальные неразложимые  
факторы ........................................................................... 
 
107 
3.5.1. Начальные свойства ............................................... 
107 
3.5.2. Свойства пирсовских слоев ................................... 109 
3.5.3. Модули и пирсовские слои, I ................................ 
113 
3.5.4. Модули и пирсовские слои, II ............................... 
115 
3.5.5. Элементы кольца и пирсовские слои ................... 
118 
 
4. Регулярные групповые кольца  
и дистрибутивные моноидные кольца ............................ 

 
 
122 

4.1. Регулярные групповые кольца ...................................... 
122 
4.1.1. Теоремы Вильямайера и Машке ........................... 
122 
4.1.2. Подкольца A в R, где модуль AR свободен .......... 
124 
4.1.3. Связь между кольцами AG и AH,  
где H – подгруппа в U (G) ..................................... 
 
125 

4.1.4. Строго регулярные групповые кольца ................. 
127 
4.2. Дистрибутивные групповые и моноидные кольца ...... 129 
4.2.1. Свойства дистрибутивных групповых колец, I ...... 
129 
4.2.2. Свойства дистрибутивных групповых колец, II ..... 134 
4.2.3. Свойства дистрибутивных групповых колец, III ... 
135 
4.2.4. Свойства дистрибутивных групповых колец, IV ..... 137 
4.2.5. Дистрибутивные моноидные кольца моноидов  
с сокращениями ...................................................... 
 
139 
4.2.6. Дистрибутивные моноидные кольца регулярных 
моноидов ................................................................. 
 
144 

 
Предметный указатель ....................................................... 
 
148 

 
Список литературы ............................................................. 
 
150 
 
 
 

Введение

Все кольца предполагаются ассоциативными и (за исключением
нильколец и некоторых оговоренных случаев) с ненулевой единицей,
модули предполагаются унитарными. Слова типа «н¨етерово кольцо»
означают, что соответствующие условия выполнены справа и слева.
Необходимые определения и обозначения приводятся по ходу изложения, а также в данном разделе.

Главной целью данной книги является исследование дистрибутивных справа1 групповых колец и дистрибутивных справа моноидных
колец в случае, когда моноиды являются регулярными или моноидами с сокращениями. Кроме того, изложены некоторые темы, примыкающие к исследованию дистрибутивных справа групповых и моноидных колец. Например, подробно рассмотрены инъективные и
близкие к ним модули, которые играют очень важную роль в теории
ассоциативных унитальных колец, поскольку все модули изоморфно
вкладываются в инъективные модули, и каждый модуль обладает
инъективной оболочкой, единственной с точностью до изоморфизма, тождественного на самом модуле.

В книге шороко используются регулярные кольца, введенные Джоном фон Нейманом для изучения различных функциональных алгебр и играющие важную роль в математике. Регулярные по фон
Нейману кольца являются регулярными правыми и левыми модулями над собой. Регулярные модули образуют значительно более широкий класс модулей, чем чрезвычайно важные для алгебры полупростые модули. Также не вызывает сомнения большая роль рассматриваемых в книге колец многочленов и пирсовских слоев колец,
имеющих многочисленные приложения в математике.

Мы приводим ниже во введении ряд используемых в данной книге
хорошо известных сведений о модулях и кольцах, а также группах
и полугруппах, которые можно найти, например, в [1], [2], [3], [4],

1Кольцо называется дистрибутивным справа, если решетка его правых идеалов дистрибутивна.

6

[5], [6], [8], [9], [10], [11], [12]. В первую очередь нам будет удобно
использовать сведения из книги [9].

В частности, используются следующие обозначения.

Если A – кольцо, то через U(A), J(A), AS−1 обозначаются соответственно группа его обратимых элементов, его радикал Джекобсона,
правое кольцо частных относительно некоторого правого множества
Оре S в A.

Если X и Y – два подмножества правого (соотв., левого) модуля M
над кольцом A, то (X . . Y ) = {a ∈ A | Xa ⊆ Y } (соотв., (X
.
. Y ) =
{a ∈ A | aX ⊆ Y }), rA(X) = r(X) = (X . . 0) = {a ∈ A | Xa = 0}
(соотв., (X
.
. 0) = {a ∈ A | aX = 0}) – правый аннулятор (соотв.,
левый аннулятор) множества X, являющийся правым (соотв., левым)
идеалом кольца A.

Если M – модуль, то через End M, J(M) обозначаются соответственно кольцо эндоморфизмов, радикал Джекобсона модуля M.

Мы будем широко использовать следующую общематическую лемму
Цорна (часто без специальных ссылок).

0.1. Лемма Цорна. Если частично упорядоченное E содержит объединение любой возрастающей цепи своих элементов, то E содержит
хотя бы один максимальный элемент.

Замечание. Ниже до конца введения мы приводим для удобства ряд известных сведений из теории колец и модулей.
Мы часто будем использовать эти сведения без специальных ссылок.

0.2. Простые модули и кольца.
Ненулевой модуль без собственных ненулевых подмодулей называется простым модулем.

Ненулевое кольцо без собственных ненулевых идеалов называется
простым кольцом.

Каждый простой модуль порождается любым своим ненулевым элементом и каждый его ненулевой гомоморфный образ прост.

7

Подмодуль M модуля X называется максимальным, если фактормодуль X/M прост.

Кольцо A является телом (т.е. все его ненулевые элементы обратимы
в A), если и только если модуль AA прост (эквивалентно, модуль AA
прост).

0.3. Полупростые модули.

Модуль M называют вполне приводимым, если каждый его подмодуль является прямым слагаемым модуля M.

Модуль M называется полупростым, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям 1)–4):

0.31 M – полупростой модуль;

0.32 M – гомоморфный образ (не обязательно прямой) суммы простых модулей;

0.33 M – ненулевой вполне приводимый модуль;

0.34 M не имеет собственных существенных подмодулей.

04. Артиновы и нётеровы модули и кольца.

Модуль называется артиновым (соотв., нётеровым), если M не содержит бесконечных строго убывающих (соотв., строго возрастающих)
цепей своих подмодулей.

041. Модуль M является артиновым (соотв., нётеровым) в точности
тогда, когда каждое непустое подмножество подмодулей в M содержит хотя бы один минимальный (соотв., максимальный) элемент.
Кроме того, все подмодули любого гомоморфного образа каждого
артинова (соотв., нётерова) модуля являются артиновыми (соотв.,
нётеровыми) модулями.

042. Если имеется цепь 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M
подмодулей в M такая, что модули Mi/Mi−1 артиновы (соотв., нётеровы) при i = 1, . . . , n, то модуль M артинов (соотв., нётеров).
В частности, любая конечная прямая сумма артиновых (соотв., нётеровых) модулей – артинов (соотв., нётеров) модуль.

8

043. Каждый конечно порожденный правый модуль M над нётеровым справа (соотв., артиновым справа) кольцом A – нётеров (соотв.,
артинов) модуль.

044. Если A – артиново справа (соотв., нётерово справа) унитарное
подкольцо кольца R и правый A-модуль R конечно порожден, то R
– артиново справа (соотв., нётерово справа) кольцо.

045. Модуль M является нётеровым в точности тогда, когда все его
подмодули конечно порождены.

05. Пусть M – конечно порожденный полупростой модуль.

051. M = S1 ⊕ · · · ⊕ Sn, где все Si – простые модули и каждый
простой подмодуль в M изоморфен одному из модулей Si, причем
если M = T1⊕· · ·⊕Tm и все модули Tj просты, то m = n и существует
такой автоморфизм ϕ модуля M, что ϕ(Si) = Tp(i), i = 1, . . . , n, для
некоторой перестановки p чисел 1, . . . , n.

052. Если X – подмодуль в M, то существуют разложение M =
X ⊕ Y , автоморфизм ϕ модуля M и подмножество J в {1, . . . , n},
такие что X = ϕ(⊕i∈JSi) и Y = ϕ(⊕i∈{1,...,n}\JSi).

053. M не содержит прямую сумму n + 1 ненулевых подмодулей,
End M – ортогонально n-конечное кольцо и f n = 0 для любого нильпотентного эндоморфизма f модуля M.

Подмодуль X модуля M называется вполне инвариантным (в M), если f(X) ⊆ X для любого эндоморфизма f модуля M. Модуль M
называется инвариантным, если все его подмодули вполне инвариантны в M. Кольцо является инвариантным справа (соотв., слева),
если все его правые (соотв., левые) идеалы являются идеалами. Коммутативные кольца инванриантны.

Модуль M называется арифметическим, если решетка всех его
вполне инвариантных подмодулей дистрибутивна, т.е.
X ∩ (Y + Z) = X ∩ Y + X ∩ Z для любых вполне инвариантных подмодулей X, Y, Z в M. Кольцо с дистрибутивной решеткой идеалов
называется арифметическим кольцом.

9

Поскольку идеалы кольца A совпадают с вполне инвариантными
подмодулями в AA и с вполне инвариантными подмодулями в AA,
то арифметичность кольца A равносильна как арифметичности модуля AA, так и арифметичности модуля AA.

054. M
имеет конечное число однородных компонент H1
=
H(M, S1), . . . , Hk = H(M, Sk), M = ⊕k
i=1Hi, для каждого i ∈ I однородная компонента Hi вполне инвариантна в M и является прямой
суммой конечного числа ni изоморфных копий простого модуля Si,
End M ∼= End H) × · · · × End Hn и каждое кольцо End Hi изоморфно простому артинову кольцу всех матриц размера ni ×ni над телом
End Si, причем все числа ni и k определены однозначно.

06. Теорема Веддерберна–Артина.
Для кольца A равносильны условия:

1) A – полупростое справа (эквивалентно, слева) кольцо;

2) все правые (эквивалентно, левые) A-модули полупросты;

3) A – конечное прямое произведение простых артиновых колец;

4) кольцо A изоморфно конечному прямому произведению колец
матриц над телами.

07. Дистрибутивные, цепные и полуцепные модули.

Модуль M называется дистрибутивным, если решетка всех его подмодулей дистрибутивна, т.е. (X + Y ) ∩ Z = X ∩ Z + Y ∩ Z для любых подмодулей X, Y, Z в M. Кольцо A называется дистрибутивным
справа (соотв., слева), если модуль AA (соотв., AA) дистрибутивен,
т.е. решетка всех правых (соотв., левых) идеалов кольца A дистрибутивна. Ясно, что коммутативное кольцо A дистрибутивно справа
(соотв., слева) в точности тогда, когда A – арифметическое кольцо.

Модуль называется цепным, если любые два его подмодуля сравнимы
по включению, т.е. решетка всех его подмодулей – цепь. Прямые
суммы цепных модулей называются полуцепными модулями.

Все цепные модули дистрибутивны. Кольцо целых чисел Z – коммутивное дистрибутивное неполуцепное кольцо.

10

0.61. M – цепной модуль ⇔ в M любые два циклических подмодуля
сравнимы по включению ⇔ M не имеет подфакторов X ⊕ Y , где
модули X и Y просты.

Для любого простого числа p ∈ N через Qp обозначается подкольцо
в поле Q, образованное всеми рациональными числами с не делящимися на p знаменателями, а через C(p∞) или Z(p∞) обозначается
аддитивная группа Qp/Z, называемая квазициклической группой.

0.62. Пусть X = Qp/Z – квазициклическая группа, h: Qp → X –
естественный эпиморфизм с ядром Z, Xn = h(p−nZ) (n = 0, 1, 2 . . . ).
Тогда все собственные подмодули Z-модуля X являются конечными
циклическими модулями и образуют бесконечную строго возрастающую цепь 0 = X0 ⊂ X1 ⊂ X2 ⊂ · · · ⊂ X, объединение которой
совпадает с X. Поэтому X – цепной артинов счетно порожденный Zмодуль, который изоморфен любому своему ненулевому гомоморфному образу, не является конечно порожденным модулем и не имеет
максимальных подмодулей. Кроме того, каждый модуль Xn – вполне
инвариантный циклический нётеров цепной непростой подмодуль в
X и при n ∈ N имеет единственный максимальный подмодуль Xn−1.

08. Конечномерные и равномерные модули

Модуль называется конечномерным, если он не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых подмодулей.

Модуль M называется равномерным, если любые два его ненулевых
(циклических) подмодуля имеют ненулевое пересечение.

Если n ∈ N и каждое множество ненулевых ортогональных идемпотентов кольца A содержит ≤ n элементов, то кольцо A называется
ортогонально n-конечным.

Подмодуль N модуля M называется коравномерным, если M/N –
равномерный модуль, т.е. если не существует таких строго содержащих N подмодулей X и Y в M, что X ∩ Y = N.

Если для модуля M существует такое n ∈ N, что M не содержит
прямую сумму из n + 1 ненулевых модулей и M – существенное расширение прямой суммы n ненулевых равномерных модулей, то M

11

называется модулем конечной равномерной размерности, а число n называется равномерной размерностью или размерностью Голди модуля
M и обозначается udim M; в этом случае M – прямая сумма не более
n неразложимых модулей, причем по определению udim (0) = 0.

081. Все равномерные модули конечномерны, каждый подпрямо
неразложимый (например, простой) модуль равномерен и ZZ – равномерный модуль, не являющийся подпрямо неразложимым. Если
кольцо End M ортогонально n-конечно для некоторого n ∈ N, то
модуль M – прямая сумма n неразложимых (возможно, нулевых)
модулей.

082. Для модуля M равносильны условия:

1) модуль M конечномерен;

2) M не содержит бесконечных прямых сумм ненулевых замкнутых
подмодулей;

3)M – модуль с условием максимальности (минимальности) для замкнутых подмодулей.

083. Для модуля M равносильны условия:

1) модуль M равномерен;

2) в M любые два замкнутых ненулевых подмодуля имеют ненулевое
пересечение;

3) M – существенное расширение любого своего ненулевого (циклического) подмодуля;

4) M – существенное расширение равномерного модуля;

5) M имеет конечную равномерную размерность.

084. Если n ∈ N, то для модуля M равносильны условия:

1) M – модуль равномерной размерности n;

2) M – конечномерный модуль равномерной размерности n;

3) M – существенное расширение прямой суммы n ненулевых равномерных модулей;

12

4) udim M = n и каждый ненулевой подмодуль X в M – прямая
сумма k ≤ n ненулевых неразложимых модулей, причем End (X)
– ортогонально k-конечное кольцо и для каждого нильпотентного
эндоморфизма f модуля X ядро эндоморфизма f n – существенный
подмодуль в X.

085. M – конечномерный модуль ⇔ M – существенное расширение
конечномерного модуля ⇔ в M любой подмодуль – существенное
расширение конечно порожденного модуля ⇔ кольцо эндоморфизмов любого подмодуля в M ортогонально n-конечно для некоторого
n ∈ N ⇔ M – модуль конечной равномерной размерности ⇔ в M пересечение конечного числа коравномерных подмодулей равно нулю.

086. Если M = ⊕m
i=1Xi = ⊕n
j=1Yj, где все Xi и Yj – ненулевые равномерные модули, то m = n.

087. Любое существенное расширение конечной прямой суммы конечномерных модулей конечномерно.

09. Радикал Джекобсона для модулей и колец.

Пересечение ядер всех гомоморфизмов из модуля M в любые простые модули называется радикалом Джекобсона модуля M и обозначается через J(M).

Модуль M называется полупримитивным, если J(M) = 0.

091. Для любого модуля M верно, что либо J(M) = M (если
max(M) = ∅), либо J(M) совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей в M (если max(M) ̸= ∅). Кроме того, M/J(M) –
полупримитивный модуль, являющийся подпрямым произведением
простых модулей.

Для любого кольца A обозначим через J(A) сумму всех таких идеалов X в A, что элемент 1 − x обратим в A для всех x ∈ X. Кольцо
A называется полупримитивным, если J(A) = 0.

Идеал J(A) называется радикалом Джекобсона кольца A, поскольку
хорошо известно следующее утверждение.

092. Для любого кольца A имеем J(A) = J(AA) = J(AA). Поэтому

13