Методика и технология обучения решению неравенств при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике

 

 

 

 

 

 

 

Е.Е. ОВЧИННИКОВА 

 

 

МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ  

НЕРАВЕНСТВ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ И ОГЭ 

ПО МАТЕМАТИКЕ 

Учебное пособие 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Липецк – 2020 

 
 

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ  

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.П. СЕМЕНОВА-ТЯН-ШАНСКОГО» 

ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ  

И ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК 

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ 

 

 

 

 

Е.Е. ОВЧИННИКОВА 

 

МЕТОДИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ  

НЕРАВЕНСТВ  ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ И ОГЭ 

ПО МАТЕМАТИКЕ 

 

 

Учебное пособие 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Липецк – 2020 

 
 

 

 

 

УДК 517.165
ББК 22.193
О 35

Печатается по решению кафедры математики 
и физики ЛГПУ имени 
П.П. Семенова-Тян-Шанского
Протокол №10 от 3 июля 2020 г.

 

 

Овчинникова, Е.Е. Методика и технология обучения решению  

неравенств  при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике: Учебное пособие / 
Е.Е. Овчинникова. – Липецк: ЛГПУ имени П.П. Семенова-Тян-Шанского, 2020. 
– 83 с.   

 

ISBN 978-5-907335-15-8 

 
 

Пособие раскрывает вопросы авторской методики и технологии обучения 

решению неравенств из письменной части ЕГЭ и ОГЭ по математике. В нем разобраны примеры решения задач, описаны разные способы и тонкие моменты в 
решении неравенств, предложены задания для организации самостоятельной 
работы.  

Пособие может применяться при проведении курса по выбору «Решение 

задач из ЕГЭ и ОГЭ по математике», «Решение задач повышенной сложности 
по математике» или похожих курсов для студентов направления «Педагогическое образование» профиля «Информатика и математика», «Математика и физика», «Физика и математика», а также будет полезным для учителей математики. Рекомендовано для слушателей программ дополнительного профессионального образования соответствующего направления подготовки. 

 

 

УДК 517.165 
ББК 22.193 
О 35 

 

 

Рецензенты:   
Фомина Татьяна Петровна, канд. ф.-м.наук, доцент 
кафедры математики и физики ЛГПУ имени 
П.П. Семенова-Тян-Шанского
Хитрина Марина Валерьевна, учитель математики высшей 
категории МАОУ «Лицей №44» города Липецка

ISBN 978-5-907335-15-8
© ФГБОУ ВО «Липецкий государственный
педагогический 
университет 
имени 

П.П. Семенова-Тян-Шанского», 2020
© Овчинникова Е.Е., 2020
© Макет Овчинникова Е.Е., Ефименко Д.А., 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

 ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ .................................................. 4 
 РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ...................................... 5 
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ.   
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ .............................................................. 22 
 
РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ.   
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ ......................................................................... 27 
 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ  
ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ ......................................................................... 33 
 
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ.   
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ ......................................................................... 48 
 
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ.  МЕТОД 
РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ............................................................................................... 52 
 
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ.   
МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ В СЛОЖНЫХ СЛУЧАЯХ .................................... 56 
 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОСИЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ ПРИ РЕШЕНИИ  
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ .................................................................. 63 
 
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ   
ПО ТЕМЕ «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ» ................................................................. 70 
 
ТЕСТ «НЕРАВЕНСТВА» ........................................................................................... 78 
 
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................ 82 

 

 
 
 

 

 
 

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 

 

При подготовке учеников к единому государственному экзамену (ЕГЭ) и 

основному государственному экзамену (ОГЭ) по математике необходимо учи
тывать особенности, которые присущи этим экзаменам. Уже можно говорить о 

некоторых тенденциях, сложившихся за годы проведения ЕГЭ и ОГЭ по мате
матике. Очевидно, что задания 13 и 15 в ЕГЭ (решение уравнения и решение 

неравенства) и 21 задание в ОГЭ проверяют не наличие математических спо
собностей и сообразительности в математике, а умение решать конкретные ви
ды задач, причем важна именно техника решения, когда ученик должен увидеть 

идею решения и безошибочно довести ее до конца. Поэтому важно уделять 

внимание способам решения разного вида неравенств. Именно неравенство на 

ЕГЭ по математике представляет собой техничное задание, наиболее близкое к 

школьной программе, которое позволит набрать баллы не очень сильному уче
нику, владеющему техникой решения неравенств. Однако несмотря на то что в 

школьном курсе математики линия уравнений и неравенств активно представ
лена, следует отметить, что существуют нюансы, без которых решение нера
венств такого уровня, как требуется для задания 15 из ЕГЭ, будет проблема
тичным. Некоторые неравенства из тех, что были предложены на ЕГЭ в разные 

годы, на уровень выше по сложности неравенств, изучаемых по школьным 

учебникам даже профильных классов. Поэтому именно от учителя, его профес
сиональной подготовки зависит, смогут ли его сильные и средние ученики ре
шать неравенства из 15 задания ЕГЭ.  

Базовыми моментами в подготовке к решению сложных неравенств будут 

следующие умения, которыми должен владеть ученик: 

- разлагать на множители квадратные выражения; 

- владеть методом группировки для разложения на множители выражений 

степени большей второй; 

- видеть необходимость замены при решении неравенств, решать нера
венство методом замены переменной; 

- уметь подбирать корни в многочленах степени выше второй и делить 

уголком многочлен на многочлен (либо знать схему Горнера); 

-  уметь находить область определения разного вида выражений; 

- уметь решать дробно-рациональные неравенства и их системы. 

При подготовке к ЕГЭ и ОГЭ надо учитывать, что ученик должен видеть 

некоторые особенности неравенства и учитывать их при выборе способа реше
ния. В начале занятий важно понимание именно метода решения задачи, при
чем необходимо постоянно обсуждать, как можно решить данное неравенство, 

какие разные ходы видны по ходу решения, как выгоднее поступить. После по
нимания метода решения данного вида неравенства надо отрабатывать и техни
ку решения, обращать внимание на нюансы оформления решения задачи, дове
дение решения до конца.  

В данном пособии мы остановимся на разборе решений некоторых видов 

неравенств, опишем подводные камни, которые встречаются при решении не
равенств, дадим методические рекомендации по выстраиванию работы при 

обучении решению некоторых видов неравенств, выделим опорные схемы и ал
горитмы их решения, приведем задания для организации самостоятельной ра
боты. 

 

РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ 

 

Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов широко 

представлено в школьных учебниках алгебры. Владение решением этого типа 

неравенств является базой для решения остальных видов неравенств: иррацио
нальных, показательных, логарифмических, комбинированных. В задании 21 на 

ОГЭ встречаются и дробно-рациональные неравенства.  

Остановимся на тонких моментах, которые всегда являются ловушками 

при решении дробно-рациональных неравенств.  

Покажем методику решения дробно-рационального неравенства на при
мере конкретных задач.  

Пример. Решить неравенство 

               
                 . 

Решение. Числитель и знаменатель разложены на множители, значит, не
равенство записано в виде, удобном для применения метода интервалов.  

Найдем корни числителя – это точки -1, 6 и 7, а знаменатель обращается в 

ноль в точках 5, 1 и 9.  

Надо отметить эти точки на числовой прямой.  

Напомним, что точки на числовой прямой бывают выколотые или закра
шенные. Мы проиллюстрировали зависимость точек от вида решаемого нера
венства и места в выражении в таблице 1. 

Таблица 1. Точки на числовой прямой в зависимости от знака неравенства 

 

Вид неравенства
Строгое неравенство
Нестрогое нера
венство

Знак неравенства
     
     

Точка на оси из числителя дро
би

Точка на оси из знаменателя

дроби

Скобки для записи ответа
     
     

 

Продолжим решать неравенство. Отметим точки на числовой прямой. 

Найдем знак в любом из полученных промежутков (например, подставив число 

100 в каждую скобку решаемого неравенства или понаблюдав за знаками перед 

х в каждой из этих скобок). Почему мы подставляем большое число, например, 

100? Это удобно, тогда в каждой из скобок точный ответ считать не надо, а 

просто прикидываем, какой получается результат – положительный или отри
цательный. Знаки чередуем, так как все скобки в четной степени. Получаем 

следующую геометрическую иллюстрацию: 

Выписываем ответ по знаку неравенства:                       

       . 

 

Ответ:                              . 

 

Немного изменим ситуацию – добавим степени к некоторым скобкам из 

предыдущего неравенства. 

Пример. Решить неравенство 

                 

                  . 

Решение. Сравним данное неравенство с предыдущим:  

               

                 . 

Что изменилось в неравенстве? Появились степени у некоторых скобок. 

Как степень скобки влияет на знак выражения?  Если скобка в четной степени, 

то какое бы число в нее не подставлять, знак будет плюс, то есть она не влияет 

на знак выражения. Если же скобка в нечетной степени, то она может давать 

как знак плюс, так и минус аналогично скобке в первой степени. Значит, скобки 

в четной степени создают особые ситуации, когда при переходе через точки – 

нули этих скобок – знак выражения не будет меняться. Договоримся для удоб
ства выделять такие точки на оси петелькой – специально зарезервированным 

местом для знака. 

Итак, покажем на оси точки нули числителя и знаменателя. Причем точки 

7 и 1 получились из скобок в четной степени, выделяем их петелькой на оси.  

 

Считаем знак в каком-либо промежутке: в крайнем правом при х=100 по
лучаем минус. Тогда расставляем знаки в других интервалах, причем чередуем 

их, включая петельку. 

 

Записываем в ответ промежутки со знаком «+»:  

                          .  

Видно, что ответ можно записать компактнее: вместо четырех промежут
ков записать три, потому что точка 7 входит во множество решений и скобки 

«слипаются»:                  , то есть закрашенная точка 7 «съедается» 

промежутком. В итоге получаем:                     .  

Ответ:                     .  

 

Не во всех неравенствах выражение сразу пригодно для использования 

метода интервалов. Чаще требуется преобразовать неравенство к требуемому 

виду. Разберем такой пример. 

Пример. Решить неравенство 

 

     

 

         

Решение. Преобразуем неравенство, переносим все выражения в одну 

сторону и приводим к общему знаменателю:  

 

     

 

         ; 

 

     
 

          

           
                

            

            
    

. 

Найдем корни квадратного уравнения в числителе и разложим на множи
тели: 

          

                

Корни числителя и знаменателя показываем на оси. Смотрим, что в вы
ражении есть точка четной кратности – корень 1 из скобки        в знамена
теле. Выделяем ее петелькой – резервируем специальное место для знака.  

 

Узнаем знак в самом правом интервале, получаем знак «-». 

Расставляем знаки в каждом интервале с помощью чередования, включая 

петельку: 

 

Выбираем в ответ промежутки, в которых знак плюс. Напоминаем, что 

выколотые точки не входят в ответ, поэтому точку 1 в ответ не записываем, не
смотря на знак «+» в ней. 

Выписываем ответ:               

 

  . 

Ответ:               

 

  . 

 

Обобщим реализуемый нами ход решения дробно-рациональных нера
венств в виде следующей схемы.  

Схема решения дробно-рациональных неравенств 

1. Все выражения перенести в одну сторону и привести к общему знаме
нателю. 

2. Разложить числитель и знаменатель на множители. 

3. Собрать повторяющиеся скобки по степеням. 

4. Найти нули числителя и знаменателя. 

5. Показать эти точки на оси. 

6. Выделить особые точки – точки четной кратности – петелькой (вол
шебный шарик – отдельное место для знака). 

7. Найти знак в одном интервале, подставив в выражение любое число из 

выбранного интервала (лучше подставлять большое число из самого правого 

интервала, тогда знак мы прикидываем, если брать какое-то маленькое число, 

то знак приходится в каждой скобке считать), поставить его в интервал. 

8. Расставить знаки в остальных интервалах с помощью чередования, 

включая петельку. 

9. Выписать ответ по знаку неравенства. Не забывать про особые точки: 

если она выколота, то в ответ не входит, если закрашена, то записывается от
дельно как изолированное решение если знак в ней совпадает со знаком нера
венства и «съедается» промежутком и если знак не совпадает со знаком нера
венства. 

Важно отметить, что, следуя этой схеме решения дробно-рациональных 

неравенств, даже при решении сложных неравенств со множеством кратных 

точек нет необходимости определять знаки на каждом получившемся проме
жутке по отдельности с помощью подстановки точки из промежутка в выраже
ние, полученное на последнем шаге преобразований неравенства. Необходимо 

лишь четко фиксировать особые точки с четной кратностью и выделять их пе
телькой, а потом правильно определить знак в любом из промежутков.  

Вопрос о выписывании ответа при наличии особых точек в решении все
гда вызывает трудности у учеников. Разберем отдельно на конкретных приме